[PDF] Polynômes et fractions rationnelles

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Polynômes et fractions rationnelles

KdésigneRouC.

II - AlgèbreK[X]

KNdésigne l"ensemble des suites à valeurs dansK,K(N)l"ensemble des suites à valeurs dansKà support

fini(i.e.nulles à partir d"un certain rang, dites aussipresque nulles).

Définition :on appellepolynômeà coefficients dansK, toute suite à valeurs dansKà support fini.

Notations :pourN, on désigne par

la suite()N(dont tous les termes sont nuls sauf le -ième qui vaut 1).

La suite(

)Nà support dans[[0]]s"écrit =0, ou encore =0(étant entendu qu"il s"agit en fait d"une somme finie).

Produit de deux polynômes

Si= =0et= =0, alorsest le polynôme =0où : pour0+ =0 =0

Notation définitive

: on vérifie qu"en posant=1on a : N L"ensemble des polynômes à coefficients dansKest notéK[].

La suite= (

)Nà support dans[[0]]s"écrit alors= =0= =0. Théorème :(K[]+ )est uneK-algèbre commutative.

IIII - Degré, valuation

1) Degré

Définition :soit=

=0K[].

Si= 0, on appelledegrédel"entier naturelmaxN

= 0, notédeg.

Soit= deg,

est appelé lecoefficient dominantde P. On dit queestnormaliséouunitairesi et seulement si = 1.

Si= 0, on posedeg=.

Propriétés :soientetdeux polynômes à coefficients dansK.

1)deg(+)max (degdeg).

2) Sideg= deg, alorsdeg(+) = max (degdeg).

3)deg() = deg+ deg(addition dansN ).

Conséquence :un produit de polynômes est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul ((K[]+)est un anneau intègre).

Théorème :pour toutN, on poseK

[] =K[]deg= Vect12; K []est un sous-espace vectoriel de dimension+ 1deK[](mais n"est pas stable pour la multiplication, dès que1!).

Polynômes et fractions rationnellesPage 2

2) Valuation(hors programme)

Définition :soitK[]=

=0.

Si= 0, on poseval= minN

= 0.

Si= 0on poseval= +.

IIIIII - Division euclidienne

Théorème et définition :soientetdeux éléments deK[]tels que= 0.

Il existe un unique couple()de(K[])2tel que

=+etdeg deg etsont appelés respectivementquotientetrestedans la division euclidiennedepar. Définition :soientetdeux éléments deK[]; on dit queestdivisiblepar(ou quedivise )si et seulement s"il existedansK[]tel que=. Propriété :si= 0,est divisible parsi et seulement si le reste de la division euclidienne de parest nul (le quotient est alors ditquotient exact, noté).

IVIV - Fonctions polynomiales et notion de racine

1) Fonction polynomiale

Définition :lafonction polynomialeassociée à= =0est l"application˜:KK =0

2) Racines d"un polynôme

Définition :soientK[]etK.

On dit queestracine(ouzéro) desi et seulement si˜() = 0. Théorème :soitK[];˜()est le reste de la division euclidienne depar; est racine desi et seulement siest divisible par.

Conséquences :1) Soitun élément deK[]et

1scalaires distincts deux à deux ;

1sont racines desi et seulement siest divisible par

=1

2) Soientun élément deK[]etN; sidegeta au moins+1racines

distinctes, alorsest le polynôme nul. Siadmet une infinité de racines, alorsest le polynôme nul. Kétant un corps infini, l"application˜définit un isomorphisme deK-algèbres deK[]sur l"ensemble des fonctions polynomiales ; onidentifiesouventet˜.

3) Algorithme de Horner

Soient=

=0etK. On pose :=et pour=10=+1+. Alors

0=(), ce qui permet de calculer()au prix deadditions etmultiplications seulement !

De plus,=

1 =0 +1est le quotient de la division euclidienne depar.

