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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l"Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti...que

UNIVERSITÉ MOHAMED KHIDER, BISKRA

FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

Mémoire présenté en vue de l"obtention du Diplôme:

MASTER en Mathématiques

Option :Statistique

Par

Hani Soumia

Titre :

Vecteurs Gaussiens

Membres du Comité d"Examen :

Dr.Berkane HassibaUMKB Président

Dr.Ouanoughi YasminaUMKB Encadreur

Dr.Kheireddine SourayaUMKB Examinateur

Septembre 2020

Dédicace

Je dédie ce humble travail.

La plus proch de mon coeur celle que a fait l"impossible pour me donner le bonheur mon chère mère. A mon père qui fait l"impossible pour me donner le bonheur et pour suivre mes études jusqu"à ce jour. Je dédie aussi ce travail à mes frères et tout ma famille:

A tous mes amies de promotion 2019/2020

de mathématiques. A toute personne que prendra de son temps pour lire ce document à parfaire. i

REMERCIEMENTS

Avant tout choses, je remercie àDieule tout puissant, pour m"avoir donnée la force et la patience, la santé et la volonté pour réaliser ce modeste travail. Mes premiers remerciement s"adressent à mon encadreur Mdm.Ouanoughi Yasminaqui a bien voulu me proposer ce thème et m"aider au cours de sa réalisation. Je tiens à remercier :Dr.Hacene Nacerpour ces vonseils, ses orientations, et la con...ance qu"il m"accorde. Je tien à remercie les membres du Jury qui m"ont fait l"honneur de participer

à ma soutenance.

père, ma mère, mes frères et ma soeur qui ont été et seront toujours présents à mes côtés,

merci pour votre soutient et vos encouragements. Un grand merci particulier à mes collègues et mes amies pour les sympathiques moments qu"on a passés ensemble, on les remerci pour leur con...ance, et leur soutien moral au cours de ces années.

Que tout ceux, que je n"ai pas nommés.

Merci ii

Table des matières

Dédicacei

Remerciements ii

Table des matières iii

Liste des tableaux v

Introduction 1

1

V ariablesa léatoires

2

1.1 Modèle de Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1 Espace de Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2 Moments d"une Variable aléatoire discète . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3 Lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.5 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0

1.2.6 Couple de v.a discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0

1.2.7 Relation entre deux v.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3

1.3 Variable continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4

1.3.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 5

1.3.2 Fonction de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 5 iii

Table des matières

1.3.3 Caractéristiques des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 6

1.3.4 Loi de probabilité continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7

1.3.5 Couple de v.a continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2

V ecteursG aussiens

2 7

2.1 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 7

2.1.1 Loi d"un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 7

2.1.2 Moments d"un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 8

2.1.3 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 1

2.2 Vecteurs Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 2

2.2.1 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 2

2.2.2 Caractéristique des vecteus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 5

2.2.3 Quelques propriétés des vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . .

3 8

2.2.4 Le théorème central limite vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 1

2.2.5 Espérance conditionnelle et projection orthogonale . . . . . . . . . .

4 2

2.2.6 Lois conditionnelles et prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 3

Bibliographie 45

Annexe B : Abréviations et Notations 46

iv

Liste des tableaux

1.1 fonction caractéristique de loi discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0

1.2 fonction caractéristique de loi continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 v

Introduction

La popularité des modèles gaussiens tient à ce qu"ils se prêtent bien au calcul et les pro-

blèmes relatifs à de tels modèles reçoivent souvent une solution analytique complète sous

une forme agréable. Cet avantage réside principalement dans les deux propriétés de stabi-

lité suivantes : d"une part les transformations a¢ nes des vecteurs gaussiens produisent des vecteurs gaussiens, d"autre part lorsque deux vecteurs sont gaussiens dans leur ensemble, le conditionnement de l"un par l"autre conduit à un vecteur gaussien qui est une combinaison a¢ ne du vecteur conditionnant Cependant, le seul fait que le calcul gaussien soit agréable ne su¢ rait pas à justi...er l"usage des modèles gaussiens. Il y a une raison profonde qui fait que la distribution gaussienne apparait naturellement dans

les phénomènes aléatoires dont la base physique est de nature microscopique et qu"on observe

