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PolynômesExo7

MotivationLes polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez

déjà résoudre les équations de degré 2 :aX2ÅbXÅcAE0. Savez-vous que la résolution des équations

de degré 3,aX3ÅbX2ÅcXÅdAE0, a fait l"objet de luttes acharnées dans l"Italie duXVIesiècle?

Un concours était organisé avec un prix pour chacune de trente équations de degré 3 à résoudre.

Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et résout les trente équations

en une seule nuit! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée

quelques années plus tard comme la " méthode de Cardan ».

Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l"arithmé-

tique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l"arithmétique des polynômes et celles des

entiers. On continue avec un théorème fondamental de l"algèbre : " Tout polynôme de degrén

admetnracines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitreKdésignera l"un des corpsQ,RouC. 1.

Définitions

1.1.

Définitions Définition 1

Unpolynômeà coefficients dansKest une expression de la forme avecn2Neta0,a1,...,an2K.

L"ensemble des polynômes est notéK[X].

-Lesaisont appelés lescoefficientsdu polynôme. -Si tous les coefficientsaisont nuls,Pest appelé lepolynôme nul, il est noté 0. On appelle ledegrédePle plus grand entieritel queai6AE0; on le notedegP. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0)AE¡1. Un polynôme de la formePAEa0aveca02Kest appelé unpolynôme constant. Si a06AE0, son degré est 0.1 2

Exemple 1

-X3¡5XÅ34 est un polynôme de degré 3. -XnÅ1 est un polynôme de degrén. -2 est un polynôme constant, de degré 0.1.2.Opérations sur les polynômes

Égalité. SoientPAEanXnÅan¡1Xn¡1Å¢¢¢Åa1XÅa0etQAEbnXnÅbn¡1Xn¡1Å¢¢¢Åb1XÅb0

deux polynômes à coefficients dansK.

PAEQssiaiAEbipour touti

et on dit quePetQsont égaux.

Addition.

On définit :

Multiplication.

¢¢¢Åb1XÅb0. On définit

iÅjAEka ibjpourk2{0,...,r}.

Multiplication par un scalaire.

Si¸2Kalors¸¢Pest le polynôme dont lei-ème coefficient est¸ai.Exemple 2

SoientPAEaX3ÅbX2ÅcXÅdetQAE®X2ůXÅ°. AlorsPÅQAEaX3Å(bÅ®)X2Å(ců)XÅ

EnfinPAEQsi et seulement siaAE0,bAE®,cAE¯etdAE°. La multiplication par un scalaire¸¢Péquivaut à multiplier le polynôme constant¸par le polynômeP.L"addition et la multiplication se comportent sans problème :

Proposition 1

PourP,Q,R2K[X] alors

-0ÅPAEP,PÅQAEQÅP, (PÅQ)ÅRAEPÅ(QÅR); -1¢PAEP,P£QAEQ£P, (P£Q)£RAEP£(Q£R); -P£(QÅR)AEP£QÅP£R.Pour le degré il faut faire attention : 3

Proposition 2

SoientPetQdeux polynômes à coefficients dansK.

deg(P£Q)AEdegPÅdegQdeg(PÅQ)Émax(degP,degQ)On noteRn[X]AE©P2R[X]jdegPÉnª. SiP,Q2Rn[X] alorsPÅQ2Rn[X].

1.3.

V ocabulaire

Complétons les définitions sur les polynômes.Définition 2 -Les polynômes comportant un seul terme non nul (du typeakXk) sont appelésmo- nômes.

SoitPAEanXnÅan¡1Xn¡1Å¢¢¢Åa1XÅa0,un polynôme avecan6AE0. On appelleterme

dominant le monômeanXn. Le coefficientanest appelé lecoefficient dominantde P. -Si le coefficient dominant est 1, on dit quePest unpolynôme unitaire.Exemple 3 P

(X)AE(X¡1)(XnÅXn¡1Å¢¢¢ÅXÅ1). On développe cette expression :P(X)AE¡XnÅ1ÅXnÅ

1¢AEXnÅ1¡1.P(X) est donc un polynôme de degrénÅ1,

il est unitaire et est somme de deux monômes :XnÅ1et¡1.Remarque Tout polynôme est donc une somme finie de monômes.Mini-exercices 1. SoitP(X)AE3X3¡2,Q(X)AEX2ÅX¡1,R(X)AEaXÅb. CalculerPÅQ,P£Q, (PÅQ)£R etP£Q£R. Trouveraetbafin que le degré deP¡QRsoit le plus petit possible. 2.

