Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Etant donnés trois vecteurs
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RepèresAnalyse vectorielleExercices
Mathématique et Mécanique de Base
Pauline GERUS - Leila LEFEVBRE - Violaine SEVREZ
Licence 1 STAPS
BMC 512009-2010
RepèresAnalyse vectorielleExercices
Définition
Repère=zone de référenceEtablit en fonction des objectifs On choisit une origine(O), qui sert de référencepuis on choisit les axes : -→i,-→j(base du plan) ou-→i,-→j,-→k (base de l"espace)Repères particuliers : Repère orthogonal(0,-→i,-→j): 2 axes perpendiculaires demême origineRepère normé(0,-→i,-→j):?-→i?=?-→j?=1Repère orthonormé : orthogonal et normé
RepèresAnalyse vectorielleExercices
Coordonnées
Comment situer un point?
Sur une droite : graduer la droite
Dans un plan : plusieurs possibilités
Repère CartésienRepère polaire
Dans l"espace
Repère Cartesien (abscisse, ordonnée, côte)Repère cylindrique
Repère sphérique
RepèresAnalyse vectorielleExercices
Notion de repères direct et indirect
On parle de repère direct ou indirect par rapport au sens des vecteurs dans le plan.En 2D, on utilise le sens trigonométrique (ou sens inverse des aiguilles d"une montre)En 3D, on utilise la règle de la main droite pour définir le sens directpouce=X; index=Y; majeur=ZRepèresAnalyse vectorielleExercices
Définitions
Point: écriture en ligneA(x,y,z)Scalaire: Une valeur réelle et une unité de mesureVecteur: représentation mathématique de différentes
variablescaractérisé par trois propriétés : son intensité (ou norme, ou module, ou grandeur), sa direction, son sens-→A,-→AB
RepèresAnalyse vectorielleExercices
Vecteurs particuliers
levecteur nul:-→0levecteur unitaire: vecteur de longueur 1lesvecteurs colinéaires: l"un est le produit de l"autre par
un réel. Ils ont même directionlesvecteurs orthogonaux: leurs lignes d"action sont perpendiculairesRepèresAnalyse vectorielleExercices
Représentation d"un vecteur
Représentation d"un vecteur
Notation par colonne :
a=? ?a1 a2 a3? ?Notation dans la base : a=a1-→i+a2-→j+a3-→k i,-→jet-→ksont des vecteurs unitaires i=? ?1 0 0? -→j=? ?0 1 0? -→k=? ?0 0 1?RepèresAnalyse vectorielleExercices
Composantes
Dans le plan, un vecteur a :
une composante sur l"axe des abscisse :xB-xAune composante sur l"axe des ordonnées :yB-yAAB a pour coordonnées (composantes) :
AB|xB-xA
|yB-yARepèresAnalyse vectorielleExercices
Norme et Milieu
Norme du vecteur
-→AB: distance entre A et B (?-→AB?)Norme-→AB?=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (zB-zA)2Le milieuMd"un segmentABa pour coordonnées :Coordonnées du milieu d"un segment :
xA+xB2 ,yA+yB2 ,zA+zB2RepèresAnalyse vectorielleExercices
Produit d"un vecteur par un scalaire
Produit d"un vecteur par un scalaire
Le produit d"un vecteur
-→apar un scalairerest un vecteur tel que : Si -→a=? ?a1 a2 a3? ,r·-→a=r·? ?a1 a2 a3? ?r·a1 r·a2 r·a3? ?Direction : celle de -→aSens : celui de -→asir>0, celui de--→asir<0Norme : égale au produit de la norme de -→apar la valeur absolue der: ?r·-→AB?=|r|?-→AB?RepèresAnalyse vectorielleExercices
Produit d"un vecteur par un scalaire
