[PDF] T.P. I: Vecteurs gaussiens est un vecteur gaussien centré

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Préparation Agrégation Bordeaux 1

Année 2013 -2014

T.P. I:Vecteurs gaussiens

Exercice 1. Simulation de la loi normale par la méthode de Box-Muller. SoientXetYdeux variables indépendantes de loi normales centrées réduites.

1.Déterminer la loi du couple(X;Y). Puis montrer que la densité du couple(R2;), oùR2=X2+Y2

et = tan1(Y=X), est donnée par f(d;) =14ed=2;0< d <1;0< <2

2.Montrer que les variables aléatoiresR2etsont indépendantes de lois respectivement exponentielle

E(1=2)et uniforme sur]0;2[.

3.Réciproquement, en déduire que siUetVsont deux variables aléatoires indépendantes de loi uniformes

sur]0;1[alors les variables aléatoires

X=p2lnUcos(2V)Y=p2lnUsin(2V)

sont indépendantes de loiN(0;1). En déduire une méthode pour simuler un échantillon de la loi normale centrée réduite.

Vérifier que les variables ainsi obtenues ont bien les propriétés voulues (histogramme, fonction de

répartition,plot2d).

Exercice 2.

SoientU1,U2etU3trois variables indépendantes de loi uniforme sur[0;1]. En utilisant les résultats

précédents montrer que X=r

2lnU3S

V1Y=r

2lnU3S

V2 avecV1= 2U11,V2= 2U21etS=V21+V22, sont indépendantes de loiN(0;1).

En déduire une nouvelle méthode pour simuler un échantillon de la loi normale centrée réduite.

Exercice 3.

On garde les mêmes notations que précédemment. Montrer que siX Y est un vecteur gaussien centré, réduit, alors 1 0 p12X Y est un vecteur gaussien centré de matrice de covariance 1 1 Utiliser dans Scilab la fonctioncholen la testant sur une matrice 2x2.

Ecrire une fonctionvecgausde paramètrequi renvoie un échantillon d"un vecteur gaussien et qui en

donne une représentation graphique à l"aide deplot2d. Procéder de même pour un vecteur gaussienV=Y1 Y 2 d"espérance1 2 et de covariance : 2112
12 22 où2i= Var(Yi)et= cor(Y1;Y2) = cov(Y1;Y2)=12. On pourra utiliser 10

2 2p12

Exercice 4.

On suppose queV=Y1

Y 2 est un vecteur gaussien centré et de matrice de covariance : 2 3 3 5

On construit les variables suivante :

X

1= 2Y1Y2;

X

2=Y1Y2:

1:Montrer queX1etX2sont indépendantes et de même loiN(0;1).

2:Simuler unnéchantillon deV.

3:On suppose queY1etY2représente la résultat d"une expérience. Cette expérience est dite faussée si

le premier résultat est inférieur à0:4et le deuxième est supérieur à3. Calculer à l"aide d"une simulation

la probabilité que l"expérience soit faussée.

4:Après la mise en place d"un autre procédé, les lois des variablesY1etY2ont été un peu modifiée :

Va maintenant pour moyenne(0:4;2)et pour matrice de covariance. Simuler unnéchantillon et comparer avec le rśultat de la question précédente. Exercice 5. Loi du chi-deux et illustration du théorème de Cochran.

1:Pourm= 2, puism= 4, simulerméchantillons de taillen= 10000de la loi normaleN(0;1). Ces

échantillons seront placés dans une matriceXànlignes etmcolonnes. Calculer l"échantillonYobtenu

en calculant la somme des carrées de chaque ligne de cette matrice.

Représenter un histogramme des valeurs deY. Superposer sur le même graphique la densité de la loi

du chi-deux àmdegrés de liberté (dchisq).

Représenter la fonction de répartition empirique deY. Superposer sur le même graphique la fonction

de répartition de la loi du chi- deux àmdegrés de liberté (pchisq).

2:Calculer la moyenne empiriquesMde chacune des lignes deX, retrancherMà chacune des colonnes

deXet calculer l"échantillonZobtenu en prenant la somme des carrées de chaque ligne.

Représenter un histogramme des valeurs deZ. Superposer sur le même graphique la densité de la loi

du chi-deux àm1degrés de liberté. Représenter la fonction de répartition empirique deZ. Superposer

sur le même graphique la fonction de répartition de la loi du chi-deux àm1degrés de liberté.

Justifier que le vecteurZpeut également être obtenu par la commandeZ=YmM2.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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