Calculer ( XÅ1)5¡(X¡1)5.

3. Déterminer le degré de ( X2ÅXÅ1)n¡aX2n¡bX2n¡1en fonction dea,b. 4. Montrer que sidegP6AEdegQalorsdeg(PÅQ)AEmax(degP,degQ). Donner un contre- exemple dans le cas où degPAEdegQ. 5.

Montrer que siP(X)AEXnÅan¡1Xn¡1Å¢¢¢alors le coefficient devantXn¡1deP(X¡an¡1n)

est nul. 4 2.

Arithmétique des polynômes Il existe de grandes similarités entre l"arithmétique dansZet l"arithmétique dansK[X]. Cela nous

permet d"aller assez vite et d"omettre certaines preuves. 2.1.

Division euclidienne Définition 3

SoientA,B2K[X], on dit queBdiviseAs"il existeQ2K[X] tel queAAEBQ. On note alors BjA.On dit aussi queAest multiple deBou queAest divisible parB. Outre les propriétés évidentes commeAjA, 1jAetAj0 nous avons :Proposition 3

SoientA,B,C2K[X].

1. 2.

Si AjBetBjCalorsAjC.

3.

Si CjAetCjBalorsCj(AUÅBV), pour toutU,V2K[X].Théorème 1. Division euclidienne des polynômes

SoientA,B2K[X], avecB6AE0, alors il existe un unique polynômeQet il existe un unique polynômeRtels que :

AAEBQÅRet degRÇdegB.Qest appelé lequotientetRleresteet cette écriture est ladivision euclidiennedeAparB.

Notez que la condition degRÇdegBsignifieRAE0 ou bien 0ÉdegRÇdegB.

EnfinRAE0 si et seulement siBjA.Démonstration

Unicité.

SiAAEBQÅRetAAEBQ0ÅR0, alorsB(Q¡Q0)AER0¡R. Ordeg(R0¡R)ÇdegB. DoncQ0¡QAE0.

AinsiQAEQ0, d"où aussiRAER0.

Existence.On montre l"existence par récurrence sur le degré deA. SidegAAE0 etdegBÈ0, alorsAest une constante, on poseQAE0 etRAEA. SidegAAE0 et degBAE0, on poseQAEA/BetRAE0.

On suppose l"existence vraie lorsquedegAÉn¡1. SoitAAEanXnÅ¢¢¢Åa0un polynôme de degré

n(an6AE0). SoitBAEbmXmÅ¢¢¢Åb0avecbm6AE0. SinÇmon poseQAE0 etRAEA.

SinÊmon écritAAEB¢anb

mXn¡mÅA1avecdegA1Én¡1. On applique l"hypothèse de récurrence àA1: il existeQ1,R12K[X] tels queA1AEBQ1ÅR1et degR1ÇdegB. Il vient :

AAEBµanb

ÅR1.

DoncQAEanb

mXn¡mÅQ1etRAER1conviennent. 5

Exemple 4On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers.

Par exemple siAAE2X4¡X3¡2X2Å3X¡1 etBAEX2¡XÅ1. Alors on trouveQAE2X2ÅX¡3

etRAE¡XÅ2. On n"oublie pas de vérifier qu"effectivementAAEBQÅR.2X4¡X3¡2X2Å3X¡1X

X

3¡4X2Å3X¡1X

3¡X2ÅX¡

¡3X2Å2X¡1¡3X2Å3X¡3¡

¡XÅ2Exemple 5

PourX4¡3X3ÅXÅ1 divisé parX2Å2 on trouve un quotient égal àX2¡3X¡2 et un reste

égale à 7XÅ5.X

4¡3X3ÅXÅ1X

2Å2X

2¡3X¡2X

4Å2X2¡

¡2X2Å7XÅ1¡2X2¡4¡

7XÅ52.2.pgcd

Proposition 4

SoientA,B2K[X], avecA6AE0 ouB6AE0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la foisAetB. Cet unique polynôme est appelé lepgcd(plus grand commun diviseur) deAetBque l"on note pgcd(A,B). 6

Remarque

-pgcd(A,B) est un polynôme unitaire. -SiAjBetA6AE0, pgcd(A,B)AE1¸

A,où¸est le coefficient dominant deA.

