FRACTIONS PUISSANCES
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19RacPuissM.pdf
ALGO 1.1 œ Correction TD N°5.
Exercice 1. Afficher (« Entrez un nombre entier positif : »). Saisir(n) factorielle ? 1 ... Exercice 5. Calcul d'une racine carrée par itérations.
Exo7 - Exercices de mathématiques
20 104.02 Racine carrée équation du second degré Exercice 95 Congruence des carrés modulo 5 ... Exercice 373 Décomposition à coefficients positifs.
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
Correction TP de programmation no3 - Fonctions et procédures
(Racine carrée et n-ième) Cet exercice est obligatoire ceux qui ne l'ont pas fini en un nombre positif à l'utilisateur et qui affiche sa racine carrée.
Racine carrée - Exercices corrigés
RACINE CARREE. EXERCICES CORRIGES. Les carrés parfaits : ( sauf 1 ). 4 9
Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier daide
RACINE CARREE D'UN NOMBRE POSITIF. 1. I). Définition et conditions d'existence de la racine carrée d'un nombre. 1) Définition . Il existe deux nombres tel
Exercices corrigés
S'il est positif ou nul affichez sa racine
Nombres complexes
Exercice 4. Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : eei? et ei? +e2i? . Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000013]. 2 Racines carrées
les racines carrées :
a) Existe il un nombre décimal positif dont le carré est 2 ? Le dernier chiffre non nul de l'écriture décimale de ce nombre serait 12
[PDF] Racine carrée - Exercices corrigés - Collège Le Castillon
RACINE CARREE EXERCICES CORRIGES Les carrés parfaits : ( sauf 1 ) 4 9 16 25 36 49 64 81 100 et la racine carrée de ces carrés
[PDF] FRACTIONS PUISSANCES RACINES CARRÉES - maths et tiques
Définition : La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est Racines de carrés parfaits : ?0 = 0 ?25 = 5 ?100 = 10 ?1 = 1 ?
[PDF] Exercices de révisions : Racines carrées - ddm-vergote
Les nombres dont le carré est 16 sont 16 et -16 256 et -256 4 et -4 2 et -2 b) Tout nombre positif a deux racines carrées a une racine
[PDF] racines carrées
On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est égal à a Cette définition se traduit en écritures mathématiques par :
[PDF] 3ème : Chapitre11 : Les racines carrées - AC Nancy Metz
La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a La racine carré de a se note On a Remarques : 1 La racine carrée d'
[PDF] LES RACINES CARRéES - AlloSchool
II- Racines carrées et opérations : 1) Multiplication de racine carrée : Soient a et b deux nombres positifs on a :
[PDF] Racines Carrées
Nombres et calculs : les racines carrées Module ?a n'existe que si a est un nombre positif ou nul (voir définition) Exercice 1
[PDF] cours_3eme_chap_a3_racines_
RACINE CARREE D'UN NOMBRE POSITIF 1 I) Définition et conditions d'existence de la racine carrée d'un nombre 1) Définition Il existe deux nombres tel
[PDF] les racines carrées :
On suppose connu le résultat suivant : Page 2 Les carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces nombres Si un nombre positif dont le
Quelle est la racine carrée d'un nombre positif ?
Racine carrée d'un nombre positif
On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est égal à a. On note ce nombre a et on le lit « racine carrée de a ». Le symbole « » est appelé radical.Comment faire la racine carré d'un nombre négatif ?
Quelle bonne question En fait, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. La racine carrée peut etre négative car un carré, comme il est connu, est obtenu en multipliant un nombre par lui-même. De ce fait, donc dans ce cas, le carré d'un nombre négatif est positif.- Simplifier une racine carrée, c'est l'écrire sous la forme « a x ?b » avec b le plus petit possible. La simplification de racines carrées est utile quand on doit effectuer des additions, des soustractions ou des multiplications de racines carrées.
Correction TP de programmation n
o3Cours de programmation impérative-Licence MPI L1 S2 - Info 121-Fonctions et procéduresCette séance de travaux pratiques est dédiée à l"écriture et l"utilisation de fonctions simples.
