UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN DADMISSION AUX ETUDES D
Deux droites non confondues d1 et d2 sont sécantes `a la corde [C D] et ren- 2. On consid`ere un cercle C de centre O et deux droites perpendiculaires.
Géométrie et géométrie analytique
Exemple : soient deux droites d et d sécantes en un point O. Les angles ? d et d sont parall`eles si et seulement si des angles correspondants qu'elles.
Enoncés
Les deux droites AD et AH étant deux sécantes du plan AD H on en déduit que B C est perpendiculaire au plan. AD H. (b) Le plan ? contient la droite B C qui est
Evaluation droite parallele et perpendiculaire cm1
[PDF] Contrôle de mathématiques n°41°) Tracer la droite n à une même troisième droite Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant ...
Chapitre 4: Géométrie analytique dans lespace
Exercice 4.2 : Une droite d est définie par un point A(2 ; 4 ; 5) et un Calculer le point d'intersection des deux droites sécantes suivantes:.
Synthèse de trigonométrie
Elle est destinée à aider les étudiants à préparer l'examen d'admission aux études d'ingénieur Les deux demi-droites sont appelées les côtés de l'angle.
Math 3 A5
deux droites sécantes qui elles à leur tour sont coupées par deux droites II/ A l'occasion du succès de son fils à l'examen du BEPC un père veut.
COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES GENERALES
21 sept. 2009 cours de Mathématiques générales A pour des compléments. ... Deux droites d et d? sont dites gauches si elles ne sont pas parall`eles et ...
6ds4.pdf
2°) Compléter le raisonnement suivant : Les droites …….. et (DF) sont parallèles et les droites ……… et (AG) sont perpendiculaires ; or si deux droites sont
4 triangles et droites paralèlles exercices corrections
Ex 2 : ABCD est un parallélogramme de centre O et M est le milieu de EXERCICE 7. (d) et (d') sont deux droites sécantes en A. On place les points I et J.
GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 35
JtJ - 2018
Chapitre 4: Géométrie analytique dans l'espacePrérequis: Géom. vectorielle dans V
3 , géom. analytique dans le plan Requis pour: Algèbre linéaire , examen de maturité. § 4.1 Équation paramétrique de la droite dans l'espaceConvention
Dans tout ce chapitre de géométrie analytique dans l'espace, nous travaillerons dans l'espace V
3 , muni d'un repère orthonormé direct.Définition
Équation paramétrique d'une droite dans l'espaceSystème d'équations paramétriques
d'une droite dans l'espaceUne droite est définie par un de ses points et par un vecteur directeur donnant la direction de la droite. On trouve tous les points de la droite en faisant varier le
paramètre k • Soit la droite d passant par le point A(a 1 ; a 2 ; a 3 ) et de vecteur directeur v =v 1 v 2 v 3 . AlorsM(x ; y ; z) d
AM=k v k IROM=OA+k
v k IR x y z a1 a 2 a 3 +kv 1 v 2 v 3 k IR x=a 1 +kv 1 y=a 2 +kv 2z=a 3 +kv 3 k IRExemple
Soit la droite (d): x=3k+1
y=2k z=5k+2 Donner deux équations paramétriques différentes de cette droite d.36 CHAPITRE 4
2 - 3M
renf géométrie analytiqueExercice 4.1 :
Soit le point A(2 ; 0 ; 3). Donner un système d'équations paramétriques des droites suivantes: a) d 1 passant par A et B(1 ; 4 ; 5). b) d 2 passant par A et parallèle à la droite (g): x=2k1 y=3k z=5k+2 c) d 3 passant par A et parallèle à l'axe Oy.Exercice 4.2 :
Une droite d est définie par un point A(2 ; 4 ; 5) et un vecteur directeur v =1 4 2 a) Le point P(5 ; -8 ; 12) appartient-il à la droite d ? b) Le point Q(x ; y ; ) appartient à d. Compléter les 2 premières coordonnées de Q en fonction de .Exercice 4.3 :
Préciser la position particulière des droites d ci-dessous : a) d passe par A(2 ; 1 ; 3) et B(0 ; -1 ; 3)
b) d passe par A(2 ; 3 ; -1) et de vecteur directeur v =3 0 1 c) d passe par A(0 ; 0 ; 1) et B(0 ; 1 ; -2) d) d passe par A(1 ; -2 ; 1) et de vecteur directeur v =2 5 0Exemple
Calculer le point d'intersection des 2 droites suivantes : (d): x y z =2 1 0 +k3 1 1 et (e): x y z =7 3 1 +n1 4 1GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 37
JtJ - 2018
Exercice 4.4 :
Calculer le point d'intersection des deux droites sécantes suivantes: a) (d): x=13+5k y=32k z=5+3k (e): x=n y=2n+7 z=1 b) La droite d passant par A(1 ; 2 ; -3) et B(-2 ; 3 ; -1) et la droite e passant par C(-3 ; 0 ; -15) et D(-1 ; -4 ; -31). c) (d): x=5k y=7k z=1+2k (e): x=4+n y=73n z=2+nDéfinition
On appelle traces d'une droite les points d'intersection de cette droite avec les plans de référence Oxy, Oxz et Oyz. La plupart du temps, la trace est un point, mais cela peut aussi être une droite.
