[PDF] DROITES ET PLANS DE LESPACE Propriété : Deux droites de





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6e - Droites sécantes perpendiculaires et parallèles

Pour tracer deux droites parallèles on fait glisser l'équerre sur la règle posée à la base de celle-ci. Exemple : Tracer la droite (d2) parallèle à la 



EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS

Deux droites seront sécantes si elles n'ont pas le même coefficient directeur. Elles n'ont alors qu'un seul point d'intersection. Les coordonnées de ce point 



Séquence 2 : Les droites I./ Le point Définition : Le point est le plus

La distance du point A à la droite (d) est la distance AH = 3 cm. VI./ Les droites parallèles. Définition : Quand deux droites ne sont pas sécantes (même en les 



Chapitre 6 Angles et parallélismes

Exemple : Deux droites sécantes définissent deux angles opposés par le sommet. DÉFINITION : Deux droites (d) et (d') coupées par une droite sécante (D) ...



DROITES ET PLANS DE LESPACE

Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont sécantes.



Droites sécantes perpendiculaires et parallèles - LEtudiant

01-May-2020 Etape 1. Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon suffisamment grand pour qu'il recoupe la droite. ( )d en deux point B et C distincts.



Droites sécantes perpendiculaires et parallèles. Constructions

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit. 2) Notation : Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires 



Théorème de Thalès Définition: Des droites sécantes coupées par

Définition: Toute droite sécante à deux côtés d'un triangle et parallèle au troisième côté forme un petit triangle semblable au grand. Si DE est parallèle à AC 



CHAPITRE III : PERPENDICULAIRE ET PARALLELE I. Définitions et

Droites sécantes. Droites perpendiculaires. Définition : Ce sont deux droites ayant un seul point commun. Ce point est appelé le point d'intersection.



Théorème de Thalès (révisions Pythagore)

autres en « faisant le produit des deux nombres en diagonal et en Deux parallèles sur deux sécantes » ... sont alignés sur deux droites sécantes en.



ANGLES ET PARALLÉLISME - maths et tiques

Deux droites et une sécante déterminent quatre couples d’angles correspondants Ainsi sur la figure précédente on peut trouver trois autres couples d’angles correspondants : 2) Propriétés Si deux droites sont parallèles alors les angles correspondants reposant sur ces droites sont égaux Si deux angles correspondants sont égaux



6e Droites sécantes perpendiculaires - Parfenoff org

Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un point Exemple : Les droites (d1) et (d2) sont sécantes en O Ce qui revient à dire que : O est le point d’intersection des droites (d1) et (d2) II) Droites perpendiculaires 1) Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit



Droites et systèmes

Déterminer une équation de droite par le calcul 103 Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes 104 Résoudre un système de deux équations à deux inconnues I Vecteur directeur d’une droite 1 Dé?nition Soient A et B deux points distincts d’une droite d alors tout vecteur ~u colinéaire au vecteur ??? AB est



Droites parallèles-Droites sécantes

3 Démontrer que ces trois droites sont concourantes Préciser les coordonnées du point de concours Les coefficients directeurs des droites (AM) et (BL) sont distincts donc ces deux droites sont sécantes Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection I de ces deux droites on résout le système suivant : {y= ? 16 5 x+ 36 5 y



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On a EÂB=AB?F (AE) et (BF) deux droites coupées par une sécante (AB) Alors (AE) // (BF) 3) Angles Correspondants et droites parallèles : Exemple : On a (AE) // (BF) et (AB) une sécante et les deux angles EÂB et FB?G sont correspondants Alors EÂB=FB?G Exemple : On a EÂB=FB?G (AE) et (BF) deux droites coupées par une sécante

Qu'est-ce que les droites sécantes ?

Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un point. Exemple : Les droites (d1) et (d2) sont sécantes en O. Ce qui revient à dire que : O est le point d’intersection des droites (d1) et (d2) II) Droites perpendiculaires. 1) Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit.

Quelle est la différence entre les droites sécantes et perpendiculaires ?

Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles . I) Droites sécantes . Définition . Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un point Exemple : . Les droites (d1) et (d2) sont sécantes en O. Ce qui revient à dire que : O est le point d’intersectiondes droites (d1) et (d2) . II) Droites perpendiculaires .

Que se passe-t-il si deux droites ne sont pas sécantes ?

Si deux droites ne sont pas sécantes (pas de point d'intersection) alors elles sont par conséquent parallèles. D'après ce qui précède il existe une condition simple pour savoir si des équations sont celles de droites parallèles:

Comment savoir si deux droites parallèles coupées par une sécante sont de même mesure ?

Si deux droites parallèles coupées par une sécantes forment deux angles correspondants, alors ces angles sont de même mesure. La réciproque à cette règle est également vraie : Si deux angles correspondants de même mesure sont définis par deux droites et une sécante, alors ces deux droites sont parallèles.

