Les Fractions Rationnelles —
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Exercice 3 1 Mettre sous forme réduite les fractions rationnelles suivantes : X3 + 4X2 + X ? 6 X4 ? X3 ? 5X2 ? X ? 6 X4 + X2 + 1 X3 + 3X2 + 3X + 2
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Toute fraction rationnelle R de K(X) s'écrit de manière unique R = E +F avec E polynôme de K[X] et F fraction rationnelle de degré strictement négatif E est
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donc A1 Ar+1 possèdent un PGCD 3 Page 4 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI L'algorithme d
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COURS MPSI A 7 1) Corps des fractions rationnelles à coefficients dans un corps Une fraction rationnelle est donc le quotient de deux polynômes
C'est quoi le fraction rationnelle ?
Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Autrement dit, c'est une fraction dont le numérateur et la dénominateur sont des polynômes.Comment calculer les fractions rationnelles ?
Pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples,
1on l'écrit sous forme irréductible P/Q ;2on calcule la partie entière de la fraction rationnelle en calculant le quotient de la division euclidienne de P par Q ;3on factorise le polynôme Q en produit de polynômes irréductibles;Comment décomposer une fonction en élément simple ?
Si F = P/(HnB) avec H irréductible et ne divisant pas B et si l'élément simple J/Hn a déjà été calculé, en le retranchant de F, on se ramène à une fraction plus simple à décomposer, car de dénominateur Hn – 1B (après simplification par H). Exemple : et l'élément simple associé est 7/(x – 2).- On dit que F = P Q ? K(X) est sous forme irréductible si P et Q sont premiers entre eux, et Q est unitaire. irréductibles; en pratique, il faut simplement s'habituer à simplifier le quotient P Q par d'éventuels diviseurs communs non constants de P et Q.
Les Fractions Rationnelles
MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal Delahaye
2 f´evrier 2018
F=E+n?
i=1?αi?
j=1λ ij(X-ai)j?+p? i=1?βj?
j=1γ ijX+δij(X2+piX+qi)j?DES surR
1 D´efinition du corps des fractions rationnelles
K[X] est un anneau commutatif int`egre, mais ce n"est pas un corps.A partir de l"anneauZ, nous avons construit le corpsQ. De la mˆeme mani`ere, nous pouvons construire `a partir de
K[X] le corpsK(X) des fractions rationnelles. Le d´etail de la construction deK(X) n"est pas au programme.
D´efinition 1 :Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle surKest not´eeF(X) =P(X) Q(X)o`uPetQsont deux polynˆomes deK[X], avecQ?= 0. On noteK(X) l"ensemble des fractions rationnelles.D´efinition 2 :
On d´efinit l"´egalit´e de deux fractions rationnelles par :P1Q1=P2Q2??P1.Q2=P2.Q1
SiF=PQalorsPQest appel´e un repr´esentant deF.
Exemple 1.
X X2+ 1,2X2X2+ 2etX2X3+Xsont des repr´esentants de la mˆeme fraction. D´efinition 3 :Repr´esentant irr´eductibleSiF?K(X) s"´ecritF=P
QavecP?Q= 1 alors le couple (P,Q) est unique `a une constante multiplicative non nulle pr`es.P Qest alors appel´e un (et pas "le"!!) repr´esentant irr´eductible deF.Exemple 2.SoitF=X2-3X+ 2
X2-1. AlorsFadmetX-2X+ 1pour repr´esentant irr´eductible. Remarque1.On obtient un repr´esentant irr´eductible dePQen divisantPetQparP?Q.
1 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/D´efinition 4 :Les Lois
On d´efinit surK(X) la somme +, le produit×et la loi externe . par les formules suivantes :Soient (F1, F2)?K(X) telles queF1=P1
Q1,F2=P2Q2etλ?K
1.F1+F2=P1Q2+P2Q1
Remarque2.
On v´erifie simplement que les r´esultats de ces 3 op´erations sont ind´ependants des r´epr´esentants choisis.
Th´eor`eme 1 :Structure
Muni des lois pr´ec´edentes,?K(X),+,×?est un corps.Preuve 1 :Il faut red´emontrer une `a une toutes les propri´et´es qui d´efinissent la structure de Corps.
Remarque3.
ToutP?K[X] s"indentifie `a la fractionP
1et on peut donc consid´erer queK[X]?K(X).