à l"échelle macroscopique. Les petite contributions supposées indépendantes (mais cette hy-

pothèse n"est pas absolument nécessaire) de chaque électron, s"ajoute pour former un courant

gaussien, et cela quelle que soit la distribution statistique des contributions individuelles. Les variables gaussiennes sont des lois universelles qui sont d"une importance particulière. Il sera très utile en particulier en statistique de pouvoir passer du cas de la dimension 1 à des dimensions plus grandes. Ce passage nécessite de développer un formalisme qui sera l"objet du chapitre (1). Dans le chapitre 2, nous calculerons la fonction caractéristique des vecteurs gaussiens que nous aurons préalablement dé...nis. Nous montrerons aussi comment

nous pouvons alors aborder de manière très e¢ cace et très simple les problèmes d"indépen-

dance de variables gaussiennes. Nous énoncerons ensuite le théorème central limite vectoriel.

Nous terminerons par la propriété suivante : le conditionnement de deux vecteurs gaussien conduit à un vecteur gaussien qui est une combinaison a¢ ne du vecteur conditionnant. 1

Chapitre 1

Variables aléatoires

1.1 Modèle de Probabilité

Dé...nition 1.1 (Tribu)On dit queTest une tribu de l"univers si, et seulement si, 1. 2T: 2.

P ourt outA2T,A2T:

3. P ourt outef amilled "événements( Ak)k2Ntelle que, pourk2NAk2T[1k=0Ak2T:[3] Dé...nition 1.2 (Probabilités)On appelle probabilité dé...nie sur ( ;T)toute application

P:T!Rtelle que :

iP( ) = 1: iiPour tout suitAnd"événement incompatibles, soitAn2TavecAn\Am=?pourm6=n:

P([+1n=0An) =+1X

n=0P(An):(1.1)

1.1.1 Espace de Probabilité

Le triplet(

;T;P)est appelé espace probabilisé si est ...ni ou in...ni dénombrable (comme, par exemple, =N), on prendT=P( ), l"ensemble des parties de 2

Chapitre 1. Varaible aléatoire

Propriètès élémentaires :

1.P(A) = 1P(A):

2.P(A) =P(A\B) +P(A\B):

3.AB)P(A)P(B):

4. S i est ...nie ou in...nie dénombrable :

P(A) =X

!2AP(f!g);X !2

P(f!g) = 1:(1.2)

1.2 Variables discrètes

Dé...nition 1.3 (Variables discrètes)SiXest une variable que ses valeurs dant un en-

semble ...ni ou dénombrableI. On dit qu"elle est discrètes pour ce type de variable on dé...nit

la fonction poids en chaque point :

P(i) =P(X=i);i2I:(1.3)

1.2.1 Fonction de répartition

Dé...nition 1.4 (Fonction de répartition)On appelle fonction de répartition de lav:a.X; la fonctionFXdé...nite surRpar F

X(x) =P(Xx) =PX(] 1;x]):(1.4)

Propriétés :

-FXfonction croissante au sens large.i;e sixx0)FX(x)FXx0: -limx!1FX(x) = 0: -limx!+1FX(x) = 1: -FXest continue à droite en tout point deR. -FXn"est pas nécessairement continue à gauche.[11] 3

Chapitre 1. Varaible aléatoire

1.2.2 Moments d"une Variable aléatoire discète

Dé...nition 1.5 (L"espérance mathématique)L"espérence ou moyenne d"unev:adiscrète

Xest, le réel

E(X) =X

kkP[X=k];(1.5) ou on somme sur toutes les valeurskque prendreX. PropiétésSoientXetYdeuxv:a.on a les propriétés :

1.E(X)est ...nie ssiE(jXj)est ...nie.

2.jXj YetE(Y)est ...nie entrainentE(X)...nie.

3. - 1< aXb <+1 )aE(X)b:

4.X=ap.s)E(X) =a:

5.E(X)...nie suivant consigne les propriétés de l"esperance mathématique.

Théorème 1.1SoitXetYdeuxv:a.discrètes

SiEjXj<1etEjYj<1, alors on a les propriétes :

A :lineairité:

(1)E(X+Y) =E(X) +E(Y): (2)E(X) =E(X)82R:

B :Monotonie:

(1)X0)E(X)0: (2)XY)E(X)E(Y): (3)X=Yp.s)E(X) =E(Y): C :Indépendance :SiXetYsont indépendance, alorsE(XY)est ...nie et l"on a

E(XY) =E(X)E(Y):

[8] 4

Chapitre 1. Varaible aléatoire

Théorème 1.2Pour tout fonctiong,

E(g(X)) =X

kg(k)P(X=k):(1.6) Dé...nition 1.6 (Variance)Nous dirons qu"unev:a Xde carré integrable siE(X2)<+1. L"ensemble desv:a.de carré intégrable est notéL2. Supposons queE(X2)<1, on appelleVariancedeXle nombre positif

V ar(X) =E(XE(X))2:(1.7)

On a

V ar(X) =E(XE(X))2

X k(kE(X))2P[X=k] =EX2E(X)2: La variance mesure le carré d"une distance a la moyenne.

