[PDF] CHAPITRE 6 : VECTEURS GAUSSIENS

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CHAPITRE 6 : VECTEURS GAUSSIENS

I Variables Gaussiennes r´eelles et loi duχ2

Une variable al´eatoire r´eelleXsuit la loi Gaussienne d"esp´erancemet de varianceσ2, not´eeN(m,σ2),

si elle admet la densit´e f

X:x?-→1

⎷2πσ2exp? -(x-m)22σ2?

Nous utiliserons la convention queσ= 0 correspond `aδmla masse de Dirac enm(c"est-`a-dire la loi

d"une variable al´eatoire ´egale `ampresque sˆurement). Proposition 1.(i) SiY≂ N(0,1)alorsm+σY≂ N(m,σ2), ?k?N E(Y2k+1) = 0etE(Y2k) = 2-k(2k)!/k!

(ii) SiX1≂ N(m1,σ21)etX2≂ N(m2,σ22)sont ind´ependantes, alorsX1+X2≂ N(m1+m2,σ21+σ22).

D emonstration : Rappelons aussi que, pour toute constantec?R,cX≂ N(cm,c2σ2), de telle sorte qu"on obtient :

Corollaire 2.Toute combinaison lin´eaire (et mˆeme affine) de Gaussiennesind´ependantes est une

Gaussienne.

Introduisons maintenant la loi duχ2(prononc´e"Khi-2") :

D´efinition 3.La loi duχ2`ak?N?degr´es de libert´e est la loi d"une variable al´eatoireYqui s"´ecrit

Y=X21+···+X2k, o`uX1,...,Xksont des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loiN(0,1).

Nous la notonsχ2(k). Sa densit´e est

f k:x?-→1

2k/2Γ(k/2)x-1+k/2e-x/2

?x>0. Proposition 4.SiYsuit la loiχ2(k)alorsE(Y) =ketVar(Y) = 2k.

II Vecteurs Gaussiens

Comme nous allons le constater, les vecteurs Gaussiens constituent la g´en´eralisation naturelle enn

dimensions des variables Gaussiennes uni-dimensionnelles. La convention prise pourσ= 0 va s"av´erer

bien pratique, permettant d"´eviter d"avoir `a ´evoquer les cas particuliers. Nous commen¸cons par donner

une d´efinition assez formelle, mais nous verrons ensuite des mani`eres plus naturelles de les voir.

Avant cela, rappelons quelques d´efinitions et notations : ?SiAest une matrice de taillen×palors sa transpos´eetAest la matrice de taillep×ntelle que tA)i,j=Aj,ipour tousi? {1,...,p}etj? {1,...,n}.Dans ce chapitre, nous noterons en colonne les vecteurs deRn. 1 ?Pourn≥1, nous notons?·,·?le produit scalaire usuel surRnd´efini par i=1x iyi La norme euclidienne dex?Rnest d´efinie par?x?=? ?x,x?.

?Une matrice carr´eeMde taillenest dite sym´etrique sitM=M. Elle est dite positive si?Mx,x? ≥0

pour toutx?Rn. Elle est dite d´efinie positive si?Mx,x?>0pour toutx?Rn\{0}.

1) D´efinitions et propri´et´es

D´efinition 5.Une variable al´eatoireX=t(X1,...,Xn)dansRnest un vecteur Gaussien, si pour touta=t(a1,...,an)?Rn, la variable al´eatoire r´eelle?a,X?=a1X1+...anXnest Gaussienne.

Le corollaire pr´ec´edent montre que si l"on consid`ere desvariables al´eatoiresXi≂ N(mi,σ2i) ind´epen-

dantes, alorsX=t(X1,...,Xn) est un vecteur Gaussien.

Remarque :

D´efinition 6.SoitX=t(X1,...,Xn)un vecteur Gaussien. Son esp´erance est le vecteur m=E(X) =t(E(X1),...,E(Xn))?Rn ?(i,j)? {1,...,n}2Cov(Xi,Xj) =E([Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]) =E(XiXj)-E(Xi)E(Xj)

Proposition 7.Pour toutu?Rn,?Γu,u?=Var(?u,X?). Par cons´equent la matriceΓest sym´etrique

positive. D emonstration :

Le fait que Γ soit sym´etrique positive permet de lui associer une unique racine carr´ee, c"est-`a-dire

une matriceAsym´etrique positive telle queA2= Γ. C"est un r´esultat classique qui d´ecoule de la

diagonalisation des matrices sym´etriques.

Rappelons que la transform´ee de Fourier d"un vecteur al´eatoireXdansRncaract´erise la loi deX. Il

s"agit de la fonction

X:u?-→E(ei) =E?

ei(u1X1+...+unXn)? Proposition 8.SiXest un vecteur Gaussien d"esp´erancemet de matrice de covarianceΓ, sa transform´ee de Fourier est

X:u?-→exp?

i?u,m? -1

2?Γu,u??

D emonstration : 2

Corollaire 9.Un vecteur GaussienXest caract´eris´e par son esp´erancemet sa matrice de cova-

rianceΓsym´etrique positive. D´efinition 10.Nous notonsNn(m,Γ)la loi d"un vecteur GaussienX=t(X1,...,Xn)d"esp´erance met sa matrice de covarianceΓ. Sim= 0etΓ =In, on dit queXest un vecteur Gaussien centr´e r´eduit.

2) Caract´erisation de l"ind´ependance

SiX1,...,Xnsont des variables al´eatoires r´eelles Gaussiennes ind´ependantes alorsXest Gaussien et

?i?=jCov(Xi,Xj) = 0. Ainsi Γ est une matrice diagonale. La r´eciproque est vraie : Proposition 11.SoientX1,...,Xndes variables al´eatoires r´eelles Gaussiennes. Alors lesXisont ind´ependantes si et seulement si le vecteurX=t(X1,...,Xn)est Gaussien de matrice de covariance diagonale. D emonstration :utilise la transform´ee de Fourier.