D´efinition 5 :Degr´e d"une fraction rationnelleSoit une fraction rationnelleF=P
Q?K(X). On appelle degr´e deF, l"´el´ement deZd´efini par : degF= degP-degQ LorsqueF?= 0, le degr´e deFest un entier relatif.LorsqueF= 0, degF=-∞.
Remarque4.La fonction "degr´e" est bien ind´ependante du repr´esentant choisi!Exemple 3.SiF=X2
X4+ 1etG=X2X-1alors deg(F) =-2 et deg(G) = 1.
ATTENTION
Une fraction rationnelle de degr´e positif n"est pas forc´ement un polynˆome (cf la fractionGci-dessus). Proposition 2 :Propri´et´es du degr´e d"une fraction rationnelle On a les mˆemes propri´et´es que pour le degr´e des polynˆomes :2. deg(F1F2) = degF1+ degF2
3. deg(λ.F) = deg(F) siλ?= 0 et deg(λ.F) =-∞siλ= 0.
Preuve 2 :Il suffit de faire les calculs ...
Remarque5.Si deg(F1)?= deg(F2), alors on a deg(F1+F2) = max(degF1,degF2).Proposition 3 :Soitn?Z.
L"ensembleKn(X) des fractions rationnelles de degr´e inf´erieur ou ´egal `anest un sev deK(X).
Preuve 3 :On utilise la m´ethode usuelle pour d´emontrer qu"un ensemble est un sev. Remarque6.En revanche, commeKn(X) n"est pas stable par×, ce n"est pas une sous-alg`ebre deK(X). D´efinition 6 :Z´eros, pˆoles d"une fraction rationnelleSoitF=P
Q?K(X) o`uPQest irr´eductible. Les racines de?Ps"appellent lesz´erosdeFQs"appellent lespˆolesdeF.
2 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/Remarque7.
1. La d´efinition des?z´erospˆolesd"une fraction rationnelle est ind´ependante du repr´esentant irr´eductible choisi.
2. Un pˆole (resp. z´ero)a?Kde la fractionF=P
Qest dit demultiplicit´ek?N, lorsqueaest une racine d"ordre de multiplicit´ekdu polynˆomeQ(resp.P).Exemple 4.SoitF=(X-1)2
(X2+ 1)(X+ 1).1. DansR(X), 1 est le seul z´ero deF(d"ordre 2) et -1 est le seul pˆole deF.
2. DansC(X), 1 est le seul z´ero deF(d"ordre 2) et -1, i et -i sont les pˆoles deF.
D´efinition 7 :D´eriv´ee d"une fraction rationnelleSoitF=P
Q?K(X).
La fraction rationnelle d´eriv´ee deFest alors d´efinie par :F?=P?Q-PQ? Q2D´efinition 8 :fonctions rationnelles
SoitF=P
Q?K(X) o`uPQest irr´eductible etPest l"ensemble des pˆoles deF. Lafonction rationnelle?Fassoci´ee `aFest d´efinie par :?F:K\ P -→K x?→?P(x) ?Q(x). On pourra noterK(x) l"ensemble des fonctions rationnelles. Remarque8.Comme pour les polynˆomes, la fonction rationnelle?Fsera plus simplement not´eeF.2 D´ecomposition en ´el´ements simples - La th´eorie
Th´eor`eme Fondamental 4 :Formule g´en´eraleSoitF=P
Q?K(X) irr´eductible telle queQadmet pour d´ecomposition en facteurs irr´eductibles dansK[X] :
Q=n? k=1Pαkk
La fractionFs"´ecrit alors de fa¸conuniquesous la forme :F=E+?Q11
P1+Q12P21+···+Q1α1Pα11?
avec :1.Ele quotient de la division euclidienne dePparQappel´ee lapartie enti`eredeF.
2.Qij?K[X] avec degQij Cette relation s"appellela D´ecomposition en El´ements Simples (DES) deFsurK. Preuve 4 :Admise.
Remarque9.
1. La fraction
?F=F-Eest appel´ee lapartie fractionnairedeF. 2. Les termes apparaissant dans la d´ecomposition pr´ec´edentedeFsont appel´es des´el´ements simples.
