[PDF] [PDF] Thème 17 – Suites majorées minorées bornées

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Terminale S

Thème 17 - Suites majorées, minorées, bornées

Définition 1 : Suites monotones

Une suite(un)est ditemonotonesi son sens de variation ne change pas.

Méthode 1 :Pour étudier le sens de variation d"une suite, on étudier le signe de la différence entre deux

termes consécutifsun+1-un. Exemple :Soituune suite arithmétique de raisonr. Alors pour tout entier natureln,un+1-un=r.

Sirest positif, alors la suiteuest strictement croissante. Sirest négatif alors la suiteuest strictement

décroissante. Méthode 2 :Dans certains cas, il peut être plus simple de comparer le quotientun+1 unavec 1.

Exemple :Soitvune suite géométrique de raisonqet de premier terme tous deux strictement positifs.

Alors pour tout entier natureln,vn+1

vn=q. Siq >1, alors la suitevest strictement croissante. De manière analogue, siq <1 la suitevest strictement décroissante. Définition 2 : Suites majorées et minorées Une suite(un)est ditemajorées"il existe un nombreMtel que pour tout entier natureln,un?M.

Le nombreMest unmajorantde la suite(un).

Une suite(un)est diteminorées"il existe un nombremtel que pour tout entier natureln,un?m.

Le nombremest unminorantde la suite(un).

Exemple :Soit (vn) la suite définie parvn=

2 + 1 n+1. La suite (vn) est minorée par 2 et majorée par 3.

En effet, pour tout entier natureln,n+ 1>1

donc 0<1 n+1<1 et ainsi 2< vn<3. On peut observer ces propriétés sur la représen- tation graphique de la suite.

Illustration : La suite(vn)

1 2 3 4 5 6 7

1234
O

Définition 3 : Suites bornées

Une suite(un)est ditebornéesi elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :

•La suite (vn) définie parvn= 2 +1

n+1est majorée par 3 et minorée par 2. Elle est donc bornée.

•La suite (wn) définie parwn=n2-3 n"est

pas bornée car elle n"est pas majorée.

•La suite définie partn= 2sinnest bor-

née. En effet, pour tout entier natureln, -1?sinn?1 et donc-2?tn?2.

Illustration : La suite(tn)

1 2 3 4 5 6 7

123
-3-2-1O?ı??

Définition 4 : Rappel : Limite finie

Une suiteconverge vers une limite?si tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. Une suite qui ne converge pas est ditedivergente.

Définition 5 : Rappel : Limite infinie

On dit qu"une suite (divergente)tend vers l"infini (positif)si, quel que soit le réelA, il existe un

rang à partir duquel tous les termes de la suite sont strictement supérieurs àA. Théorème 1 : Suites croissantes non majorées Toute suite croissante non majorée tend vers l"infini (positif). De même, toute suite décroissante non minorée tend vers l"infini négatif. Démonstration :Soit (un) une suite croissante et non majorée etAun nombre quelconque. Puisque la suite n"est pas majorée, il existe un entier naturelptel queup> A. Mais puisque la suite (un) est croissante, alors pour toutn > p,un?up> A. Ainsi, à partir du rangp, tous les termesunsont strictement supérieurs àA.

Cette propriété étant vraie pour tout nombre réelA, on peut en conclure que la suite (un) tend vers +∞.?

Exemple :La suite (wn) définie parwn=n2-3 est croissante (comme la fonction carrée) et non majorée.

Par conséquent, elle tend vers l"infini.

En effet, quel que soit le nombre réelA, pour toutnstrictement supérieur à⎷

A+ 3,wnest strictement

supérieur àA.

Théorème 2 : Suites croissantes majorées

Toute suite réelle croissante majorée est convergente. Toute suite réelle décroissante minorée est convergente.

Exemple :La suite (vn) définie parvn= 2+1

n+1est décroissante (comme la fonctionx?→1x+1) et minorée par 2. D"après le théorème, elle est donc convergente. Il s"avère que sa limite est 2. Méthode :Déterminer la limite d"une suite convergente Méthode 1 :Si la formule de la suite est de la formeun=f(n), étudier la limite directement. Méthode 2 :Si la formule de la suite est de la formeun+1=f(un), résoudre l"équation?=f(?).

Exemples :

•La suite (vn) est définie parvn= 2+1

n+1.

Le termen+ 1 tend clairement vers +∞,

donc 1 n+1tend vers 0. Par conséquent, la limite de la suite (vn) est 2. •Considérons la suite (zn) définie parz0= 2 et pour tout entier natureln,zn+1=⎷

2zn-1. On admet que cette suite est

convergente vers une limite finie?. Cette limite est alors solution de l"équation 2?-1

2= 2?-1

2-2?+ 1 = 0

(?-1)2= 0 ?-1 = 0

La limite de la suite (zn) est donc 1.

Illustration : La suite(zn)

1 2 3 4 5 6 7

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