Polynômes et fractions rationnellesPage 3

4) Ordre de multiplicité d"une racine

Définition :soientK[],KetN; on dit queest une racine demultiplicité(ou d"ordre)desi et seulement si() diviseet()+1ne divise pas; autrement dit= max N() divise

5) Dérivation formelle

Définition :on appelledérivationdansK[]l"unique endomorphismedeK[]tel que : (1) = 0etN () =1

PourdansK[],()est aussi noté

, et, siN,()est noté()(dérivation

à l"ordre).

NB :surR, la fonction polynomiale associée à coïncide bien avec la dérivée de la fonction polyno- miale associée à! Propriétés :1)est surjectif, non injectif ;Ker=K(ensemble des polynômes constants).

2)()K[]

2()=+.

3)Formule de Leibniz

()K[]

2N()()=

=0

4) Soit=

=0 , de degré; si , alors()= 0; sideg, alors deg ()=et plus précisément : =0

Formule de Mac-Laurin pour les polynômes

: siest un polynôme de degré, alors =0 ()(0) =0 ()(0)

Formule de Taylor pour les polynômes

: soientK[]etK, =0 et(+) = =0

Conséquence :pour toutdeNet toutdeK,(()

)0est une base deK[].

6) Caractérisation des racines multiples d"un polynôme

Théorème :soientK[],KetN.

1)est racine d"ordredesi et seulement si :

011 ()() = 0 et()()= 0

2) Siest racine d"ordrede, alors, pour1,est racine d"ordrede

VV - Polynômes scindés

1) Définitions

Un polynômedeK[]est ditscindé surKsi et seulement siest constant ou admet des racines dansKdont la somme des multiplicités vaut= deg.

Polynômes et fractions rationnellesPage 4

Tout polynôme scindé non constant s"écrit sous la forme =1 ()j avecdansC , lesdansC, distincts deux à deux, lesdansN.1estl"ensemble des racinesde,est le nombre de racines de(deg= =1

On peut aussi écrire

=1

On dit que(

1)estun système de racinesde: parmi les, qui ne sont pas nécessairement

distincts, on retrouve chacun des , répété autant de fois que son ordre de multiplicité (deg=).

2) Relations entre coefficients et racines d"un polynôme scindé

a) Fonctions symétriques élémentaires Soit(

1)K; lesfonctions symétriques élémentairesde1sont les

112k
12k1

En particulier,

1= =1 =12= =1 b) Relations entre coefficients et racines

Théorème :soient1,=

=0dansK[], de degré(= 0), et(1)dansK.

1)est un système de racines desi et seulement si

N = (1)

Lorsque c"est le cas, on a

=1 =1 (1)

11++ (1)

c) Cas= 2 Pour

12dansK, on a :

1)(2) =21+2où1=1+2et2=12

Il en résulte que, si l"on cherche deux nombres connaissant leur sommeet leur produit, ces nombres

forment nécessairement un système de racines du polynôme

2+. Il existent toujours lorsque

K=C. LorsqueK=R, ils existent si et seulement si

240.
VIVI - Polynômes irréductibles dansC[X], dansR[X]

1) Définition

Un polynômedeK[]est ditirréductibledansK[]si et seulement siest non constant et admet pour seuls diviseurs dansK[]leset les,K

Caractérisation :, non constant, est irréductible dansK[]si et seulement sine peut pas s"écrire

sous la forme du produit de deux polynômes non constants. Exemples :les polynômes de degré 1 sont irréductibles ;

2+ 1est irréductible dansR[], mais pas

dansC[](où

2+ 1 = ()(+)).

Polynômes et fractions rationnellesPage 5

2) Irréductibilité dansC[X]

a) Théorème de d"Alembert-Gauss Tout polynôme non constant deC[]admet au moins une racine dansC. b) Conséquences

1)Tout polynôme deC[]est scindé surC.

2)Les polynômes irréductibles deC[]sont les polynômes de degré 1.