Voici quelques exemples de fonctions et procédures de la bibliothèque standard deC++: prototype de la fonction fichier descriptionint abs(int j) cstdlibvaleur absolue entière float fabs(float x) cmathvaleur absolue réelle float round(float x) cmatharrondi à l"entier le plus proche float trunc(float x) cmatharrondi à l"entier inférieur float pow(float x, float y) cmathpuissance réelle float sqrt(float x) cmathracine carrée réelle float exp(float x) cmathexponentielle réelle float log(float x) cmathlogarithme réel void exit(int e) cstdlibquitte le programme Pour utiliser une fonction, il faut inclure le fichier de déclaration correspondant (par exemple #includeLeC++ne fait pas la différence entre une fonction et une procédure : une procédure est juste
une fonction qui ne retourne rien (c"est-à-direvoid). Voici comment on peut écrire la fonction valeur absolue : float absolue(float x) { if (x >= 0.) return x; else return -x; }xExercice 1. Fonction factorielle et coefficients du binôme de Newton La fonction pour calculer la factorielle d"un entier est donnée dans le fichierbinome.cpp. 1. P ourtester la fonction factoriel, on utilise la fonctiontestFactoriel. Ajouter dans cette fonction quelques tests en dehors de la convention factoriel(0) = 1. 2. On app elleco efficientdu binôme de Ne wton(ou co efficientbinomial) n ple nombre de parties àpéléments dans un ensemble ànéléments. Par exemple : 0 0 = 1;3 2 = 3;4 2 = 6Le coefficient binômial
n ppeut être calculé par : n p =n!p!(np)!En utilisant la fonction factorielle écrite à la question précédente, compléter la fonctionbinome
dans le fichierbinome.cpp, et la tester par la fonctiontestBinome. 11#include
2#include
3 4using namespace std;
56#define ASSERT(test) if (!(test)) cout << "Test failed in file " << __FILE__ \
7<< " line " << __LINE__ << ": " #test << endl
89/** Calculer le factoriel d"un entier
10* @param n un entier
11* @return un entier
12**/13int factoriel(int n) {
14if (n < 0) {
15cerr << "Factoriel argument negatif file " << __FILE__ << " line " << __LINE__ << endl;
16exit(1);
17}18int res = 1, i;
19for (i = 1 ; i <= n ; i ++) {
20res *= i;
21}22return res;
23}24
25/** Tester la fonction factorielle
26**/27void testFactoriel() {
28ASSERT(factoriel(0) == 1);
29ASSERT(factoriel(1) == 1);
30ASSERT(factoriel(4) == 24);
31ASSERT(factoriel(10) == 3628800);
32}33
34/** Calculer le binome de Newton
35* @param n entier, p entier, n >= p
36* @return un entier
37**/38int binome(int n, int p) {
39// Il n"y a pas de soucis à utiliser la division entière ici donc il n"y a pas besoin d"un cast
40// vers un double.
41return factoriel(n)/(factoriel(p) * factoriel(n - p));
42}43
44/** Tester la fonction binome
45**/46void testBinome() {
47// valeur de base
48ASSERT(binome(0, 0) == 1);
49ASSERT(binome(3, 2) == 3);
50ASSERT(binome(4, 2) == 6);
51ASSERT(binome(5, 3) == 10);
52ASSERT(binome(10, 5) == 252);
53}54
2
55/** Fonction principale
56**/57int main() {
58testFactoriel();
59testBinome();
60cout << "OK" << endl;
61}!3 Dans la suite, on demande d"écrire soi-même les fonctions dont on a besoin.