3) Existence de vecteurs Gaussiens

NotonsMp,n(R) l"ensemble des matrices de taillep×n`a coefficients r´eels. Proposition 12.SoientX≂ Nn(m,Γ)etY=AX+b, avecA? Mp,n(R)etb?Rp. Alors

Y≂ Np(Am+b,AΓtA).

D emonstration :

Th´eor`eme 13.Sim?RnetΓest une matrice sym´etrique positive alors il existe un vecteur Gaussien

Xd"esp´erancemet de matrice de covarianceΓ.

D emonstration :

4) Densit´e d"un vecteur Gaussien

Proposition 14.La loiNn(m,Γ)admet une densit´e si et seulement siΓest inversible (c"est-`a-dire

sym´etrique d´efinie positive). Dans ce cas, sa densit´e (par rapport `adx1...dxn) est (x1,...,xn)?-→1 ?(2π)ndetΓexp? -12?Γ-1(x-m),x-m?? D emonstration :Admis (utilise le changement de variable en dimension sup´erieure). 3

5) Th´eor`eme Central Limite VectorielTh´eor`eme 15.SoientX1,...,Xndes vecteurs al´eatoires ind´ependants et de mˆeme loi dansRdtels que

E(X21(j))<+∞pour toutj? {1,...,n}. Notonsml"esp´erance deX1etΓsa matrice de covariance.

Alors⎷

n?X1+...+Xnn-m?

L-→n→+∞Nd(0,Γ)

D emonstration :voir TD. III Th´eor`eme de Cochran et mod`eles Gaussiens

1) Rappel : projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel

SoitEunR-espace vectoriel de dimension finien, muni d"un produit scalaire (on parle d"espace Eu-

clidien). On peut par exemple prendreE=Rnet le produit scalaire d´efini au d´ebut du paragraphe II.

D´efinition 16.?Deux vecteursxetydeEsont dits orthogonaux si?x,y?= 0. ?Deux partiesAetBdeEsont dites orthogonales si?x,y?= 0pour tout(x,y)?A×B. ?SiAest une partie deEalors son orthogonal est le sous-espace vectoriel A ?={x?E:?y?A?x,y?= 0} pouri?=j Notons qu"une telle base existe toujours dans un espace Euclidien. D´efinition 17.Si il existep? {2,...,n}etE1,...Epdes sous-espaces vectoriels deEdeux `a deux orthogonaux tels que pour toutx?Es"´ecrit de mani`ere unique x=x1+···+xpavec(x1,...,xp)?E1× ··· ×Ep alors on dit queEest somme directe orthogonale deE1,...Epet on noteE=E1??···??Ep. De plus,

pour touti? {1,...,p}, l"applicationΠEi:x?E?-→xiest appel´ee projection orthogonale surEi.

Notons que, dans ce cas, on peut former une BON deEen r´eunissant des BON desEiet ?i? {1,...,p}E?i=E1?? ···Ei-1??Ei+1?? ···??Ep Proposition 18.SiFest un sous-espace vectoriel deE, l"orthogonal deFest un sous-espace vectoriel de dimensionn-dimFetE=F?F?. Mentionnons aussi que(F?)?=F.

2) Th´eor`eme de Cochran

Th´eor`eme 19(Cochran).SoitX≂ Nn(0,σ2In)(c"est-`a-direX1,...,Xnest un n-´echantillon de loi

N(0,σ2)). Supposons queRnest muni de sa base canonique et que R n=E1?? ···??Ep

Alors les projectionsΠE1X,...,ΠEpXdeXsont des vecteurs Gaussiens ind´ependants de lois respec-

tivesNn(0,σ2ΠE1),...,Nn(0,σ2ΠEp). En particulier ?i? {1,...,p}1

σ2?ΠEiX?2≂χ2(dimEi)

4

D´emonstration :

3) Intervalles de confiance et tests pour les param`etres d"une loiN(m,σ2)

Introduisons la loi de Student (dont nous avons `a disposition la table de loi) :

D´efinition 20.La loi de Student `andegr´es de libert´e est la loi d"une variable al´eatoire r´eelle qui

s"´ecrit⎷ nX/⎷YavecX≂ N(0,1)etY≂χ2(n)ind´ependants. On la noteT(n). Sa densit´e est x?R?-→cn? 1 +x2 n? -(n+1)/2 o`ucnest une constante de renormalisation.

Les vecteurs Gaussiens sont souvent utilis´es dans les mod`eles statistiques multi-dimensionnels car ils

s"av`erent assez faciles `a manipuler, notamment grˆace auth´eor`eme de Cochran.

Consid´erons par exemple un n-´echantillonX1,...,Xnde loiN(m,σ2). L"estimateur du maximum de

vraisemblance de (m,σ2) est (

Xn,Vn) avec

Xn=1nn

i=1X ietVn=1nn i=1(Xi-Xn)2 Consid´erons plutˆot l"estimateur sans biais ?σ2n=1 n-1n i=1(Xi-Xn)2 Rappelons que le lemme de Slutsky entraˆıne que nXn-m??σ2nL -→n→+∞N(0,1) Cela nous a permis de construire des intervalles de confianceasymptotiques. La proposition suivante

va nous permettre de construire, dans le cas Gaussien, des intervalles de confiance (non asymptotiques)

et des tests `a partir de la loi de Student. Proposition 21.Dans le cas Gaussien que nous venons de d´ecrire,

Xnet?σ2nsont ind´ependantes et

Xn≂ N?

m,σ2n? etn-1σ2?σ2n≂χ2(n-1) D emonstration : 5quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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