FRACTIONS PUISSANCES
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19RacPuissM.pdf
ALGO 1.1 œ Correction TD N°5.
Exercice 1. Afficher (« Entrez un nombre entier positif : »). Saisir(n) factorielle ? 1 ... Exercice 5. Calcul d'une racine carrée par itérations.
Exo7 - Exercices de mathématiques
20 104.02 Racine carrée équation du second degré Exercice 95 Congruence des carrés modulo 5 ... Exercice 373 Décomposition à coefficients positifs.
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
Correction TP de programmation no3 - Fonctions et procédures
(Racine carrée et n-ième) Cet exercice est obligatoire ceux qui ne l'ont pas fini en un nombre positif à l'utilisateur et qui affiche sa racine carrée.
Racine carrée - Exercices corrigés
RACINE CARREE. EXERCICES CORRIGES. Les carrés parfaits : ( sauf 1 ). 4 9
Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier daide
RACINE CARREE D'UN NOMBRE POSITIF. 1. I). Définition et conditions d'existence de la racine carrée d'un nombre. 1) Définition . Il existe deux nombres tel
Exercices corrigés
S'il est positif ou nul affichez sa racine
Nombres complexes
Exercice 4. Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : eei? et ei? +e2i? . Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000013]. 2 Racines carrées
les racines carrées :
a) Existe il un nombre décimal positif dont le carré est 2 ? Le dernier chiffre non nul de l'écriture décimale de ce nombre serait 12
[PDF] Racine carrée - Exercices corrigés - Collège Le Castillon
RACINE CARREE EXERCICES CORRIGES Les carrés parfaits : ( sauf 1 ) 4 9 16 25 36 49 64 81 100 et la racine carrée de ces carrés
[PDF] FRACTIONS PUISSANCES RACINES CARRÉES - maths et tiques
Définition : La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est Racines de carrés parfaits : ?0 = 0 ?25 = 5 ?100 = 10 ?1 = 1 ?
[PDF] Exercices de révisions : Racines carrées - ddm-vergote
Les nombres dont le carré est 16 sont 16 et -16 256 et -256 4 et -4 2 et -2 b) Tout nombre positif a deux racines carrées a une racine
[PDF] racines carrées
On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est égal à a Cette définition se traduit en écritures mathématiques par :
[PDF] 3ème : Chapitre11 : Les racines carrées - AC Nancy Metz
La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a La racine carré de a se note On a Remarques : 1 La racine carrée d'
[PDF] LES RACINES CARRéES - AlloSchool
II- Racines carrées et opérations : 1) Multiplication de racine carrée : Soient a et b deux nombres positifs on a :
[PDF] Racines Carrées
Nombres et calculs : les racines carrées Module ?a n'existe que si a est un nombre positif ou nul (voir définition) Exercice 1
[PDF] cours_3eme_chap_a3_racines_
RACINE CARREE D'UN NOMBRE POSITIF 1 I) Définition et conditions d'existence de la racine carrée d'un nombre 1) Définition Il existe deux nombres tel
[PDF] les racines carrées :
On suppose connu le résultat suivant : Page 2 Les carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces nombres Si un nombre positif dont le
Quelle est la racine carrée d'un nombre positif ?
Racine carrée d'un nombre positif
On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est égal à a. On note ce nombre a et on le lit « racine carrée de a ». Le symbole « » est appelé radical.Comment faire la racine carré d'un nombre négatif ?
Quelle bonne question En fait, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. La racine carrée peut etre négative car un carré, comme il est connu, est obtenu en multipliant un nombre par lui-même. De ce fait, donc dans ce cas, le carré d'un nombre négatif est positif.- Simplifier une racine carrée, c'est l'écrire sous la forme « a x ?b » avec b le plus petit possible. La simplification de racines carrées est utile quand on doit effectuer des additions, des soustractions ou des multiplications de racines carrées.
![Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier daide Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier daide](https://pdfprof.com/Listes/18/8453-18cours_3eme_chap_a3_racines_carrees.pdf.pdf.jpg)
3ème Chapitre A3 1
I)1) Définition .