De plus, on commentera et testera, dans la mesure du possible, toutes lesfonctions à l"aide de la macroASSERTci-dessous:
#define ASSERT(test) if (!(test)) cout << "Test failed in file " << __FILE__ \ << " line " << __LINE__ << ": " #test << endl xExercice 2. Ecriture et test d"une fonction simple.Vous allez maintenant faire la démarchecomplète d"ecrire une fonction vous-même puis de l"appeler. Le but est de maîtriser la syntaxe de
base de définition et d"appel d"une fonction. Vous pouvez consulter votre cours ou bien repartir de
l"exemple de la factorielle. 1. Ra joutezdans le même fic hierle co ded"une fonction squarequi prend en paramètre un nombre entier et calcule son carré. 2. Ra joutezaussi le co ded"une fonction testSquarequi teste la fonctionsquareen l"ap- pellant avec différentes valeurs (vous pouvez vous inspirer des fonctionstestFactorielet testBinome). 3. Ra joutezun test a vecdeux app elsim briqués,p ourv érifierque (32)2= 81. 4. Mo difiezv otreprog rammemainpour lancer les tests de cette nouvelle fonction. !1#include2#include
3 4using namespace std;
56#define ASSERT(test) if (!(test)) cout << "Test failed in file " << __FILE__ \
7<< " line " << __LINE__ << ": " #test << endl
89/** Calculer le carré d"un nombre
10* @param n réel
11* @return un réel
12**/13int square(int n) {
14return n * n;
15} 1617/** Tester la fonction binome
18**/19void testSquare() {
20// valeur de base
21ASSERT(square(0) == 0);
22ASSERT(square(1) == 1);
23ASSERT(square(2) == 4);
24ASSERT(square(3) == 9);
25ASSERT(square(10) == 100);
26ASSERT(square(square(3))== 81);
27}28
29/** Fonction principale
30**/4
31int main() {
32testSquare();
33cout << "OK" << endl;
34}!xExercice 3. (Racine carrée etn-ième)Cet exercice est obligatoire, ceux qui ne l"ont pas fini en
TP devront envoyer le corrigé par email au professeur du TP. On reprend l"exercice 2 du TP précédent.
Sur les nombres à virgule (float), l"opérateur==n"est pas très utile à cause des erreurs d"arrondis.
Pour résoudre ce problème, quand on veut comparer deux nombres à virgule, on teste si la valeur
absolue de la différence est négligeable devant les deux nombres : jxyj jxjetjxyj jyj(1) oùest un très petit nombre. 1. Définir une constan teepsilonégale à106(1e-6enC++); 2. Écrire une fonction presqueEgalqui prend deux nombresxetyet qui teste s"ils vérifient lacondition ci-dessus, c"est à dire s"ils sont égaux avec une précision de. Remarque importante :
quand on vous demande d"écrire une fonction qui teste quelque chose, cela signifie qu"on veut une fonction qui renvoie un booléen. 3. Écrire une fonction testpresqueEgalque vérifie par desASSERTquepresqueEgal(1,1+epsilon/2),presqueEgal(1, 1),presqueEgal(1+1, 2),presqueEgal(0, 0)retournent
bien vrai et quepresqueEgal(1, 1+2*epsilon),presqueEgal(0, 1)retournent bien faux. On montre en mathématique que étant donné un réel positifala suite u0:=a; un+1:=un+a=un2
(2) converge vers pa. 4.Écrire une fonction qui prend en argumen tun réel aet calcule sa racine carrée en utilisant la
suite définie ci-dessus. Par définition, la racine carrée est la solution positivexde l"équation
x2=a. On utilisera ce test et la fonctionpresqueEgaldéfinie plus haut pour arrêter le calcul
au bon moment. Si vous en avez besoin, vous pouvez adapter la fonctionsquareprécédente pour qu"elle travaille aussi avec les réels (typefloat). 5. T estercette fonction en v érifianten treautre que p0 = 0,p1 = 1,p4 = 2etp21:4142135 6. Écrire un programme qui de mandeu nnom brep ositifà l"utilisateur et qui affic hesa racine carrée.Pour calculer la racinen-ième d"un nombre, on procède de la même manière que pour la racine carrée
en utilisant la suite u0:=a; uk+1=1n
(n1)uk+au n1 k qui converge vers npasia >0. 7.Écrire une fonction q uicalcule la racine n-ième d"un réela. Par définition, la racinen-ième
est la solution positivexde l"équationxn=a. On utilisera ce test et la fonctionpresqueEgal définie plus haut pour arrêter le calcul au bon moment. On reprendra la fonction puissance duTP précédent.
8.T esterla fonction sac hantque
5p21:1486983.
5 xExercice 4. Exponentielle La fonction exponentielle est définie parexp(a) :=P1 i=0ai=i!: 1. En réutilisan tla fonction presqueEgalécrire une fonctionexponentiellequi calcule l"expo- nentielle d"un nombrea. On utilisera une boucle et un accumulateur pour calculer les sommesPN i=0ai=i!. On stoppe la boucle dès que deux sommes calculées consécutivement sont "presqueégales».