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DROITES ET PLANS DE L'ESPACE

I. Positions relatives de droites et de plans

1) Positions relatives de deux droites

Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d 1 et d 2 sont coplanaires d 1 et d 2 sont sécantes d 1 et d 2 sont parallèles d 1 et d 2 sont strictement parallèles d 1 et d 2 sont confondus 2 d 1 et d 2 sont non coplanaires

Exemple :

ABCDEFGH est un cube.

- Les droites (EG) et (FG) appartiennent au même plan (EFG) et sont sécantes en G. - Les droites (AD) et (FG) appartiennent au même plan (ADG) et sont parallèles. - Les droites (AD) et (CG) sont non coplanaires.

2) Positions relatives de deux plans

Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles. P 1 et P 2 sont sécants P 1 et P 2 sont sécants suivant la droite d 3 P 1 et P 2 sont parallèles P 1 et P 2 sont strictement parallèles P 1 et P 2 sont confondus

Exemple :

ABCDEFGH est un parallélépipède

rectangle. - Les plans (BCG) et (BCE) sont sécants suivant la droite (BC). - Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles

3) Positions relatives d'une droite et d'un plan

Propriété : Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles. 4 d et P sont sécants d et P sont sécants en un point I d et P sont parallèles d est incluse dans P d et P sont strictement parallèles

Exemple :

ABCDEFGH est un cube.

- La droite (GI) et le plan (ABC) sont sécants en I. - La droite (EG) est incluse dans le plan (EFG). - La droite (EG) et le plan (ABC) sont parallèles. 5

II. Parallélisme

1) Parallélisme d'une droite avec un plan

Propriété : Une droite d est parallèle à un plan P s'il existe une droite d' de P parallèle à d.

2) Parallélisme de deux plans

Propriété : Si un plan P contient deux droites sécantes d et d' parallèles à un plan P'

alors les plans P et P' sont parallèles.

2) Parallélisme de deux droites

Propriété : Si deux plans sont parallèles alors tout plan sécant à l'un est sécant à

l'autre et leurs intersections sont deux droites parallèles. 6

Méthode : Tracer l'intersection de deux plans

Vidéo https://youtu.be/4y00KbuCpsc

Construire l'intersection du plan (IMJ) avec le

cube ABCDEFGH. On construit la parallèle à (IJ) passant par M. En effet, les faces ABFE et DCGH sont parallèles donc le plan (IMJ) sécant à la face ABFE coupe la face DCGH en une droite parallèle à (IJ). De même, on trace la parallèle à (IM) passant par J. On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée.

Théorème du toit : P

1 et P 2 sont deux plans sécants.

Si une droite d

1 de P 1 est parallèle à une droite d 2 de P 2 alors la droite d'intersection de P 1 et P 2 est parallèle à d 1 et d 2 D 7

Méthode : Appliquer le théorème du toit

Vidéo https://youtu.be/TG-bVLDmAX4

ABCD est une pyramide. Le segment [FG]

est parallèle à l'arête [BC].

E est un point du plan (ABC).

Construire l'intersection du plan (EFG) avec

la pyramide. (BC) est une droite du plan (ABC) et (FG) est une droite du plan (EFG). Les droites (FG) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème du toit pour en déduire que les plans (ABC) et (EFG) se coupent suivant une droite d passant par E et parallèle à (FG) et (BC). Cette droite coupe [AC] en H et [AB] en I. Il suffit enfin de tracer le quadrilatère FGHI : intersection du plan (EFG) avec la pyramide.

III. Orthogonalité

1) Orthogonalité de deux droites

Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires. 8

Exemple :

ABCDEFGH est un cube.

- Les droites (EH) et (EF) sont perpendiculaires. - Les droites (BC) et (EF) sont orthogonales.

Remarques :

- Deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes.

2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Propriété : Une droite d est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à deux droites sécantes de P. Propriété : Si une droite d est orthogonale à un plan P alors elle est orthogonale à toutes les droites de P. Démonstrations (exigible BAC) : Ces deux propriétés seront démontrées avec les outils vectoriels dans le chapitre "Produit scalaire dans l'espace".

Exemple :

ABCDEFGH est un cube.

(AE) est perpendiculaire aux droites (AD) et (AB). (AB) et (AD) sont sécantes et définissent le plan (ABC).

Donc (AE) est orthogonal au plan

(ABC). 9

3) Orthogonalité de deux plans

Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale de l'autre. Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales

Vidéo https://youtu.be/qKWghhaQJUs

ABC est un triangle équilatéral. E est le point d'intersection de ses médianes. La droite d passant par E est orthogonale au plan (ABC). La pyramide ABCD est telle que D soit un point de la droite d.

Démontrer que les droites (BD) et (AC) sont

orthogonales.

La droite d est orthogonale au plan (ABC).

Comme la droite (AC) appartient au plan (ABC), la droite (AC) est orthogonale à la droite d. Par ailleurs, la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (BE) car dans un triangle équilatéral, les médianes et les hauteurs sont confondues. Ainsi, (AC) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BED) : (BE) et d.

Donc (AC) est orthogonale au plan (BED).

La droite (BD) appartient au plan (BED) donc la droite (AC) est orthogonale à la droite (BD).quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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