Les ´el´ements simples
dansK(X) sont donc : 3 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ (a) Les polynˆomes deK[X]. (b) Les fractions rationnelles de la forme Q PαavecP?K[X] irr´eductible,?Q?K[X]
degQ DES surRet surC: 1. La DES surCest de la forme :F=E+n?
i=1? αi?
j=1λ ij (X-ai)j? 2. La DES surRest de la forme :F=E+n?
i=1? αi?
j=1λ ij (X-ai)j?+p? i=1? βj?
j=1γ ijX+δij(X2+piX+qi)j? Exemple 5.(?) Donner la forme de la DES deF=X11-X5+ 1 (X2+X+ 1)3(X-2)3surCet surR. Python
La d´ecomposition en ´el´ements simples de F(X) sous Pythonest donn´ee par les instructions :
>>> from sympy import var, apart >>> var("X") >>> apart(F(X),X) Proposition 5 :Soitn?N?etP?Kn[X] scind´e?de racinesa1, ..., an d"ordre de multiplicit´eα1, ..., αn. La d´ecomposition en ´el´ements simples de P? Pest alors :
P P=n? k=1α kX-ak Preuve 5 :Il suffit de faire le calcul ...
Exercice : 1
(??) SoitP?C[X] de degr´en?N?et de racinesx1, ...xndistinctes ou non. Soita?Ctel queP(a)?= 0. Calculer `a l"aide des donn´ees, les sommes :
1. n? i=11 a-xi2.n? i=1x ia-xi3.n? i=11(a-xi)24.n? i=1λ.x i+μ(a-xi)2(λ?= 0) Exercice : 2
(??) SoitP?R[X] n"ayant que des racines r´eelles. Montrer que pour toutx?R, on aP?2(x)-P(x)P??(x)≥0. 3 D´ecomposition en El´ements Simples - La pratique
M´ethode g´en´erale de d´ecomposition en ´el´ements simples 1. On commence par donner la forme g´en´erale de la d´ecompositionen ´el´ements simples.
2. A l"aide des techniques vues au paragraphe suivant, on d´etermine dans l"ordre :
- la partie enti`ereE, puis la partie fractionnaire?F. - les coefficients associ´ees aux pˆoles simples - les coefficients associ´es aux pˆoles multiples - les coefficients associ´es aux polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2 4 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 6.Ainsi, on pourra directement ´ecrire que : X 4 (X-1)(X-2)2=aX+b+cX-1+dX-2+e(X-2)2 et rechercher les coefficientsa,b,c,dete`a l"aide des techniques suivantes... 3.1 Recherche de la partie enti`ereE
On commence par regarder si degF <0 car dans ce cas, on aE= 0. Sinon, on d´eterminera la partie enti`ereE:
1. Soit directement en effectuant la division euclidienne dePparQ
2. Soit en ´ecrivantEsous sa forme g´en´erale en remarquant que degE= deg(F).
On trouve alors les coefficients deEen comparant les ´equivalents des fonctions rationnelles associ´ees en +∞
puis en recommen¸cant l"op´eration apr`es avoir soustrait l"´equivalent obtenu. Exemple 7.(?) D´eterminer par deux m´ethodes diff´erentes la partie enti`erede la fractionF=X4
(X-1)(X-2)2. 3.2 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles simples
NotonsF=P
Qirr´eductible avecaun pˆole simple.
Nous pouvons alors ´ecrire au choix :
F=P (X-a)?Qavec?Q(a)?= 0 ouF=P(X-a)Q?(a) + (X-a)2.Ten appliquant Taylor On en d´eduit alors les deux formules suivantes : Recherche de la partie polaireλX-aassoci´ee `a un pˆole simplea Pour trouver le scalaireλ, on peut utiliser l"une des deux formules suivantes : λ=P(a)?Q(a)o`uQ= (X-a)ˆQλ=P(a)Q?(a)lorsqueQn"est pas factoris´e Exemple 8.(?) D´ecomposer les fractions rationnelles suivantes surC. 1.F(X) =X-4
(X-1)(X+ 1)X2.G(X) =X4+X+ 1X(X-1)(X-2)3.H(X) =Xn-1Xn-1(n?N?) 3.3 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles multiples
Supposons quea?Ksoit un pˆole d"ordren≥2.
La DES est alors de la forme :
quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
Preuve 4 :Admise.
Remarque9.
1. La fraction
?F=F-Eest appel´ee lapartie fractionnairedeF.2. Les termes apparaissant dans la d´ecomposition pr´ec´edentedeFsont appel´es des´el´ements simples.