Le produit d"un vecteur par un scalaire possède les propriétés suivantes :Distributivité par rapport à l"addition des vecteurs :α(-→U+-→V) =α-→U+α-→VDistributivité par rapport à l"addition des scalaires :
(α+β)-→U=α-→U+β-→UAssociativité :α(β-→U) = (αβ)-→UElément neutre : 1
-→U=-→URepèresAnalyse vectorielleExercices
Addition vectorielle
Addition vectorielle
La somme de 2 ou plusieurs vecteurs est un vecteur obtenu par la"règle du parallélogramme"Si -→a=? ?a1 a2 a3? et-→b=? ?b1 b2 b3? alors-→a+-→b=-→c=? ?a1+b1 a2+b2 a3+b3?RepèresAnalyse vectorielleExercices
Addition vectorielle
Exemple
α=60°
β=20°
?-→U?=50N ?-→V?=60N ?-→W?=?RepèresAnalyse vectorielleExercices
Addition vectorielle
corrigéOn projette?-→U?et?-→V?surx:Ux+Vx=Wx
U x=cosα? ?-→U?=cos60?50=25N V x=cosβ? ?-→V?=cos20?60=56N W x=Ux+Vx=25+56=81NOn projette?-→U?et?-→V?sury:Uy+Vy=Wy U y=sinα? ?-→U?=sin60?50=43N V y=sinβ? ?-→V?=sin20?60=20N W y=Uy+Vy=43+20=63NCalcul de la norme à partir du thèoréme de Pytagore : -→W?=?W2x+W2y=?81
2+632=102N
RepèresAnalyse vectorielleExercices
Addition vectorielle
propriétés L"addition vectorielle possède les propriétés suivantes : Associativité :(-→U+-→V) +-→W=-→U+ (-→V+-→W)Commutativité : -→U+-→V=-→V+-→UElément neutre : -→U+0=0+-→U=-→UElément symétrique : -→U+ (--→U) =0RepèresAnalyse vectorielleExercices
Soustraction vectorielle
Soustraction vectorielle
Même régle géométrique en utilisant le vecteur--→VDonc, si
-→a=? ?a1 a2 a3? et-→b=? ?b1 b2 b3? alors : a--→b=-→c=? ?a1-b1 a2-b2 a3-b3?RepèresAnalyse vectorielleExercices
Produit scalaire de 2 vecteurs
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs
-→Uet-→V, noté-→U·-→V, est un scalaire tel que :Produit scalaireU·-→V=?-→U??-→V?cos(θ)Le produit scalaire est donc positif pour toutθaigu, et
négatif pour toutθobtusEn posantUx,Uy,UzetVx,Vy,Vzles composantes respectives de-→Uet-→Vdans la base(0,-→i,-→j), le produit scalaire de ces deux vecteurs est le scalaire défini par la relation :Forme analytiqueU·-→V=UxVx+UyVy+UzVz
RepèresAnalyse vectorielleExercices
Produit scalaire de 2 vecteurs
Propriétés sur le produit scalaire
Quels que soient les vecteurs
-→U,-→Vet-→Won a :-→ U·(-→V+-→W) =-→U·-→V+-→U·-→W-→ U·(a-→V) =a(-→U·-→V) = (a-→U)·-→V-→U·-→V=0?-→U?-→V-→
U·-→0=0-→
U2=?-→U?2-→
U·-→V=12
(?-→U+-→V?2- ?-→U?2- ?-→V?2)RepèresAnalyse vectorielleExercices
Produit scalaire de 2 vecteurs
Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires
Le produit scalaire de deux vecteurs
-→Uet-→Vcolinéaires etde même sens est le produit des normes de-→Uet de-→VLe produit scalaire de deux vecteurs
-→Uet-→Vcolinéaires et de sens contraire est l"opposé du produit des normes de-→U et de-→VExemple :A,B,Csont trois points alignés dans cet ordre tels que :AB=2 etBC=3 :-→BA·-→CA=10-→
AB·-→CB=-6-→
AB·-→AC=10-→
AB·-→BC=6
RepèresAnalyse vectorielleExercices
Produit vectoriel de 2 vecteurs
Produit vectoriel de 2 vecteurs
Le produit vectoriel est uniquement défini dans l"espace de dimension supérieure ou égale à 3.Le produit vectoriel de deux vecteurs -→Uet-→Vest un vecteur noté-→W=-→U?-→VDirection : -→W?-→Uet-→W?-→VSens : trièdre(-→U,-→V,-→W)directNorme :RepèresAnalyse vectorielleExercices
Produit vectoriel de 2 vecteurs
