polynômes.pdf PDF Soit P ? C[X] un

Racine carrée

1- Propriété préliminaire. Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux. Démonstration. Soient a et b deux réels positifs tels que a² = b².

a² b² c²

Par définition ce nombre est appelé racine carrée de 52 et on le note : 52 . Par conséquent : AB = 52 cm (c'est la valeur exacte !) En calculant une valeur

II. Inégalités sur les carrés les racines carrées

http://weislingermathias.free.fr/SECONDE%20E_fichiers/cours/ordre_partie2.pdf

Racine carrée - Exercices corrigés

Simplifions les différentes racines de cette expression. Nous avons : Calculer a + b a - b

Racine carrée - 2 types dexercices souvent rencontrés

Calculer a + b a - b

COMPARER LES CARRÉS RACINES CARRÉES ET INVERSES

=a2. 2ab b2 ). Ces deux calculs montrent que : A² < B². On en conclut donc que : A < B. COMPARER LES PUISSANCES DE NOMBRES.

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x?5 car 2(1)2 +3(1)?5 = 0. (Par rapport aux formules

Chapitre 2 - Racines primitives

a est une racine primitive modulo n alors les (n) entiers 1

polynômes.pdf

Soit P ? C[X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont de Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X ? a)2 en fonction ...

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RACINES CARREES 1 CONNAITRE ET UTILISER LA DEFINITION DE a ET LA 1ERE PROPRIETE Soit a un nombre positif : a est un nombre positif et

[PDF] Racine carrée - Labomath

La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté x dont le carré est égal à x Soient a et b deux réels positifs tels que a² = b²

[PDF] Racine carrée - Exercices corrigés - Collège Le Castillon

Simplifions les différentes racines de cette expression Nous avons : Calculer a + b a - b a² + b² ab et ( a + b )² Correction :

[PDF] Racines carrées

La racine carrée d'un nombre positif x est le nombre positif dont le carré est égal à x (x + 4)(x – 4) (identité remarquable : a2 – b2 = (a+b)(a-b) )

[PDF] 1 Développements et Factorisations: 2 Racines carrées: - AlloSchool

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b)(a – b) = a² – b² La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui élevé au carré donne a

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Nous dirons que c est la racine carrée de d Voyons quelles sont les propriétés vérifiées par la racine carrée Proposition 2 ?b)2 = ab Or

[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math

Méthode générale : On isole la racine carrée et on utilise le fait que si A = B alors A2 = B2 On obtient une deuxiéme équation du second degré que l'on résoud

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I) Racine carrée d'un nombre réel : 1°) Pré-requis : comparer des nombres et leurs carrés a) Démontrer que quels que soient les nombres a et b a² - b²

[PDF] Racines Carrées

Nombres et calculs : les racines carrées Module a et b étant des nombres positifs : ?a×?b=?a×b ?a2 ×b=a?b b) (2?7??11)

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Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c a = 2 b = -1 et c = -6 donc A = b2 – 4ac = (-1)2 – 4 x 2 x (-6) = 49

??????? ???P2R[X]???? ???P(X2) = (X2+ 1)P(X)? (1 +X)(1 +X2)(1 +X4):::(1 +X2n)? ?? ??????? ? ?????? ?? ????p >0??????? ?? ????? ?????? ????? ????? ?? P

1=X2??8n2N;Pn+1=P2n2?

???8x2R;P(x)0?

8" >0;9z2C;jzj< "??P(z)<1?

????P=a0+a1X++anXn2C[X]? ?? ????

M= sup

jzj=1 P(z)?

8k2 f0;:::;ng;jakj M?

P(X) =Xn+an1Xn1++a1X+a02C[X]?

??????? ??? ????? ?????? ??P????? jj 1 + max0kn1jakj? ????R[X]? P 0? ?? ??????? ? ????? ??????? ?? ? ???????P2+ 1???? ?????? ??????? ????C? ??????? ???P0??? ??????? ?? (a;b;c)2R3? ??????? ???X10+aX9+bX8+cX7+X+ 1????? ??? ????P2R[X]?????? ? ??????? ??????? ????R? ??????? ??? ???? ????2R??? ??? ??? ????? ?????? ???R?

Im(z)nP(z)?

P nP0n=Xn? ????P2K[X]? ???????

P(X+ 1) =+1X

n=01n!P(n)(X)?