Ecart-Type deX:

(X) =pV ar(X):(1.8) [7] 5

Chapitre 1. Varaible aléatoire

Propriétés de la variance :

S oientaetbdeux constantes etX v:a:

V(aX+b) =a2:V(X):

V(aX+b) =E((aX+b)E(aX+b))2;

or, d"aprées la première propriété de l"espérance mathématique et aprés simpli...cation :

V(aX+b) =E[a2(XE(X))2]

=a2E(XE(X))2 =a2V(X):

S oientXetYdeuxv:aindependantes :

V(X+Y) =E[X+YE(X+Y)]2

=E[XE(X) +YE(Y)]2 =E[XE(X)]2+E[YE(Y)]2+ 2E[(XE(X))(YE(Y))] =V ar(X) +V ar(Y):

Ce résultat se généralisé pourn v:aindépendante. SoientX1;X2;:::;Xnn v:aindépendante,

nous obtenons :

V(X1+X2+:::+Xn) =V(X1) +V(X2) +:::+V(Xn):

Donc pour lesv:aindépendante, la variance d"une somme est égale à la somme des va- riances. 6

Chapitre 1. Varaible aléatoire

Dé...nition 1.7Nous dirons qu"une v.a de carré intégrableXest centrée réduite si

E(X) = 0;V ar(X) = 1:

Proposition 1.1SoitY v:ade carré intégrable. Alors, lav:a:Xdé...nie par :

X=YE(Y)

Y; est centée réduite.

1.2.3 Lois discrètes classiques

Loi de Bernoulli

Dé...nition 1.8La variable aléatoireXsuit la loi de Bernoulli de paramètrep(p2[0;1])si elle ne prend que deux valeurs0et1avec : 8 :P(X= 1) =p:

P(X= 0) = 1p=q:(1.9)

Notation 1X B(p).

Proposition 1.2SiXsuit la loi de Bernoulli de paramétrep

E(X) =p et V(X) =p(1p)

Loi uniforme sur un ensemble ...ni de rèels

Dé...nition 1.9La variable aléatoireXsuit la loi uniforme sur l"ensemble de réelsfx1;:::;xng

siPxest l"équiprobabilité sur cet ensemble. Autrement dit, l"ensemble des valeurs possibles deXestX( ) =fx1;:::;xnget :

8k= 1;:::;n; P(X=xk) =1n

:(1.10) 7

Chapitre 1. Varaible aléatoire

Par exemple le nombre de points indiqué par un dé suit la loi uniforme surf1;2;3;4;5;6g.

Loi binomiale

Dé...nition 1.10La variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramétresnetp(n2Net p2[0;1])si l"ensemble des valeurs possibles estX( ) =f1;:::;nget

8k= 1;:::;n; P(X=k) =Cknpk(1p)nk:(1.11)

Notation 2X B(n;p).

La formule ci-dessus dé...nit bien une loi de probabilité puisque lesCknpk(1p)nksont positifs et : nk=0Cknpk(1p)nk= (p+ (1p))n= 1n= 1: Théorème 1.3La somme den v:adiscrètes de Bernoulli indépendant, de même paramétre p, suit la loi binomaileB(n;p):

Proposition 1.3SiXsuit la loi binomaileB(n;p)

E(X) =np et V(X) =np(1p)

Loi géométrique

Dé...nition 1.11On dit queXest le temps d"attente du premier événementA: Soitp2]0;1[. On dit qu"unev:a Xsuit la loi géométrique de paramétrep, (noteG(p)) lorsqueXprend les valeursn2Navec les probabilités

P(X=n) =p(1p)n1:(1.12)

Proposition 1.4SiXsuit la loi géométrique de paramétrep. On a :

E(X) =1p

et V(X) =(1p)p 2 8

Chapitre 1. Varaible aléatoire

Loi de Poisson

Dé...nition 1.12On dit que la variable alétoire discèteXsuit la loi de Poisson de paramétre

