[PDF] TD1 : Variables aléatoires réelles vecteurs aléatoires

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1 ere annee Probabilites generales - Cursus Mathematiques ENSAI TD1 : Variables aleatoires reelles, vecteurs aleatoires

Exercice 1

SoitF:R!Rla fonction denie pourx2RparF(x) =ex2

1(1;0)(x) +1[0;1)(x).

1. Mon trerque Fest une fonction de repartition d'une mesure de probabilite. 2.

En cas de r eponsep ositive ala question pr ecedante,on se donne Xunev.a.r.de fonction de repartitionF. La

variableXadmet-elle une densite?

Exercice 2

SoitXunev.a.r.de densitef(x) =xex2=21(0;1)(x).

1.

V erierque fest une densite de probabilite.

2. La v ariableal eatoireY=X2est-elle a densite? Reconna^tre la loi deY. 3.

Calculer l'esp eranceet la v ariancede Y.

Exercice 3

SoitX N(0;1).

1.

D eterminerles lois de eX(cette loi est appelee loi log-normale),jXjetX2(loi du2(1)). Pour ce faire, on determinera

les fonctions de repartition et les densites. 2. Calculer l'esp eranceet la v ariancede ces v.a.r.. 3.

Calculer le momen td'ordre k(k2N) deX.

Exercice 4

Unev.a.r.Xsuit une loi de WeibullW(;) si sa densite est egale a : f

X(x) =x1ex1R+(x); ; >0:

1.

D eterminerla fonction de r epartitionde X.

2.

On supp oseque Xmodelise la duree de vie d'un composant electronique. On appelle taux de panne deXla fonction :

h

X(x) =fX(x)1FX(x); x0:

ExpliciterhX.

3. Calculer le momen td'ordre k(k2N) deX. En deduire l'esperance et la variance deX.

Exercice 5

Montrer qu'unev.a.Xnon identiquement nulle a valeurs positives suit une loi exponentielle si et seulement si elle est

diuse et sans memoire,i.e.pour touss;t >0 :P(X > s+tjX > s) =P(X > t).

Exercice 6

La loi b^eta de 1ere especeI(a;b),a;b >0, admet pour densite : f(x) =1B(a;b)xa1(1x)b11[0;1](x);ouB(a;b) =Z 1 0 xa1(1x)b1dx: 1.

Mon trerque B(a;b) =(a)(b)(a+b)pour tousa;b >0.

2.

Soit U U[0;1]. Montrer queUetU2suivent des lois b^eta particulieres dont on precisera les parametres.

3.

Calculer le momen td'ordre k(k2N) deXI(a;b).

4.

En d eduirel 'esperanceet la v ariancede X.

Exercice 7

SoitX N(0;1). On s'interesse a lav.a.X+= max(X;0). 1

1.Que v aut

R

Rh(x)d0(x)?

2.

A l'aide de la caracterisation par des fonctions tests, montrer que la loi deX+est un melange d'une masse de Dirac

en 0 et d'une loi a densite qu'on determinera. 3.

D eterminerl'esp eranceet la v ariancede X+.

Exercice 8

Soitf:R!R+la fonction denie pourx2Rparf(x) =a(a2+x2)oua >0 est un parametre. 1.

Mon trerque fest une densite de probabilite. La loi associee est appelee loi de Cauchy (centree) de parametrea >0

et est noteeC(a). 2. Soit X C(1). Montrer queXn'admet pas de premier moment. 3.

D eterminerla loi de log jXj.

Exercice 9

SoitXla duree de vie, en annees, d'un composant electronique. On suppose queX E() (loi exponentielle), >0.

En outre, l'exploitant a une politique le conduisant a changer systematiquement tout composant dont la duree de vie a

atteint 5 ans. SoitYla duree de vie d'un composant. Determiner la loi deYappelee loi tronquee.

Exercice 10

SoitX E(). Determiner la loi deY=bXcoubcest la partie entiere.

Exercice 11

Soit (X;Y) et (U;V) deux vecteurs aleatoires de densites respectives f(x;y) =14 (1 +xy)1[1;1]2(x;y) etg(u;v) =14

1[1;1]2(u;v):

1.

V erierque fetgsont bien des densites surR2.

2. D eterminerles densit esmarginales de ( X;Y) et (U;V) notees respectivementfX;fY;gUetgV. 3.

Justier que XetUd'une part, et queYetVd'autre part ont m^eme loi mais que, cependant, (X;Y) et (U;V) ne

suivent pas la m^eme loi.

Exercice 12(Extrait du partiel de novembre 2016)

SoientXetYdeux variables aleatoires positives de carre integrable denies sur un espace probabilise ( ;F;P) et soit

2(0;1).

1. Sous quelle condition a-t-on E(X2) = 0? Dans la suite une telle situation est supposee exclue. 2. En consid erantla fonction !E[(X+Y)2], retrouver l'inegalite de Cauchy-Schwarz

E(XY)2E(X2)E(Y2):

3.

Mon trerque p ourtout 2(0;1)

(1)E(X)E(X1[E(X);1)(X)): 4.