8k2Z;Z

k+1 k

P(t)dt=k+ 1?

????P2R[X]? ?? ??????? ???a2R??????

P(a)>0??8k2N;P(k)(a)0?

??????a2K??P2K[X]? ??P0(a)? ??????t2R??n2N? X ??????n;m2N? pgcdXn1;Xm1=Xpgcd(n;m)1? ???X1jX32X2+ 3X2 ???X2jX33X2+ 3X2 ???X+ 1jX3+ 3X22? ???(;)2K2???? ???X2+ 2??????X4+X3+X2+X+ 2? ????P2K[X]? ??? ??????? P(X)X??????P(P(X))P(X)? ?? ??????? ??? P(X)X??????P(P(X))X? ??????? ???P(X)X??????P[n](X)X ????P2K[X]? ??????? ???P(X)X??????P(P(X))X? ????A;B2K[X]???? ???A2jB2? ??????? ???AjB? ?? ?????? (U;V)2(K[X] f0g)2??? ???

AU+BV= 0;degU ????A;B2K[X]??? ????? pgcd(A;BC) = pgcd(A;C)?
P(X) = (Xa)(Xb)2C[X]
???? ???P(X)??????P(X3)? ???? ? ????R[X]?
P=anXn+an1Xn1+:::+a1X+a0
??????? ???pja0??qjan?
P= 2X3X213X+ 5?

P=X3+ 3X1

P(X) =nX
p=0(1)p2n+ 1 2p+ 1 X np nX i=1Y j6=iXaja iaj? ?? ? ???A(X) =Qn n X i=11A
0(ai)?
(Xp1)(Xq1)j(X1)(Xpq1)? ???8n2N?X2j(X+ 1)nnX1 ???8n2N?(X1)3jnXn+2(n+ 2):Xn+1+ (n+ 2)Xn
8(n;p;q)2N3;1 +X+X2jX3n+X3p+1+X3q+2?
X (X+ 4)P(X) =XP(X+ 1)? ??????? ???P2C[X]???? ??? P(1) = 1;P(2) = 2;P0(1) = 3;P0(2) = 4;P00(1) = 5??P00(2) = 6?
P+Q+R= 0?
P n+Qn=Rn ????n3?????? ?????? ??? ?? ????? ?? (a+pb)n? ??? ?????? ??? a+pb??? ?????? ??P?????apb?????? ?? ???? ?????? a+pb??? ?????? ?????? ??P? ??????? ???P=RQ2????R ??Q????Z[X]?
P(X2) +P(X)P(X+ 1) = 0?
??? ??????? ?? a??? ?????? ??P?????a2????? ????? ??????? ??? ??P2R[X]n f0g??????
P(X2) =P(X)P(X+ 1)

P(X2) =P(X)P(X+ 1)?

P(X2) =P(X1)P(X)?
??? ??????? ????? ?????? ???? ??? P??? ?? ?????? ??
P(X2) =P(X1)P(X)?
???X41???X51???(X2X+ 1)2+ 1? ???X4+X2+ 1???X4+X26???X8+X4+ 1 X
2n2cos(na)Xn+ 1?
x
1;x2??x3?
8< :x+y+z= 1
1=x+ 1=y+ 1=z= 1
xyz=4???8 :x(y+z) = 1 y(z+x) = 1 z(x+y) = 1??? 8< :x+y+z= 2 x
2+y2+z2= 14
x
3+y3+z3= 20
??????x;y;z2C???? ???x+y+z= 0? ??????? 1x 2+1y 2+1z 2=1x +1y +1z 2 ????n2N?? ????Pn=Pn k=0Xk? ?? ??????? ?? ? ??????? Qn k=1sinkn+1? ????P2C[X]??? ??? ??n= degP? 8< :x
2+y2+z2= 0
x
4+y4+z4= 0
x
5+y5+z5= 0?

P(X) =a0Xn+a1Xn1++an2C[X]
???? ????p2N? ?? ???? S p=xp
1++xpn?

