[PDF] MATHÉMATIQUESPOUR LES SCIENCESDE LINGÉNIEUR

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UES POUR

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LE COURS DE

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Q

UES POUR

LES E S

Sous la direction de

Frédéric Bertrand

, professeur des universitŽs ˆ lÕuniversitŽ de Technologie de Troyes, et

Myriam Maumy-Bertrand

, ma"tre de confŽrences ˆ lÕuniversitŽ de Strasbourg

Sandie Ferrigno

Ma"tre de confŽrences ˆ lÕuniversitŽ de Lorraine

Didier Marx

Docteur en gŽnie Žlectrique, agrŽgŽ de physique au lycŽe

Fabert de Metz,

vacataire en Žcoles dÕingŽnieurs (GEIGM et ENSEM)

Aurélie Muller-Gueudin

Ma"tre de confŽrences ˆ lÕuniversitŽ de Lorraine

Yacoubou Idi Rabba

AgrŽgŽ externe de MathŽmatiques dans la section Žtranger 2 e

Ždition

LE COURS DE

9782100791033_Book_FM 12/07/2019 10:20 Page iv

Illustration de couverture :

Du Pont©Georges-Standen - istockphoto.com

© Dunod, 2013, 2019

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

ISBN 978-2-10-079103-3

www.dunod.com

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Table des matières

Avant-proposix

Comment utiliser cet ouvrage?x

Partie 1 Algèbre 1

Fiche 1 Logique2

Fiche 2 Quanti“cateurs et raisonnements mathématiques6

Fiche 3 Ensembles10

Fiche 4 Relations binaires14

Fiche 5 Applications18

Fiche 6 Nombres entiers, nombres rationnels22

Fiche 7 Structures algébriques : groupes26

Fiche 8 Structures algébriques : anneaux et corps30

Fiche 9 Arithmétique dansZ34

Fiche 10 Vecteurs38

Fiche 11 Vecteurs et éléments de géométrie42

Fiche 12 Polynômes46

Fiche 13 Fractions rationnelles50

Fiche 14 Systèmes linéaires54

Fiche 15 Pivot de Gauss58

Fiche 16 Nombres complexes62

Fiche 17 Nombres complexes et géométrie plane66

Fiche 18 Espaces vectoriels70

Fiche 19 Bases ... Dimension “nie74

Fiche 20 Applications linéaires78

Fiche 21 Noyau et image dune application linéaire82

Fiche 22 Calcul matriciel86

Fiche 23 Matrices et applications linéaires90

Fiche 24 Déterminant94

Fiche 25 Applications du calcul de déterminant98 Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. v

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Fiche 26 Diagonalisation102

Fiche 27 Applications de la diagonalisation106

Fiche 28 Espaces préhilbertiens110

Fiche 29 Orthogonalité, groupe orthogonal114

Fiche 30 Coniques118

Matrices et cryptographie122

Partie 2 Analyse125

Fiche 31 Nombres réels126

Fiche 32 Suites numériques130

Fiche 33 Convergence et divergence dune suite numérique134 Fiche 34 Suites arithmétique et géométrique138

Fiche 35 Suites particulières142

Fiche 36 Continuité dune fonction146

Fiche 37 Dérivabilité dune fonction150

Fiche 38 Étude globale des fonctions dérivables154 Fiche 39 Fonctions circulaires et circulaires réciproques158 Fiche 40 Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques162

Fiche 41 Formules de Taylor166

Fiche 42 Développements limités170

Fiche 43 Étude dune fonction174

Fiche 44 Intégrales dé“nies sur un segment178 Fiche 45 Primitives et intégrales dune fonction continue182

Fiche 46 Séries numériques186

Fiche 47 Séries à termes positifs190

Fiche 48 Suites de fonctions194

Fiche 49 Séries de fonctions198

Fiche 50 Séries entières202

Fiche 51 Développement dune fonction en série entière206

Fiche 52 Séries de Fourier210

Fiche 53 Intégration sur un intervalle quelconque214 Fiche 54 Convergences monotone et dominée ... Intégrales dépendant dun paramètre218 Fiche 55 Équations diérentielles : premier ordre222 Fiche 56 Équations diérentielles : second ordre226 Fiche 57 Fonction dune variable réelle : exercices de synthèse230

Fiche 58 Fonctions de plusieurs variables234

Fiche 59 Dérivées partielles ... Gradient ... Diérentielle238 vi

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Fiche 60 Dérivées partielles ... Gradient ... Diérentielle (suite)242 Fiche 61 Dérivées partielles dordre deux ... Optimisation246