propriétés Si -→Uet-→Vsont colinéaires alors-→U?-→V=0Si-→U=-→0 ou-→V=-→0 alors-→U?-→V=0Le produit vectoriel n"est pas commutatif :
-→U?-→V=--→V?-→UOn peut calculer l"angle entre 2 vecteurs à partir du produit vectorielRepèresAnalyse vectorielleExercices
Produit vectoriel de 2 vecteurs
forme analytiqueEn posantUx,Uy,UzetVx,Vy,Vzles composantes
respectives de-→Uet-→Vdans la base(0,-→i,-→j),Produit vectoriel U?-→V= (UyVz-UzVy) + (UzVx-UxVz) + (UxVy-UyVx)RepèresAnalyse vectorielleExercices
Exercice 1
Enoncé
Dans un repère orthonormé(0,-→i,-→j)on considère les points :A(-2,1),B(-1,3)etC(5,0)1Tracer un repère(0,-→i,-→j)et y placer les pointsA,BetC2Calculer la norme du vecteurAB3Démontrer que le triangleABCest rectangle enB4Calculer les coordonnées du point M, milieu de [AC]
5On appelle D le point tel que le quadrilatère ABCD est un
rectangle. Placer D dans le repère, puis calculer ses coordonnéesRepèresAnalyse vectorielleExercices
Exercice 1
Corrigé
1Tracé du repère
2Calcule de la norme du vecteur
-→AB ?-→AB?=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2=?(-1-(-2))2+ (3-1)2=?(1)2+ (2)2=⎷53Si le triangleABCest rectangle enB, alors les vecteurs-→AB
et-→BCsont perpendiculaires.On a alors :
-→AB=????(xB-xA) (yB-yA)? ???=????1 2? ???etBC=????(xC-xB)
(yC-yB)? ???=????6 -3? -→AB·-→BC=xABxBC+YABYBC= (1?6) + (2?(-3)) =0 On a-→AB·-→BC=0 donc les vecteurs-→ABet-→BCsont perpendiculaires. Le trinagleABCest donc rectangle enBRepèresAnalyse vectorielleExercices
Exercice 1
Corrigé (suite)
1Calcul des coordonnées du point M, milieu de [AC]
M=? ?x A+xC2 yA+yC2 ?(-2+5)2 (1+0)2 ?32 12 ?2M est aussi le milieu de ?BD?On a alors :M=?
?x B+xD2 yB+yD2Donc :xB+xD2
=32 et y B+yD2 =12Or :xB=-1 etyB=3
Donc :xD=4 etyD=-2
RepèresAnalyse vectorielleExercices
Exercice 2
1Donner les coordonnées
des pointsaetb2Déterminer les coordonnées du vecteur-→ab3Calculer la distanced entre les pointsaetb4Déterminer les coordonnées des vecteurs-→oaet-→ob5Calculer le produit scalaire -→oa·-→ob6Déterminer l"angleθentre les vecteurs-→oaet-→obRepèresAnalyse vectorielleExercices
Exercice 2
Corrigé
1a(2,3)etb(-3,2)2-→
ab|xb-xa=-3-2=-5 y b-ya=2-3=-13? -→ab?=?(xb-xa)2+ (yb-ya)2=?(-3-2)2+ (2-3)2=⎷25+1=⎷264-→
oa|xa-xo=2-0=2 y o-ya=3-0=3et-→ob|xb-xo=-3-0=-3 y b-ya=2-0=25-→ oa·-→ob=xoaxob+yoayob=2?(-3) +3?2=06-→ oa·-→ob=0 donc-→oa?-→obRepèresAnalyse vectorielleExercices
Exercice 3
Dans chaque cas, utiliser la forme la plus adaptée pour calculer le produit scalaire-→AB·-→AC1Le triangleABCest isocèle de sommet principalA, lesangles à la base ont pour mesure 75° etAB=AC=32Le triangleABCest tel queAB=3,AC=4 etBC=53Le trinagleABCest isocèle de somment principalB;Iest
le milieu de?AC?; on aAC=6 etBI=5RepèresAnalyse vectorielleExercices
Exercice 3
Corrigé
1? BAC=180-(75?2) =30-→AB·-→AC=?-→AB? ? ?-→AC? ?cos?BAC=3?3?cos30≈7.823Le triangleABCest alors rectangle enAet on a-→AB·-→AC=03PuisqueIest le milieu de?AC?et queAC=6 on aCI=3
Le triangleIBCest rectangle enIdonc d"après le théorème de Pythagore?BC?2=?BI?2+?IC?2donc?AC?2=52+32doncBC=6Le triangleABCest donc équilatéral et on a alors :-→AB·-→AC=?-→AB? ? ?-→AC? ?cos?BAC=6?6?cos60=
6?6?0.5=18
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