8>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:a
0S1+a1= 0
a
0S2+a1S1+ 2a2= 0
a
0Sp+a1Sp1++ap1S1+pap= 0 (0< pn)
a
0Sn+a1Sn1++anS1= 0
a
0Sn+k+a1Sn+k1++anSk= 0 (k >0)?
a
2+b2+c2??a3+b3+c3?????? ????? ??????
a+b+c2R?a2+b2+c22R??a3+b3+c32R? ?????a?b??c???? ????? ?????? f n(x) = cos(narccosx)? ?????? ????]1;1[? ???? ????i2 f0;1;:::;ng?? ???? L i=Q
0jn;j6=i(Xaj)Q

0jn;j6=i(aiaj)?
?????? ?????? ? ??????? j2 f0;1;:::;ng? ?? ?Li(aj) =i;j
8P2Kn[X];P(X) =nX
i=0P(ai)Li(X)? ????(Pn)n0?? ????? ??K[X]?????? ??? P
0= 0;P1= 1??8n2N;Pn+2=XPn+1Pn?

8n2N;P2n+1= 1 +PnPn+2?????? ???????
??????? ? ?????? ? ??????? m2N?? ???? ????n2N?? ? P m+n=PnPm+1Pn1Pm? ??? ??????? ? ??????? m2N?? ???? ????n2N?? ? pgcd(Pm+n;Pn) = pgcd(Pn;Pm)? pgcd(Pn;Pm) =Ppgcd(m;n)? L n(x) = exdndxn(exxn)? ???? Tn1;Tn??Tn+1? P
0= 2;P1=X??8n2N;Pn+2=XPn+1Pn?
P n(z+ 1=z) =zn+ 1=zn? f(x) =1cosx?
8n1;f(n)(x) =Pn(sinx)(cosx)n+1?
??degP1????? ?? ???? ??????P=aX+b?? ?????
PP=P()a(aX+b) +b=aX+b()a2=a
ab=0?
P(X) = (1 +X)(1 +X2)(1 +X4):::(1 +X2n)?
(1X)P(X) = 1X2n+1? ???????P1=X2? ?? ?a1=2?b1= 1??c1= 0? ???????Pn+1=P2n2? ?? ?an+1=a2n2?bn+1= 2anbn??cn+1=b2n+ 2ancn? ?? ?? ??????a2= 2?b2=4??c2= 1???? ????n3?an= 2?bn=4n1? c n= 4n2+ 4n1++ 42n4= 4n24n113 (X)2= (X)2+ 02 X
2+ 2pX+q= (X+p)2+pqp22?
(A2+B2)(C2+D2) = (ACBD)2+ (AD+BC)2
P(z) = 1 +aqzq+zq+1Q(z)
????aq6= 0??Q2C[X]? z n=1n ei()=q?
P(zn) = 1jaqjn
q+ o1n q
P(zn)<1????n????? ??????

P(1) +P(!) ++P(!n) = (n+ 1)a0
nX k=0! k`=( n+ 1??`= 0 [n+ 1]
0??????
?? ?? ??????(n+ 1)ja0j (n+ 1)M????ja0j M?
P(1) +!kP(!) ++!nkP(!n) = (n+ 1)ak
?? ?? ?? ??????jakj M? m= max0kn1jakj? n=an1n1++a1+a0 jjnn1X k=0jakjjjkmn1X k=0jjk jjnmjjn1jj 1mjjnjj 1
P(X) =nY
k=1(Xzk) nY k=1(zzk) = nY k=1(zz k)? ??Imz >0?????
8k2 f1;:::;ng;jzzkj k nY k=1(zzk) n Y k=1(zz k) ?? ?? ?????? ??? ??? ??????? ??P???? ?????? ??????? ?? ????P??? ?????? ???? R[X]? ?? ?? ??? ?? ???? ??ImP? f(a) =f(b)????? ?? ??????c2]a;b[??? ???f0(c) = 0? m
1++mp= degP?
y x
1;:::;xp? ?? ? ????? ?????? ?? ?????
(p1) + (m11) ++ (mp1) = degP1 ??????? ??P0? ??degP0= degP1????P0??? ??????? a
1< b1< a2<< bn1< an

1++p=n?