En d eduire

P(XE(X))(1)2E(X)2E(X2):

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- Partage dans les m^emes conditions 4.0 International" 2 1 ere annee Probabilites generales - Cursus Mathematiques ENSAI TD1 : Variables aleatoires reelles, vecteurs aleatoires

Exercice 1

1.

La fonction Fest croissante deRdans [0;1], continue a droite, limitee a gauche (cadlag) | elle est en fait continue

partout sauf en 0, l'ouverture/fermeture des bornes sur les indicatrices est alors primordiale |, en lim

x!1F(x) = 0 et lim x!1F(x) = 1. DoncFest une fonction de repartition. 2.

La fonction Fest derivable sauf en 0. Un candidat naturelle pour la densite deXest sa derivee :F0(x) =12

ex1(1;0) presque partout. Par contre, on verie queRF0(x)dx=12

6= 1, doncXn'admet pas de densite. On aurait pu aussi

remarquer queP(X= 0) =12 contredisant ainsi le fait queXadmette une densite.

Exercice 2

1.

La fonction fest mesurable positive et

Z R f(x)dx=Z 1 0 xex2=2dx= [ex2=2]10= 1: 2. Utilisons la m ethodedes fonctions te sts.Soit gune fonction mesurable bornee et calculons Z g(y)fY(y)dy=E(g(Y)) =E(g(x2)) =Z 1 0 g(x2)xex2=2dx: On fait le changement de variablesy=x2, d'oux=pyetdx=dy=2py: Z 1 0 g(y)12 ey=2dy: On retrouve la densite d'une loi exponentielle de parametre 12 3. On calcule al'aide d'une in tegrationpar partie :

E(Y) =Z

1 0 x12 ex=2dx= [xex=2]10+Z 1 0 ex=2dx= 2:

De m^eme,

E(Y2) =Z

1 0 x212 ex=2dx= [x2ex=2]10+Z 1 0

2xex=2dx= 4E(Y) = 8:

D'ouV(Y) = 822= 4.

Exercice 3

1.

Soit gune fonction mesurable bornee.

E(g(eX)) =Z

R g(ex)ex2=2p2dx:

On posey=ex,x= lnyetdx=dy=y:

E(g(eX)) =Z

1 0 g(y)e(lny)2y p2dy:

E(g(jXj)) =Z

1 0 g(x)2ex2=2p2dx:

E(g(X2)) = 2Z

1 0 g(x2)ex2=2p2dx=Z 1 0 g(y)ey=2p2ydy:

Nous pouvons egalement tenter de caracteriser ces lois a la de la fonction de repartition, m^eme si ce n'est la methode

la plus facile a mettre en oeuvre. 1 |Soit t2Ralors

F(t) =P(eXt) =P(Xlnt) = (lnt);

ou est la fonction de repartition d'une loi gaussienne centree et reduite. Pour obtenir la densite, on calcule la

derivee : F

0(t) =e(lnt)2=2t

p2:

On verie facilement que

R1

0F0(t)dt=F(1)F(1) = 1.

P ourt0,P(jXj t) = 0, sinon, pourt >0, nous avons

F(t) =P(jXj t) = (t)(t):

Comme precedemment,

F

0(t) = 2et2=2p21[0;1);etZ

1 0

F0(t)dt=F(1)F(0) = 1:

P ourt0,P(jX2j t) = 0. Pourt >0,

F(t) =P(jXj2t) = (pt)(pt):

De m^eme,

F

0(t) = 2et=2p2t1(0;1)etZ

1 0

F0(t)dt= 1:

2.

Calculons

E(eX) =Z

1 1 exex2=2p2=Z 1

1exp((x1)2=2 + 1=2)p2dx=pe:

De m^eme,

E(e2X) =Z

1 1 exex2=2p2=Z 1 1 exp((x2)2=2 + 2)dx=e2:

Enn,V(ejXj) =e2e=e(e1).

On calcule

E(jXj) = 2Z

1 0 xex2=2p2dx=r2 [ex2=2]10=r2

On remarqueE(X2) n'est rien d'autre que la variance d'une gaussienne centree et reduite, elle vaut donc 1.

Ici encore, p ourles m ^emesraisons E(X2) = 1. Nous devons alculerE(X4), on fait quelque chose de plus general

a la question suivante. 3. Soit k1, sikest impair, alorsE(Xk) = 0. Soitkpair, c'est a direk= 2m.

E(X2m) =Z

R x2mex2=2p2=1p2Z R x2m1d ex2=2 =1p2[x2m1ex2=2]11+2m1p2Z R x2m2ex2=2dx:

Ainsi,E(X2m) = (2m1)E(X2m2) =(2m)!2

mm!. Par exempleE(X4) = 3 etV(X2) = 1.

Exercice 4

1.

P ourt0,P(X0) = 0. Sit >0, alors

P(Xt) =Z

t 0 x1exdx= [ex]t0= 1et: 2.

Il vien tfacilemen tque

h

X(x) =x1exe

x=x1: 3.