>0si l"ensemble des valeurs possibles estX( ) =Net

8k2N;P(X=k) =ekk!:(1.13)

Notation 3X P():

Proposition 1.5SiXsuit la loi de PoissonP(), on a :

E(X) = et V(X) =

1.2.4 Fonction caractéristique

Dé...nition 1.13 (Fonction caractéristique)SoitXunev:a.discrète de fonction de masse P. On appelle fonction caractéristique deX, la fonction de la variablet(t2R)dé...nie par :

X(t) =E(eitX) =X

x2Re itxp(x):(1.14) Théorème 1.4SiXetYdeuxv:aindépendante alors : (X+Y)(t) =X(t)Y(t):

Preuve.On a

(X+Y)(t) =E(eit(X+Y)) =E(eitXeitY) =E(eitX)E(eitY) =X(t)Y(t): 9

Chapitre 1. Varaible aléatoire

Exemple de fonction caractéristique

Loi de Bernoulli B(1,p)

X(t) = 1p(1eit)Loi binomiale B(n,p)

X(t) = (1p+peit)nLoi de Poisson P()

X(t) =e(eit1)Loi géométrique G(p)

X(t) =peit(1(1p)eit)Tab.1.1 -fonction caractéristique de loi discrètes [12]

1.2.5 Fonction génératrice

Dé...nition 1.14 (Fonction génératrice)La fonction génératrice deXest la fonction dé-

...nie pours2[0;1]par : G

X(s) =E(sX) =X

n2NP(X=n)sn:(1.15) C"est la somme d"une série entière dont le rayon de convergence est au moins1, car P nPn= 1:

Cette fonction caractérise la loi deX.

1.2.6 Couple de v.a discrètes

Loi d"un couple

Un couple dev:a:discrètes est constitué de deuxv:a:discrètesXetYdont l"ensmble des valeurs possibles peut s"écrire respectivement sous la formefxigi2Ietfyjgj2J, oùIetJsont des ensembles d"indices inclus dansN, pouvant d"ailleurs êtreNtout entier. On convient de ne faire ...gurer que des valeurs de probabilité strictemeent positive. Comme dans le cas unidimensionnel, la loi d"un couple discrèt est dé...nie par l"ansemble des valeurs possibles, 10

Chapitre 1. Varaible aléatoire

soit icif(xi;yj); (i;j)2IJg;et par les probabilités associéés : P ij=PX;Y=P(X=xi\Y=yj):(1.16) [6]

Lois marginales

La loi d"un couple est associé au deux lois marginales qui sont les lois de chacun des éléments

du couple pris séparément, dé...nies par l"ensemble des valeurs possibles et les probabilités

associées obtenues par sommation, soit : 8 :P

X(X=xi) =P

j2JP(X;Y)(X=xi;Y=yj) =P j2JPij=Pi: P

Y(Y=yj) =P

i2IP(X;Y)(X=xi;Y=yj) =P i2IPij=Pj:(1.17) [6]

Lois conditionneles

Les événementsfX=xigetfY=yjgétant de probabilités non nulles on dé...nit alors deux familles de lois conditionnelles selon que l"on connaît la " valeur » deXou deY. Rappelons qu"iciXetYne sont pas forcément des variables aléatoires réelles mais peuvent être des variables qualitatives

L oisc onditionnelesd eXsiY=yj:

P(X=xi=Y=yj) =PijP

j=P(X=xi\Y=yj)P(Y=yj):(1.18)

L oisc onditionnelesd eYsiX=xi:

P(Y=yj=X=xi) =PijP

i=P(X=xi\Y=yj)P(X=xi):(1.19) 11

Chapitre 1. Varaible aléatoire

le théorème des probabilités totales (deuxième forme) permet d"écrire :

P(Y=yj\X=xi) =P

j2JP(X=xi=Y=yj)P(Y=yj) P i2IP(Y=yj=X=xi)P(X=xi): [6]

Loi d"une somme

SiXetYsont deuxv:a.discrètes de lois respectivesf(xi;pi);i2Igetf(yj;qj);j2Jg:La v:a Z=X+Yest aussi unev:adiscrètes dont la loi de probabilité est dé...nie par l"ensemble des valeurs possible, soit icif(xi+yj);i2I;j2Jg, et les probabilité associeés :

P(Z=zk) =XfP(X=xi;Y=yj)=xi+yj=zkg:(1.20)

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