3)Tout polynôme non constantdeC[]se décompose en produit de facteurs irréductibles dans

C[]sous la forme

=1 ()j avecdansC , lesdansC, lesdansN. c) Exemple fondamental SoitN ; les racines du polynôme1sont les racines-ièmes de l"unité : 1 = 1 =0 2

3) Irréductibilité dansR[X]

Propriétés :soientR[],C.

1)

2) Siest racine de, alors

est racine deavec la même multiplicité.

Conséquences :1) Les polynômes irréductibles deR[]sont les polynômes de degré 1 et les polynômes

de degré 2 à discriminant strictement négatif.

2) Tout polynôme non constantdeR[]se décompose en produit de facteurs

irréductibles dansR[]sous la forme =1 ()i =1 (2++)j avecdansR , lesdansR, tels que :N2

40et les

dansN(on peut avoirounul, le produit correspondant valant alors 1).

VIIVII - CorpsK(X)des fractions rationnelles

1) Présentation

On pose=K[](K[]0). Étant donné un couple()de, lafraction rationnellede représentant()est l"ensemble des couples()detels que=(ces couples sontles représentantsde). On convient, si()est l"un de ces couples, d"écrire L"ensemble de ces fractions rationnelles, ditesà coefficients dansK, est notéK().

Étant donnésdansK()et(),()danstels que=

et=, on vérifie que les fractions rationnelles etrestent inchangées si l"on remplace(),()par d"autres représentants derespectivement. On peut donc poser et=

Polynômes et fractions rationnellesPage 6

On vérifie que les deux lois de composition internes+etainsi définies confèrent àK()une structure

de corps. L"application deK[]dansK()qui à tout polynômeassocie la fraction rationnelle1étant un morphisme d"anneaux injectif, on convient d"identifieret1. K[]apparaît ainsi comme un sous-anneau de(K()+).

2) Degré d"une fraction rationnelle

Théorème et définition :soit=K()(avecdansK[],= 0). L"élémentdegdegdeZne dépend pas du choix du représen- tant()de. On l"appelledegréde, notédeg. NB :1) La différencedegdegest bien définie dansZcarest non nul, doncdegN.

2) Lorsqueest un polynôme, on retrouve bien son degré !

Propriétés :soientdansK[].

a)deg(+)max(degdeg); b)deg() = deg+ deg.

3) Représentants irréductibles

Définition :soitK(); on appellereprésentant irréductibledetout couple()de polynômes premiers entre eux(i.e.n"ayant aucun facteur irréductible commun dansK[]) tel que . On dit aussi que la fractionestirréductible.

Propriétés :toute fraction rationnelleadmet des représentants irréductibles ; si()est l"un

d"eux, alors l"ensemble des représentants irréductibles deest() K et l"ensemble des représentants deest() K[]0.

4) Fonctions rationnelles

Définition :soientK()et()un représentant irréductible de; la fonction˜deKdansK qui àassocie˜() =() ()ne dépend pas du choix de()parmi les représentants irréductibles de. On l"appellefonction rationnelleassociée à.

Son ensemble de définition estKK () = 0.

L"application˜définit un isomorphisme de corps deK()sur l"ensemble des fonctions ra- tionnelles ; onidentifiesouventet˜.

5) Zéros et pôles d"une fraction rationnelle

SoientK(),()un représentant irréductible de,KetN.

1)est unzéro d"ordredesi et seulement siest racine d"ordredu numérateur.

2)est unpôle d"ordredesi et seulement siest racine d"ordredu dénominateur.

6) Dérivation des fractions rationnelles

SoientK()et()un représentant de; on vérifie que la fraction rationnelle 2ne dépend pas du choix de()parmi les représentants de.

On l"appelledérivéede, notée

L"application

prolonge la dérivation des polynômes ; c"est un endomorphisme duK-espace vectoriel(K()+)et l"on a ()K() 2()=+

On peut définir par récurrence les dérivées successives d"une fraction rationnelle et l"on retrouve la

formule de Leibniz.