Soit k1, alors par le theoreme de transfert

E(Xk) =Z

1 0 x1+kexdx:

On fait le changement de variabley=xd'oux=y

1=, c'est unC1-dieomorphisme deR+dans lui-m^eme et

dx=1 y 1

1dy. Il vient :

E(Xk) =Z

1 0 y 11 +k y 1

1eydy=k=Z

1 0 yk eydy=k=k + 1 =k=k k 2

Exercice 5

Supposons d'abord queXsuive une loi exponentielle de parametre >0. Alors

P(X > s+tjX > t) =P(X > s+t)P(X > t)=e(s+t)e

t=P(X > s): Reciproquement, supposons queXsoit sans memoire. Alors, pour tout entiern0 ett >0 :

P(X > nt+tjX > n) =P(X > t)P(X > nt)

Ceci montre queP(X > nt) = (P(X > t))n. Maintenant, pour toutp2Zetq2Nnous obtenons P(X > p=q) = (P(X >1=q))petP(X >1) =P(X > q=q) = (P(X >1=q))q:

Finalement,P(X > p=q) = (P(X >1))p=q=epq

lnP(X>1). Supposons un instant queP(X >1) = 0 alors pour toutn1, 0 =P(X >1) =P(X >1=n)ndoncP(X >1=n) = 0; il vient alors par postivite deXque

P(X6= 0) =P(X <0) +P(X >0) =P0

n1fX >1=ng1 A X n1P(X >1=n) = 0

impliquantP(X= 0) = 1. Par consequent siXest supposee positive et non identiquement nulle alorsP(X >1)>0.

Enn,Xest diuse donc sa fonction de repartition et sa queue de distribution est continue. Par densite deQdans

R, on obtient par unicite du prolongement par continuite, queP(X > t)etlnP(X>1)pour toutt0 etXsuit une loi

exponentielle.

En fait, siXn'est pas supposee diuse, elle suit une loi geometrique ou exponentielle suivant queP(X= 0)>0 ou non.

Exercice 6

1.

Rapp elonsque ( x) =R1

0tx1etdx. Alors

(a)(b) =Z 1 0Z 1 0 ta1sb1e(t+s)dsdt:

En faisant le changement de variable (u;v) = (t+s;t=(t+s)) ou de maniere equivalente (t;s) = (uv;u(1v)). Il est

clair que (t;s) =(u;v) = (uv;u(1v)) est unC1-dieomorphisme de (0;1)(0;1) dans (0;1)2. La jacobienne deest donnee par

Jac(u;v) =v u

1vu et son determinant estu. D'ou, par la formule du changement de variables (a)(b) =Z 1 0Z 1 0 (uv)a1ub1(1v)b1euu dvdu=Z 1 0 ua+b1euduZ 1 0 va1(1v)b1dv= (a+b)B(a;b): 2. Il est clair que UI(1;1). PourU2, consideronsgune fonction mesurable bornee

E(g(U2)) =Z

1 0 g(x2)dx=Z 1 0 g(y)dy2 py

Il est clair queB(1=2;1) = 2 et doncU2I(1=2;1).

3.

Nous a vons

E(Xk) =1B(a;b)Z

1 0 xa1+k(1x)b1dx=B(a+k;b)B(a;b)=Q k1 `=0(a+`)Q k1 `=0(a+b+`): 4. Ainsi, E(X) =aa+betE(X2) =a(a+1)(a+b)(a+b+1)si bien queV(X) =ab(a+b)2(a+b+1).

Exercice 7

1. P ard enitionsi h=1AalorsRh d0=0(A) =1A(0) =h(0). Cette egalite est encore vraie sihest une fonction

etagee et par convergence monotone sihest une fonction mesurable positive. Sihest integrable, en decomposant

h=h+hen parties positives et negatives, nous obtenons encoreRh d0=h(0). 3

2.Soit gune fonction mesurable bornee et calculons

E(g(X+)) =Z

R g(x_0)ex2=2p2dx=12 g(0) +12 Z R g(x)r2 ex2=21R+(x)dx: Ceci montre que la loi deX+est une combinaison convexe de0et de la loi de densiteq2 ex2=21R+(x). 3.

Il sut de remplacer gpar la fonction identite :

E(X+) =12

Z 1 0 xr2 ex2=21R+(x)dx=1p2h ex2=2i1

0=1p2:

Exercice 8

1.

La fonction fest clairement positive et

Z R f(x)dx=1 arctan(x=a) 1 1 = 1: 2.

P ard enition

EjXj=Z

1

1jxj(1 +x2)dx=1:

Pour la derniere egalite, il sut de minorer a l'inni par une en 1=jxjqui n'est pas integrable. 3.

Soit gune fonction mesurable bornee. Alors

E(g(logjXj)) =Z

R g(logjxj)1(1 +x2)dx= 2Z 1 0 g(logx)1(1 +x2)dx = 2 Z 1 1 g(y)ey(1 +e2y)dy=Z R g(y)1cosh(y)1R+(y)dy:

Exercice 9

Par denition,Y=X^5. Soitgune fonction mesurable bornee, alors

E(g(Y)) =Z

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