Fiche 62 Courbes et surfaces paramétrées250

Fiche 63 Courbes planes paramétrées254

Fiche 64 Courbe plane dé“nie par son équation polaire258

Fiche 65 Intégrales doubles et multiples262

Fiche 66 Sommabilité et intégrales doubles ou multiples généralisées266

Fiche 67 Intégrales curvilignes270

Fiche 68 Intégrales de surface274

Fiche 69 Transformée de Laplace278

Fiche 70 Exemples déquations aux dérivées partielles282

Le Wi-Fi286

Partie 3 Probabilités 289

Fiche 71 Dénombrement290

Fiche 72 Événements et probabilité294

Fiche 73 Probabilité sur un univers “ni, dénombrable ou continu298 Fiche 74 Événements indépendants Probabilité conditionnelle

Théorème de Bayes302

Fiche 75 Variable aléatoire réelle Loi dune variable aléatoire réelle306

Fiche 76 Fonction de répartition310

Fiche 77 Espérance314

Fiche 78 Moments, Variance et Écart-type318

Fiche 79 Paramètres de position Intervalles de probabilité322 Fiche 80 Fonction dune variable aléatoire réelle ... Calcul de loi326 Fiche 81 Lois discrètes usuelles à valeurs dans un ensemble “ni330 Fiche 82 Lois discrètes usuelles à valeurs dans un ensemble dénombrable 334

Fiche 83 Loi normale338

Fiche 84 Lois continues usuelles342

Fiche 85 Lois continues usuelles (suite)346

Fiche 86 Couple aléatoire Loi dun couple discret350 Fiche 87 Loi dun couple aléatoire continu354 Fiche 88 Fonction de répartition dun couple aléatoire358 Fiche 89 Moments de plusieurs variables aléatoires réelles362 Fiche 90 Variables aléatoires indépendantes366 Fiche 91 Fonction dun couple aléatoire Calcul de loi370

Fiche 92 Loi des grands nombres374

Fiche 93 Théorème de la limite centrale378

Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. vii

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Fiche 94 Approximations dune loi par une autre382

Fiche 95 Formulaire386

Probabilités et jeux de hasard388

Partie 4 Statistique 391

Fiche 96 Concepts fondamentaux de la statistique392

Fiche 97 Statistique descriptive univariée396

Fiche 98 Représentations graphiques pour les séries statistiques quantitatives400 Fiche 99 Représentations graphiques pour les séries statistiques qualitatives 404

Fiche 100 Caractéristiques de position408

Fiche 101 Caractéristiques de dispersion412

Fiche 102 Boîte à moustaches et caractéristiques de forme416

Fiche 103 Statistique descriptive bivariée420

Fiche 104 Représentations graphiques bivariées424 Fiche 105 Mesures de liaison entre deux caractères428 Fiche 106 Échantillonnage ... Modèles : vocabulaire432

Fiche 107 Estimateurs et propriétés434

Fiche 108 Méthodes de construction destimateurs438 Fiche 109 Exemples destimateurs de caractéristiques de position442 Fiche 110 Exemples destimateurs de caractéristiques de dispersion446 Fiche 111 Estimation par intervalle de con“ance et intervalle de con“ance pour une proportion450 Fiche 112 Intervalles de con“ance pour une espérance et une variance454 Fiche 113 Introduction à la théorie des tests dhypothèses458 Fiche 114 Tests de conformité dune espérance ou dune variance à une norme462 Fiche 115 Tests de comparaison de deux variances466 Fiche 116 Tests de comparaison de deux espérances470 Fiche 117 Tests du Khi-deux : adéquation et indépendance474

Fiche 118 Test de normalité478

Fiche 119 Régression linéaire simple482

Fiche 120 Intervalles de con“ance et tests en régression linéaire simple 486

Annexes490

Les sondages502

Corrigés des exercices505

(Les corrigés d'une sélection d'exercices sont disponibles sur dunod.com)

Index557

viii

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Avant-propos

Cet ouvrage résulte de la collaboration de cinq mathématiciens (Aurélie, Frédéric, Myriam Sandie et Yacouba) et d"un physicien (Didier). Il est organisé en quatre parties :

années post-bac : licences, prépas intégrées ou IUT. Ce livre peut également aider à la

préparation au CAPES de mathématiques. Yacoubou Rabba Idi, un mathématicien, nous a rejoint pour la préparation de la seconde édition du livre. Le cours, structuré en fiches, est exposé de manière claire et synthétique. Chaque fiche présente les points essentiels à retenir, des exercices d"application illustrent les no- tions utiles et de nombreux exercices corrigés permettent de se préparer aux examens et concours. Certains corrigés sont disponibles sur le site dunod.com sur la page de description de l"ouvrage. Quatre focus apportent enfin des compléments historiques ou techniques en lien avec des sujets de société. Dans la collection " Tout en fiches », vous trouverez donc l"essentiel, sauf votre propre travail, bien sûr. Alors courage! Toutes vos remarques, vos commentaires, vos critiques, et même vos encouragements seront accueillis avec plaisir aux adresses électroniques suivantes : fbertran@math.unistra.fr mmaumy@math.unistra.fr