Cette méthode n"est pas très efficace car, en utilisant les fonctionsfactorielleetpuissance, on re-
calcule plusieurs fois les mêmes produits. Pour aller plus vite, on peut, dans la même boucle, accumuler
la factorielle, la puissance et la somme. 2. Écrire une fonction exponentielle2qui fait le calcul plus rapidement en utilisant les trois accumulateurs dans la même boucle. On gardera la même condition d"arrêt de la boucle. !1#include2#include
3 4using namespace std;
56#define ASSERT(test) if (!(test)) cout << "Test failed in file " << __FILE__ \
7<< " line " << __LINE__ << ": " #test << endl
89const float epsilon = 1e-6;
1011/** Calculer le factoriel d"un entier
12* @param n un entier
13* @return un entier
14**/15int factoriel(int n) {
16if (n < 0) {
17cout << "Factoriel argument negatif file " << __FILE__ << " line " << __LINE__ << endl;
18exit(1);
19}20int res = 1, i;
21for (i = 1 ; i <= n ; i ++) {
22res *= i;
23}24return res;
25}26
27/** Puissance d"un nombre réel
28* @param n un entier positif
29* @param a un nombre réel
630* @return a^n
31**/32float puissance(float a, unsigned int n) {
33float res = 1.;
34for (unsigned int i = 0; i 35res = res*a;
36return res;
37}
38
39/** Valeur absolue d"un float
40* @param x un float
41* @return |x|
42**/
43float absolue(float x) {
44if (x < 0) return -x;
45else return x;
46}
47
48/** Égalité des float
49* @param x, y deux float
50* @return si x == y à epsilon près
51**/
52bool presqueEgal(float x, float y) {
53return absolue(x-y) <= epsilon*absolue(x) and absolue(x-y) <= epsilon*absolue(y);
54}
55
56/** Exponentielle d"un float
57* @param a, un float
58* @return exp(a)
59**/
60float exponentielle(float a) {
61int i = 0;
62float res = 0.;
63bool stop = false;
64while (not stop) {
65float tmp = res + (float)puissance(a, i) / (float)factoriel(i);
66if (presqueEgal(res, tmp))
67stop = true;
68else
69res = tmp;
70i = i + 1;
71}
72return res;
73}
74
75void testExponentielle() {
76ASSERT(presqueEgal(exponentielle(0.), 1.));
77ASSERT(presqueEgal(exponentielle(1.), 2.7182818));
78ASSERT(presqueEgal(exponentielle(2.), 7.3890561));
79}
80
81/** Exponentielle d"un float avec la méthode rapide
82* @param a, un float
83* @return exp(a)
84**/
7 85float exponentielle2(float a) {
86int i = 0;
87float acc_puiss = 1;
88float acc_fact = 1;
89float res = 0.;
90bool stop = false;
91while (not stop) {
92float tmp = res + (float)acc_puiss / (float)acc_fact;
93if (presqueEgal(res, tmp))
94stop = true;
95else
96res = tmp;
97i = i + 1;
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
35res = res*a;
36return res;
37}38
39/** Valeur absolue d"un float
40* @param x un float
41* @return |x|
42**/43float absolue(float x) {
44if (x < 0) return -x;
45else return x;
46}47
48/** Égalité des float
49* @param x, y deux float
50* @return si x == y à epsilon près
51**/52bool presqueEgal(float x, float y) {
53return absolue(x-y) <= epsilon*absolue(x) and absolue(x-y) <= epsilon*absolue(y);
54}55
56/** Exponentielle d"un float
57* @param a, un float
58* @return exp(a)
59**/60float exponentielle(float a) {
61int i = 0;
62float res = 0.;
63bool stop = false;
64while (not stop) {
65float tmp = res + (float)puissance(a, i) / (float)factoriel(i);
66if (presqueEgal(res, tmp))
67stop = true;
68else
69res = tmp;
70i = i + 1;
71}72return res;
73}74
75void testExponentielle() {
76ASSERT(presqueEgal(exponentielle(0.), 1.));
77ASSERT(presqueEgal(exponentielle(1.), 2.7182818));
78ASSERT(presqueEgal(exponentielle(2.), 7.3890561));
79}80
81/** Exponentielle d"un float avec la méthode rapide
82* @param a, un float
83* @return exp(a)
84**/7
85float exponentielle2(float a) {
86int i = 0;
87float acc_puiss = 1;
88float acc_fact = 1;
89float res = 0.;
90bool stop = false;
91while (not stop) {
92float tmp = res + (float)acc_puiss / (float)acc_fact;
93if (presqueEgal(res, tmp))
94stop = true;
95else
96res = tmp;
97i = i + 1;
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