[PDF] Géométrie et géométrie analytique

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Facult

e des Sciences Appliquees G eometrie etgeometrie analytique

Notes th

eoriques et applicationsa destination des etudiants preparant l'examen d'admission aux etudes d'ingenieur civil de l'Universite de Liege

Ir ThomasBelligoi

Pr FrancoiseBastin

F evrier 2011

Avant-propos

Avant toutes choses, nous tenons a remercier chaleureusement M. YvanHaine, moni- teur de bachelier ingenieur civil a l'ULg et enseignant a l'Athenee Liege I, et Mme Eveline Moitroux, enseignante a l'Athenee Liege I et monitrice pedagogique en didactique des sciences mathematiques a l'ULg, pour le temps qu'ils ont passe a lire et relire attentive- ment ces notes, pour leurs commentaires constructifs et leurs suggestions qui ont permis d'ameliorer et de completer considerablement ce document. Sincerement merci. Certaines parties ont ete inspirees de manuels de cours. Merci particulierement a Mm eJa cquelineCrasbornpour son excellent recueil d'elements de mathematiques de l'enseignement secondaire (disponible i ci Mm eF rancoiseBastinpour certaines parties de geometrie analytique, inspirees de son cours de complements de mathematiques generales (disponible i ci M. Pi erreLecomtepour l'emprunt de quelques passages de geometrie synthetique de son cours de geometrie elementaire (disponible i ci M. Yv anHaineet Mme EvelineMoitrouxpour leurs notes de geometrie vecto- rielle et geometrie analytique (cf. bibliographie). L'etudiant preparant l'examen d'admission trouvera dans ces notes des notions qu'il est important de ma^triser pour aborder l'examen de geometrie et geometrie analytique et, plus largement, le cours de geometrie de premier bachelier. La plupart des notions reprises ci-apres font partie du programme de l'examen d'admission (le document peut ^etre consulte i ci ).Ces n otesn ed oiventp as^ etre etudieesp arco eurm aisl am a^trised es concepts theoriques et la connaissance des enonces des principaux theoremes, propositions et resultats sont indispensables. Les demonstrations ne sont pas reprises dans ce docu- ment. L'etudiant est renvoye a ses cours de l'enseignement secondaire pour une preuve des theoremes, propositions et resultats. Ce recueil n'a pas, repetons-le, la pretention d'^etre complet. Des sections sont consa- crees a la resolution d'exercices mettant en pratique les concepts theoriques. Dierentes approches peuvent generalement^etre adoptees pour repondre aux exercices poses. La reso- lution ne presente qu'une d'entre-elles. Toutes les methodes de resolution sont cependant acceptees a l'examen d'admission pour autant qu'elles soient correctement justiees. Malgre nos lectures et notre vigilance, il se peut qu'il subsiste des coquilles ou des erreurs. Merci de rapporter toute coquille, toute remarque ou toute suggestion a l'adresse ExamenAdmission.Inge@ulg.ac.be an d'ameliorer ce document.

Ir ThomasBelligoi

Pr FrancoiseBastin

Fevrier 2011

i

Chapitre 1

Geometrie synthetique dans le plan

1.1 Le cercle

1.1.1 Denition

Dans un plan, le cercleCde centreCet de rayonr(r >0) est l'ensemble des points situes a la distancerdu pointC(gure1. 1).Un ed enitionan alytiqueest d onnee al a section

3 .7.1

.CrC

Fig.1.1 { CercleCde centreCet de rayonr

1.1.2 Tangente a un cercle

On appelle tangente a un cercleCen un pointPla droite passant par ce pointPet perpendiculaire au rayon d'extremiteP. Ce point est appele point de tangence (gure 1.2 ).P CrtC

Fig.1.2 { Tangenteten un pointPdu cercleC

1 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN1.1.3 Corde d'un cercle

Denition

Une corde d'un cercle est le segment de droite joignant deux points du cercle.

Proprietes

1.

L am ediatrice

1de toute corde d'un cercle passe par le centre de ce cercle.

2. R eciproquement,u nd iametrep erpendiculaire au necor deest m ediatriced ecet te corde (gure 1 .3 (a)). 3.

L 'arc

dABest partage par la mediatrice du segment [A;B] en deux arcs egaux (gure 1.3 (a)). 4. D esco rdes egalesd 'unm ^emec ercleso us-tendentd esar cs egaux( dec em ^emecer cle) et reciproquement (gure 1. 3 (b)). 5. D esd roitesp arallelesi nterceptentd esa rcs egauxd 'unm ^emec ercleet r eciproque- ment (gure 1 .3 (c)).CBA (a)CBB 0AA

0(b)Cd

d 0(c)

Fig.1.3 { Proprietes des cordes d'un cercle

1.2 Les angles

1.2.1 Angles opposes par le sommet

Denition

Deux angles sont dits opposes par le sommet s'ils ont le m^eme sommet et des c^otes dans le prolongement l'un de l'autre.