Il existe deux nombres tel que si on les multiplie par eux même le résultat est 36 : 6 et 6 En effet : 6 ² = 6 6 = 36 et ( 6 ) ² = ( 6 ) ( 6 ) = 36 On choisit le nombre positif pour définir la " racine carrée » de 36.On décide que 36 = 6
Df : Soit a un nombre positif. La racine carrée du nombre a est le nombre positif noté a dont le carré est a. Quel que soit a positif ou nul, ( a ) ² = a ! RemarqueExemples :
81 = 9 car 9 ² = 81 ; 1.44 = 1.2 car 1.2 ² = 1.44
! Remarque : Les racines carrées entières sont les racines carrées des " carrés parfaits1 ² = 1 ; 2 ² = 4 ; 3 ² = 9 ; 4 ² = 16 ; 5 ² = 25
6 ² = 36 ; 7 ² = 49 ; 8 ² = 64 ; 9 ² = 81 ; 10 ² = 100
11 ² = 121 ; 12 ² = 144 ; 13 ² = 169 ; 14 ² = 196 ; 15 ² = 225
16 ² = 256 ; 17 ² = 289 ; 18 ² = 324 ; 19 ² = 361 ; 20 ² = 400
! Remarque : droite ou vers la gauche pour que la racine carrée du nombre obtenu soit un nombre décimal ( dont la partie décimale soit finie.)3ème Chapitre A3 2
Exemples :
169 = 13 16900 = 130 1.69 = 1.3 0.0169 = 0.13
1690000 = 1300 par contre 16.9 ou 1690 ne sont pas
des nombres décimaux.Compléter le tableau suivant :
a 2525
1 4 900 25
49
0.16 6
a 5 1 2 305 7 0.4 6 2a
225 225
1 (5 9) ²810000
2252401
0.0256
362) Avec la calculatrice :
On utilise la touche .
576 = 24 valeur exacte
575 23.979158 valeur approchée par défaut.
3) Propriété de base .
Quel que soit nombre positif a, a ² = a
! Remarque : donc ( a ) ² = a a = a ² = a aExemple :
( 5 ) ² = 5 1.2 1.2 = 1.2 7 7 = 710 6 = ( 10 3 ) ² = 10 3
3ème Chapitre A3 3
II) Equation du second degré de la forme x ² = a. Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = 49.Il y en a deux : 7 et : 49 et 49
Je cherche toutes les valeurs de x pour que x = 0. : 0 ( ou 0 ) Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = 64 n carré est toujours positifRécapitulatif :
Si a est positif :
x ² = a a pour solutions : x = a et x = aSi a est nul :
x ² = 0 a pour solution : x = 0Si a est négatif :
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
x ² = 256 cette équation admet deux solutions : x = 256 et x = 256 x = 16 et x = 16 x ² = 11 cette équation admet deux solutions : x = 11 et x = 11 x ² = aucune solution, car un carré est toujours positif.3ème Chapitre A3 4
3 x ² 8 = 5
3x ² = 5 + 8
3x ² = 3
x ² = 3 3 x ² = 9 cette équation admet deux solutions : x = 9 et x = 9 x = 3 et x = 3 : x = 0III) Propriétés et règles de calcul.
1) .
Quels que soient les nombres positifs a et b,
ab = a b ou a b = ab deux nombres positifs est égale auExemples :
3 5 = 3 5 = 15
12 = 4 3 = 4 3 = 2 3
5 20 = 5 20 = 100 = 10
2) .Quels que soient les nombres positifs a et b,
a b = a b ou a b = a b La racine carrée du quotient de deux nombres positif est égale au quotient3ème Chapitre A3 5
Exemples :
102 = 10
2 = 5
2581 = 25
81 = 5
9 753 = 75
3 = 25 = 5
34 = 3
4 = 3
2 ! Remarque : sommes et les différences. a + b a + b et a b a bExemples :
16 + 9 = 25 = 5 et 16 + 9 = 4 + 3 = 7
100 64 = 36 et 100 64 = 10 8 = 2
IV) Comparaison de racines carrées.
Règle : Deux racines carrées sont toujours rangées dans le même ordre que leurs carrés.Quels que soient les nombres positifs a et b,
Si a b alors a b et si a b alors a bExemples :
Comparer 56 et 57
56 < 57 donc 56 < 57
3ème Chapitre A3 6
Comparer 3 2 et 27
( 3 2 ) ² = 3 ² 2 ² = 9 2 = 1827 ² = 27 donc 3 2 < 27
V) .1) Simplifier une racine carrée.