Polynômes et fractions rationnellesPage 7

7) Décomposition en éléments simples

a) Partie entière Toute fraction rationnelledeK()s"écrit de manière unique=+, avecpolynôme deK[] etfraction rationnelle de degré strictement négatif.est lapartie entièrede. En outre,est le quotient de la division euclidienne deparpour tout représentant()de. b) Partie polaire relative à un pôle

SoitK()etK,N

tels quesoit un pôle d"ordrede.s"écrit de manière unique =1 ()+1 où(1)Ket1K(),1n"admettant paspour pôle. =1 ()est lapartie polairederelative au pôle.

Remarques pratiques

1)Le coefficient

s"obtient immédiatement : (la fraction rationnelle() n"admet pluspour pôle, on peut donc évaluer la fonction rationnelle associée en!). Si= (), avecpolynômes tels que()= 0()= 0, alors

Itération

: une foisdéterminé, on peut réduire au même dénominateur et simplifer

dontest pôle d"ordre strictement inférieur à! On peut alors appliquer les remarques précédentes

à cette nouvelle fraction rationnelle et réitérer jusqu"à ce quene soit plus pôle

2)Cas d"un pôle simple

: si=, avec,polynômes tels que= (),()= 0, ()= 0, alors la partie polaire derelative au pôle simplese réduit à , avec

3)Cas d"un pôle double

: siadmetcomme pôle d"ordre 2, la partie polaire correspondante est de la forme 1 2 ()2, avec

2=()2()et1=()2()

(en effet()

2est de la forme :2+ ()1+ ()21, où1n"admet paspour

pôle).

4)Penser aussi que, lorsqu"il ne manque qu"un ou deux coefficients, on peut obtenir une relation en

évaluanten un point bien choisi. Lorsquedeg 0, on peut également déterminer la limite en +de la fonction rationnelle().

Polynômes et fractions rationnellesPage 8

c) Décomposition en éléments simples dansC()

Théorème :toute fraction rationnelledeC()est égale à la somme de sa partie entière et de ses

parties polaires.

On obtient ainsi l"existence et l"unicité dela décomposition en éléments simplesdesous la forme

=1 i =1 où : est un polynôme deC[](la partie entière de) ; les complexes sont les pôles de,étant l"ordre de multiplicité de; les sont des nombres complexes, coefficients des différentes parties polaires de.

Exemple fondamental

:décomposition en éléments simples de

SoitC[]et(

1)un système de racines de(répétées selon leur multiplicité !). Ainsi, en

notant le coefficient dominant de, on a : =1 ()et =1 1

En effet,

=1 De même, en regroupant les racines multiples, notant

1l"ensemble des racines deetla

multiplicité de pour toutde[[1]], on a : =1 ()jet =1 d) Décomposition en éléments simples dansR()(non exigible) Toute fraction rationnelledeR()se décompose sous la forme =1 i =1 =1 i =1 (2++) où : est un polynôme deR[](la partie entière de) ; les réels sont les pôles de,étant l"ordre de multiplicité de; les sont des nombres réels, coefficients des différentes parties polaires de;

les termes de la dernière somme sont leséléments simples de seconde espèce, associés aux éventuels

facteurs irréductibles du second degré du dénominateur dedansR[]; les sont des réels tels que, pour tout, 2 40.
e) Cas particulier important Si le dénominateur deadmet un unique facteur irréductible(= avecK[]etN),

alors la décomposition en éléments simples des"obtient en effectuant la division euclidienne depar

, soit=

1+1, puis la division euclidienne de1par, soit1=2+2, etc.

En effet on a alors :

=1 1+1 =2 2+2 1+1

Tant que

= 0, on adeg= degdeg.

Or on stoppe bien sûr les calculs dès que

= 0ou=. Par conséquent, l"itération s"arrête au pire avec le calculde , qui est la partie entière de.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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