Propriete

Deux angles opposes par le sommet sont egaux.

Exemple: soient deux droitesdetd0secantes en un pointO. Les anglescO1etcO3sont opposes par le sommet (gure 1 .4 ).1 On appelle mediatrice d'un segment la droite perpendiculaire a ce segment passant par le milieu de ce dernier. 2 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLANdd 0c O3c

O1Fig.1.4 { Angles opposes par le sommet

1.2.2 Angles correspondants

Denition

Soient deux droitesdetd0coupees par une droited00. Deux angles sont dits correspondants s'ils sont situes du m^eme c^ote de la droited00et du m^eme c^ote des droitesdetd0.

Exemple: les angles

cA1etcB1sont correspondants (gure1 .5(a)).

Propriete

Deux droitesdetd0sont paralleles si et seulement si des angles correspondants qu'elles determinent sont egaux. Exemple: soient les droitesdetd0paralleles. Ainsi, les anglescA1etcB1sont egaux (gure 1 .5 (b)).dd 0d 00c A1c

B1(a)dd

0d 00c A1c B1(b)

Fig.1.5 { Angles correspondants

1.2.3 Angles alternes-internes

Denition

Soient deux droitesdetd0coupees par une droited00. Deux angles sont dits alternes-internes s'ils sont situes de part et d'autre de la droite d

00et s'ils sont compris entre les droitesdetd0.

Exemple: les angles

cA1etcB3sont alternes-internes (gure1. 6(a)). 3 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLANdd 0d 00c B3c

A1(a)dd

0d 00c A1c B3(b)

Fig.1.6 { Angles alternes-internes

Propriete

Deux droites sont paralleles si et seulement si des angles alternes-internes qu'elles determinent sont egaux. Exemple: soient les droitesdetd0paralleles. Ainsi, les angles alternes-internescA1et cB3sont egaux (gure1 .6(b)).

1.2.4 Angles alternes-externes

Denition

Soient deux droitesdetd0coupees par une droited00. Deux angles sont dits alternes-externes s'ils sont situes de part et d'autre de la droite d

00et s'ils sont a l'exterieur des droitesdetd0.

Exemple: les angles

cA3etcB1sont alternes-externes (gure1. 7(a)).

Propriete

Deux droites sont paralleles si et seulement si des angles alternes-externes qu'elles determinent sont egaux. Exemple: soient les droitesdetd0paralleles. Ainsi, les anglescA3etcB1sont egaux (gure 1 .7 (b)).dd 0d 00c A3c

B1(a)dd

0d 00c A3c B1(b)

Fig.1.7 { Angles alternes-externes

4 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN1.2.5 Angles a c^otes respectivement paralleles

Denition

Deux angles sont dits a c^otes respectivement paralleles lorsque leurs c^otes sont paral- leles deux a deux. Remarque: deux angles a c^otes respectivement paralleles ne possedent pas necessai- rement le m^eme sommet.

Propriete

Deux angles a c^otes respectivement paralleles sont egaux (gure 1 .8 (a))ou s upple- mentaires (gure 1 .8 (b)) bA=bBetbC= 180bD:b Ab B(a)b Cb D(b) Fig.1.8 { Angles a c^otes respectivement paralleles

1.2.6 Angles a c^otes respectivement perpendiculaires

Denition

Deux angles sont dits a c^otes respectivement perpendiculaires lorsque leurs c^otes sont perpendiculaires deux a deux. Remarque: deux angles a c^otes respectivement perpendiculaires ne possedent pas necessairement le m^eme sommet.b Ab B(a)b Cb D(b) Fig.1.9 { Angles a c^otes respectivement perpendiculaires

Propriete

Deux angles a c^otes respectivement perpendiculaires sont egaux (gure 1. 9 (a))ou supplementaires (gure 1 .9 (b)) b

A=bBetbC= 180bD:

5 TBFBCHAPITRE 1. GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS LE PLAN1.2.7 Angles au centre, inscrit et tangentiel

Denitions

Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les c^otes sont des rayons de ce cercle (gure 1. 10 (a)). Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet appartient au cercle etquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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