11;:::;p1?
??????? ?P0? p X i=1 i1 +p1 =n1 = degP0 ?????? a0< a1< ::: < an??? ??????? ??P? a
0< b1< a1< b2< ::: < bn< an
(P2+ 1)0= 2PP0? ?? ??? ??????? ??P?? ???? ??? ??????? ??P2+ 1?? ??? ??????? ??P0???? ??????? ?? ?? ??????? ???? ???? ??????? ??P2+1? ??? ?????P2+1??(P2+1)0 a
1< b1< a2< b2< ::: < bp1< ap?
?? ???b1;b2;:::;bp1???? ??? ??????? ?? ????? ??????? ??P0? ?? ????? ?? ?? ??? ??????? ??P2+2?? ??????? ???? ??????? ?? ??? ??????? ??PP0???? ?????? ??????a0< a1< ::: < am??? ??????? ??????? ??P??0;1;:::;m????? deg(P) =mX k=0 k? m X k=0(k1) = deg(P)(m+ 1) f
0(x) =P0(x) +P(x)ex
a a
0< b1< a1< b2< ::: < bm< am?
????6= 0? ?? ?????? ?????? ??? ?????? ???deg(P0+P) = deg(P)? ??? ??? P P
00;P000;:::

P(X) =+1X
n=0a nXn a p= 0????ap1;ap+1>0?
Q(X) =P(p1)(X) = (p1)!ap1+(p+ 1)!2
ap+1X2+::: ?? ? ??? ??????? ????? ??Q????Q(0)>0?
P= (Xa1):::(Xan)?
???? ????z2C? ?? ? ?????
P(z)=nY
k=1jzakj Im(z)n jzakj=q
Re(z)ak

2+Im(z)2Im(z)?
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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1=X2??8n2N;Pn+1=P2n2?

8" >0;9z2C;jzj< "??P(z)<1?

M= sup

8k2 f0;:::;ng;jakj M?

P(X) =Xn+an1Xn1++a1X+a02C[X]?

Im(z)nP(z)?

P(X+ 1) =+1X

8k2Z;Z

P(t)dt=k+ 1?

P(a)>0??8k2N;P(k)(a)0?

P(X) = (Xa)(Xb)2C[X]

P=anXn+an1Xn1+:::+a1X+a0

P= 2X3X213X+ 5?

P=X3+ 3X1

P(X) =nX

0(ai)?

8(n;p;q)2N3;1 +X+X2jX3n+X3p+1+X3q+2?

P+Q+R= 0?

P(X2) +P(X)P(X+ 1) = 0?

P(X2) =P(X)P(X+ 1)

P(X2) =P(X)P(X+ 1)?

P(X2) =P(X1)P(X)?

P(X2) =P(X1)P(X)?

2n2cos(na)Xn+ 1?

1;x2??x3?

1=x+ 1=y+ 1=z= 1

2+y2+z2= 14

3+y3+z3= 20

2+y2+z2= 0

4+y4+z4= 0

5+y5+z5= 0?

P(X) =a0Xn+a1Xn1++an2C[X]

1++xpn?

8>>>>>>>>>><

0S1+a1= 0

0S2+a1S1+ 2a2= 0

0Sp+a1Sp1++ap1S1+pap= 0 (0< pn)

0Sn+a1Sn1++anS1= 0

0Sn+k+a1Sn+k1++anSk= 0 (k >0)?

2+b2+c2??a3+b3+c3?????? ????? ??????

0jn;j6=i(Xaj)Q

0jn;j6=i(aiaj)?

8P2Kn[X];P(X) =nX

0= 0;P1= 1??8n2N;Pn+2=XPn+1Pn?

8n2N;P2n+1= 1 +PnPn+2?????? ???????

0= 2;P1=X??8n2N;Pn+2=XPn+1Pn?

8n1;f(n)(x) =Pn(sinx)(cosx)n+1?

PP=P()a(aX+b) +b=aX+b()a2=a

P(X) = (1 +X)(1 +X2)(1 +X4):::(1 +X2n)?

2+ 2pX+q= (X+p)2+pqp22?

P(z) = 1 +aqzq+zq+1Q(z)

P(zn) = 1jaqjn

P(zn)<1????n????? ??????

P(1) +P(!) ++P(!n) = (n+ 1)a0

0??????

P(1) +!kP(!) ++!nkP(!n) = (n+ 1)ak

P(X) =nY

1++mp= degP?

1;:::;xp? ?? ? ????? ?????? ?? ?????

1< b1< a2<< bn1< an

1++p=n?

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0< b1< a1< b2< ::: < bn< an

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0(x) =P0(x) +P(x)ex

0< b1< a1< b2< ::: < bm< am?

00;P000;:::

P(X) =+1X

Q(X) =P(p1)(X) = (p1)!ap1+(p+ 1)!2

P= (Xa1):::(Xan)?

P(z)=nY

Re(z)ak

2+Im(z)2Im(z)?