T (... ; ... ; 0) , T (0 ; ... ; ...) , T (... ; 0 ; ...) Il peut aussi ne pas y avoir de trace sur un plan de référence.
Exercice 4.5 :
Déterminer les traces T , T et T des droites suivantes: a) x y z =1 4 2 +k1 2 2 b) x y z =3 9/2 1 +k0 3 2 c) x y z =3 4 4 +k0 0 2 Dans chaque cas, représentez la situation dans un système d'axes.Exercice 4.6 :
Soit la droite d passant par les points A(6 ; 2 ; 1) et B(-3 ; 8 ; -2). a) Déterminer les trois traces de d. b) Représenter la situation dans un système d'axes. c) Construire sur votre figure les projections de d sur les trois plans.38 CHAPITRE 4
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renf géométrie analytique § 4.2 Équations cartésiennes de la droite dans l'espaceDéfinition
Dans le cas où les composantes v
1 , v 2 et v 3 du vecteur directeur v sont toutes trois non nulles, la droite d peut être caractérisée par la double égalité : (d):xa 1 v 1 =ya 2 v 2 =za 3 v 3 v 1· v
2· v
3 0Appelées équations cartésiennes de d.
Exemple
Déterminer les équations cartésiennes de la droite: x y z =1 3 3 +k1 1 3Exercice 4.7 :
Déterminer les équations cartésiennes des droites suivantes: a) x=43k y=6k z=85k b) x=3+2k y=52k z=1+k c) x2y=13 x+ z=2 d) 3x+2yz=4 x y+ z=2Exercice 4.8 :
Donner une équation paramétrique de la droite : x2 3 =y1 7=z3 2GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 39
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Exercice 4.9 :
Montrer que les systèmes d'équations suivants déterminent la même droite. a) (d): x=3+2k y=52k z=1+k (g): x=5+2r y=32r z=2+r (h): x=1+s y=9s z=1+0,5s b) (d):16x2y11z=0
14x y10z=3 (g):
x2 3 =y5 2=z2 4Exercice 4.10 :
Souvenirs, souvenirs... de 1
ère
année :Dans chacun des cas suivants, les droites AB et CD sont-elles gauches, strictement parallèles, confondues ou sécantes ? Si elles sont sécantes, déterminer leur point d'intersection.
a) A(6 ; 4 ; -4) B(4 ; 0 ; -2)C(7 ; 0 ; -2) D(11 ; -4 ; 0)
b) A(-4 ; 2 ; 1) B(-1 ; 1 ; 3)C(0 ; 5 ; -2) D(9 ; 2 ; 4)
c) A(8 ; 0 ; 3) B(-2 ; 4 ; 1)C(8 ; 3 ; -2) D(0 ; 0 ; 5)
d) A(2 ; -3 ; 1) B(3 ; -2 ; 3)C(0 ; -5 ; -3) D(5 ; 0 ; 7)
Exercice 4.11 :
On considère la droite d
1 , passant par le point A(2 ; 1 ; 1), de vecteur directeur v ainsi que la droite d 2 passant par le pointB(-5 ; 2 ; -7), de vecteur
w , où v =1 m m1 et w =2m 3 2 , m IR . Étudier, selon les valeurs de m, les positions des droites d 1 et d 2Exercice 4.12 :
On donne deux droites g et h par leur représentation paramétrique: (g): x y z =0 1 0 +k2 1 3 et (h): x y z =1 1 1 +n2 1 1 a) Soit P un point variable de la droite g et Q un point variable de la droite h. Quelle condition les paramètres réels k et n doivent-ils vérifier pour que la droite PQ soit parallèle au plan d'équation z = 0. b) Cette condition étant vérifiée, quel est le lieu géométrique des milieux des segments PQ ?40 CHAPITRE 4
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renf géométrie analytiqueRemarques
Question
1) Contrairement à ce que l'on a vu dans le cas du plan, la représentation en équations cartésiennes d'une droite dans l'espace est moins pratique à manipuler que sous sa forme de systèmes d'équations paramétriques.
2) L'équation cartésienne d'une droite dans le plan était
donnée sous la forme: ax + by + c = 0 Pourquoi ne peut-on pas généraliser ceci dans l'espace et obtenir une équation cartésienne sous la forme: ax + by + cz + d = 0 ?§ 4.3 Équation du plan dans l'espace
Rappel: Un plan peut être déterminé par:
trois points non alignés
deux droites sécantes deux droites parallèles distinctes une droite et un point n'appartenant pas à cette droite Équations paramétriques d'un plan dans l'espaceSystème d'équations paramétriques
d'un plan dans l'espaceSoit le plan passant par le point A(a
1 ; a 2 ; a 3 ) et de vecteurs directeurs u =u 1 u 2 u 3 et v =v 1 v 2 v 3M(x ; y ; z)
AM=k u +n v k, n IROM=OA+k
u +n v k, n IR x y z =a 1 a 2 a 3 +ku 1 u 2 u 3 +nv 1 v 2 v 3 x=a 1 +ku 1 +nv 1quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] 2 eme exercice expension du mots 3ème Français
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