Les ´el´ements simples
dansK(X) sont donc : 3 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ (a) Les polynˆomes deK[X]. (b) Les fractions rationnelles de la forme QPαavecP?K[X] irr´eductible,?Q?K[X]
degQ1. La DES surCest de la forme :F=E+n?
i=1?αi?
j=1λ ij (X-ai)j?2. La DES surRest de la forme :F=E+n?
i=1?αi?
j=1λ ij (X-ai)j?+p? i=1?βj?
j=1γ ijX+δij(X2+piX+qi)j? Exemple 5.(?) Donner la forme de la DES deF=X11-X5+ 1 (X2+X+ 1)3(X-2)3surCet surR.Python
La d´ecomposition en ´el´ements simples de F(X) sous Pythonest donn´ee par les instructions :
>>> from sympy import var, apart >>> var("X") >>> apart(F(X),X) Proposition 5 :Soitn?N?etP?Kn[X] scind´e?de racinesa1, ..., an d"ordre de multiplicit´eα1, ..., αn. La d´ecomposition en ´el´ements simples de P?Pest alors :
P P=n? k=1α kX-akPreuve 5 :Il suffit de faire le calcul ...
Exercice : 1
(??) SoitP?C[X] de degr´en?N?et de racinesx1, ...xndistinctes ou non. Soita?Ctel queP(a)?= 0.Calculer `a l"aide des donn´ees, les sommes :
1. n? i=11 a-xi2.n? i=1x ia-xi3.n? i=11(a-xi)24.n? i=1λ.x i+μ(a-xi)2(λ?= 0)Exercice : 2
(??) SoitP?R[X] n"ayant que des racines r´eelles. Montrer que pour toutx?R, on aP?2(x)-P(x)P??(x)≥0.3 D´ecomposition en El´ements Simples - La pratique
M´ethode g´en´erale de d´ecomposition en ´el´ements simples1. On commence par donner la forme g´en´erale de la d´ecompositionen ´el´ements simples.
2. A l"aide des techniques vues au paragraphe suivant, on d´etermine dans l"ordre :
- la partie enti`ereE, puis la partie fractionnaire?F. - les coefficients associ´ees aux pˆoles simples - les coefficients associ´es aux pˆoles multiples - les coefficients associ´es aux polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2 4 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 6.Ainsi, on pourra directement ´ecrire que : X 4 (X-1)(X-2)2=aX+b+cX-1+dX-2+e(X-2)2 et rechercher les coefficientsa,b,c,dete`a l"aide des techniques suivantes...3.1 Recherche de la partie enti`ereE
On commence par regarder si degF <0 car dans ce cas, on aE= 0.Sinon, on d´eterminera la partie enti`ereE:
1. Soit directement en effectuant la division euclidienne dePparQ
2. Soit en ´ecrivantEsous sa forme g´en´erale en remarquant que degE= deg(F).
On trouve alors les coefficients deEen comparant les ´equivalents des fonctions rationnelles associ´ees en +∞
puis en recommen¸cant l"op´eration apr`es avoir soustrait l"´equivalent obtenu.Exemple 7.(?) D´eterminer par deux m´ethodes diff´erentes la partie enti`erede la fractionF=X4
(X-1)(X-2)2.3.2 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles simples
NotonsF=P
Qirr´eductible avecaun pˆole simple.
Nous pouvons alors ´ecrire au choix :
F=P (X-a)?Qavec?Q(a)?= 0 ouF=P(X-a)Q?(a) + (X-a)2.Ten appliquant Taylor On en d´eduit alors les deux formules suivantes : Recherche de la partie polaireλX-aassoci´ee `a un pˆole simplea Pour trouver le scalaireλ, on peut utiliser l"une des deux formules suivantes : λ=P(a)?Q(a)o`uQ= (X-a)ˆQλ=P(a)Q?(a)lorsqueQn"est pas factoris´e Exemple 8.(?) D´ecomposer les fractions rationnelles suivantes surC.1.F(X) =X-4
(X-1)(X+ 1)X2.G(X) =X4+X+ 1X(X-1)(X-2)3.H(X) =Xn-1Xn-1(n?N?)3.3 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles multiples
Supposons quea?Ksoit un pˆole d"ordren≥2.
La DES est alors de la forme :
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