Mettre sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit lifier ! )50 = 25 2 = 25 2 = 5 2
24 = 4 3 = 4 3 = 2 3
64 = 8
6 45 = 6 9 5 = 6 9 5 v = 6 3 5 = 18 5
2) Simplifier un produit, quotient ou carré de racines carrées.
Mettre sous la forme a b où a est une fraction ou un entier et b un45 5 = 9 5 5 = 9 5 5 = 3 5 = 15
21 15 = 7 3 3 5 = 3 3 7 5 = 3 35
1227 = 4 3
9 3 = 4 3
9 3 = 2
33) Simplifier une somme.
Mettre sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit4 5 + 125 = 4 5 + 5 25
= 4 5 + 5 25 = 4 5 + 5 5 = 9 53ème Chapitre A3 7
75 4 27 + 2 48 = 25 3 4 9 3 + 2 16 3
= 25 3 4 9 3 + 2 16 3 = 5 3 4 3 3 + 2 4 3 = 5 3 12 3 + 8 3 = 3200 + 4 50 7 32 = 100 2 + 4 25 2 7 16 2
= 100 2 + 4 25 2 7 16 2 = 10 2 + 4 5 2 7 4 2 = 10 2 + 20 2 28 2 = 2 24) Développer et réduire un produit contenant des racines carrées.
Mettre sous la forme a + b c où a, b et c sont des entiers avec c le plus ( 2 + 3 ) ( 5 2 ) = 5 2 2 ² + 15 3 2 = 2 2 2 + 15 = 13 + 2 2 ( 3 5 2 ) ² = ( 3 5 ) ² 2 3 5 2 + 4 = 9 5 12 5 + 4 = 45 + 4 12 5 = 49 12 5 ( 2 7 + 5 ) ( 2 7 5 ) = ( 2 7 ) ² 5 ² = 4 7 25 = 28 25 = 3 ! Remarque : Dans le sens développement, la troisième égalité remarquable supprime les radicaux.3ème Chapitre A3 8
5) .Supprimer la racine au dénominateur :
52 = 5 2
2 2 = 5 2
2 33 = 3 3
33 = 3 3
3 = 3
Supprimer la racine au dénominateur en utilisant la troisième égalité remarquable dans le sens développement. 62 5 = 6 ( 2 + 5 )
( 2 5 ) ( 2 + 5 ) = 12 + 6 54 5 = 12 + 6 5
1 = 12 6 5 23 2 1 =
VI) Application à la géométrie.
1) . Soit un triangle équilatéral de côté a, et sa hauteur issue de C qui coupe [AB] en H. Calculer la valeur exacte de la hauteur [CH].Dans un triangle équilatéral, les hauteurs
sont aussi médianes, donc (CH) est la médiane issue de C dans le triangle ABC et H est le milieu de [AB]. Donc AH = a 2Dans un triangle équilatéral, les trois
angles valent chacun 60 °, doncCAH =
CAB = 60 °
(CH) étant la hauteur issue de C dans le triangle ABC, on peut dire que le triangleACH est rectangle en H
AB C H a a 2 a3ème Chapitre A3 9
Dans le triangle ACH, rectangle en H, je peux appliquer le théorème dePythagore :
AC ² = AH ² + HC ² HC ² = 4 a ²4 a ²
4 HC ² = AC ² AH ² HC ² = 3 a ² 4HC ² = a ² ( a
2 ) ² HC = 3 a ²
4HC ² = a ² a ²
2 ² HC = 3 a ²
4HC ² = a ² a ²
4 HC = a 3
2 Propriété : Dans un triangle équilatéral de côté a, la mesure des hauteurs est a 3 2 2)Soit un carré MNPR de côté a.
MP = 2 a ² donc MP = 2 a ² donc MP = a 2 N R P M a a Dans le carré MNPR, les 4 angles sont droits, donc le triangle MNP est rectangle en N. Je peux y appliquer le théorème de Pythagore :MP ² = MN ² + NP ²
MP ² = a ² + a ²
MP ² = 2 a ²
3ème Chapitre A3 10
Propriété 2
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