Ce livre a bénéficié de la relecture attentive d"un comité de relecteurs, constitué d"en-

Samuela Aubin, maître de conférences à l"INSA de Lyon; Jean-Romain Heu, professeur agrégé à l"INSA de Strasbourg; Jean Labourdette, docteur en mathématique et directeur de l"ESIEA Ouest; Vincent Lécuyer, professeur agrégé à l"ENSIC de Nancy; James Ledoux, professeur des universités à l"INSA de Rennes; Renaud Marty et Bruno Pinçon, maîtres de conférences à l"université de Lorraine; Constantin Morarescu, maître de conférences à l"ENSEM de Nancy; Raphaële Supper, maître de conférences à l"université de Strasbourg. Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. ix

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Comment utiliser cet ouvrage?

Un découpage

en quatre grandes parties :

AlgËbre, Analyse, ProbabilitÈs,

Statistique

Des compléments sur dunod.com

120 ches de cours

Les notions essentielles avec des renvois

pour naviguer dune “che à lautre

De trËs

nombreux exemples

Un repérage

facile x

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Des conseils mŽthodologiques

Des exemples dÕapplications dans

tous les domaines des sciences

Des exercices pour sÕentra"ner

Les solutions sont regroupŽes

en fin dÕouvrage ou disponibles sur le site dunod.com

Des renvois aux Ò+ en ligneÓ

Retrouvez les “+en ligne" sur dunod.com :

ñLes corrigés détaillés d"une sélection d"exercices signalés par le pictogramme.

ñDes informations sur le logiciel libreR.

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1

Algèbre

Introduction

L"algèbre est née il y a plus de 4000 ans avec les Babyloniens et les Égyptiens qui résolvaient des problèmes concrets du premier et du second degrés. Elle étudie aujourd"hui les opérations et les équations sur les nombres. Dans cette partie, les Fiches 1 à 9 permettent d"acquérir les bases de l"algèbre, de la logique mathématique aux structures algébriques. Munis de ces nouveaux outils, nous traitons dans les Fiches 10 à 17 la géométrie suite (fiches 18 à 30) une partie fondamentale qui est l"algèbre linéaire. S"ensuivent les transformations avec changements de bases, la diagonalisation des matrices et les méthodes de calcul qui nourrissent depuis lexx e siècle la programmation des ordinateurs. Pour clore cette partie, un focus présente une application de l"algèbre linéaire : la cryptographie.

Les bonus web sur dunod.com

Retrouvez les corrigés détaillés d"une sélection d"exercices sur le site dunod.com. Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 1

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Fiche 1

Logique

La logique mathématique permet l"étude des mathématiques en tant que langage.

Définition 1.1

Uneassertionest un énoncé mathématique auquel nous pouvons attribuer la valeur de vérité vrai (V) ou faux (F) mais jamais les deux simultanément.

Exemples

1.L"assertion " 10>100 » est fausse (F).

2.L"assertion " 12 est un multiple de 4 » est vraie (V).

3.L"énoncé "vaut approximativement 3,14 » n"est pas une assertion car il n"est pas assez

Définition 1.2

UnprédicatPest un énoncé mathématique contenant des lettres appelées variables tel que, quand nous remplaçons chacune de ces variables par un élément donné de cette variable nous obtenons une assertion.

Exemple

L"énoncé suivant "nest un multiple de 6 » est un prédicat car il devient une assertion lorsque

nous donnons une valeur àn.Eneffet, €" 10 est un multiple de 6 » est une assertion fausse (F). €" 12 est un multiple de 6 » est une assertion vraie (V).

Lesconnecteurs logiquespermettent de créer de nouveaux prédicats, ditscomposés, à partir de

prédicats de référence.

Définition 1.3

SoitPun prédicat. LanégationdePest le prédicat noté non(P)ou¬P, qui est vrai lorsquePest faux et faux lorsquePest vrai. Nous résumons ceci dans la table de vérité suivante :

Pnon(P)

VF FV 2

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Analyse

Algèbre

Probabilités

Statistique

Corrigés

Fiche 1

Exemple

SoitPle prédicat "x>5 ». Alors non(P) est le prédicat "x5».

Remarque : en effet, le contraire de " supérieur à » est " inférieur ou égal à », et non simple-

ment " inférieur à ». De même, le contraire de " pour toutx,P» n"est pas " quel que soitx,

non(P)»mais"ilexistexpour lequel non(P)».

Définition 1.4

SoientPetQdeux prédicats.

€Le prédicat "P=Q» appeléimplicationdePversQest un prédicat qui est faux lorsquePest vrai etQest faux, et vrai dans tous les autres cas. €Le prédicat "PQ» appelééquivalencedePet deQest un prédicat qui estquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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