-Comme pour les entiers : siAAEBQÅRalorspgcd(A,B)AEpgcd(B,R). C"est ce qui justifie l"algorithme d"Euclide.Algorithme d"Euclide.SoientAetBdes polynômes,B6AE0. On calcule les divisions euclidiennes successives,

AAEBQ1ÅR1degR1ÇdegB

BAER1Q2ÅR2degR2ÇdegR1

R

1AER2Q3ÅR3degR3ÇdegR2...

R R k¡1AERkQkÅ1

Le degré du reste diminue à chaque division. On arrête l"algorithme lorsque le reste est nul. Le

pgcd est le dernier reste non nulRk(rendu unitaire).Exemple 6 Calculons le pgcd deAAEX4¡1 etBAEX3¡1. On applique l"algorithme d"Euclide : X

4¡1AE(X3¡1)£XÅX¡1

X

3¡1AE(X¡1)£(X2ÅXÅ1)Å0

Le pgcd est le dernier reste non nul, donc pgcd(X4¡1,X3¡1)AEX¡1.Exemple 7 Calculons le pgcd deAAEX5ÅX4Å2X3ÅX2ÅXÅ2 etBAEX4Å2X3ÅX2¡4. X X (3XÅ4)¡149 (X2ÅXÅ2)

Ainsi pgcd(A,B)AEX2ÅXÅ2.Définition 4

SoientA,B2K[X]. On dit queAetBsontpremiers entre euxsi pgcd(A,B)AE1. PourA,Bquelconques on peut se ramener à des polynômes premiers entre eux : sipgcd(A,B)AED alorsAetBs"écrivent :AAEDA0,BAEDB0avec pgcd(A0,B0)AE1. 2.3.

Théorème de Bézout

7

Théorème 2. Théorème de BézoutSoientA,B2K[X] des polynômes avecA6AE0 ouB6AE0. On noteDAEpgcd(A,B). Il existe deux

polynômesU,V2K[X] tels queAUÅBVAED.

Ce théorème découle de l"algorithme d"Euclide et plus spécialement de sa remontée comme on le

voit sur l"exemple suivant.Exemple 8 Nous avons calculé pgcd(X4¡1,X3¡1)AEX¡1. Nous remontons l"algorithme d"Euclide, ici il

n"y avait qu"une ligne :X4¡1AE(X3¡1)£XÅX¡1, pour en déduireX¡1AE(X4¡1)£1Å(X3¡

1)£(¡X). DoncUAE1 etVAE¡Xconviennent.Exemple 9

PourAAEX5ÅX4Å2X3ÅX2ÅXÅ2 etBAEX4Å2X3ÅX2¡4 nous avions trouvéDAEpgcd(A,B)AE X

2ÅXÅ

2. En partant de l"avant dernière ligne de l"algorithme d"Euclide on a d"abord :

BAE(3X3Å2X2Å5X¡2)£19

(3XÅ4)¡149 Ddonc 149

DAEB¡(3X3Å2X2Å5X¡2)£19

(3XÅ4).

La ligne au-dessus dans l"algorithme d"Euclide était :AAEB£(X¡1)Å3X3Å2X2Å5X¡2. On

substitue le reste pour obtenir : 149

DAEB¡¡A¡B£(X¡1)¢£19

(3XÅ4).

On en déduit

¡149

DAE¡A£19

(3XÅ4)ÅB¡1Å(X¡1)£19 (3XÅ4)¢

Donc en posantUAE114(3XÅ4) etVAE¡114

¡9Å(X¡1)(3XÅ4)¢AE¡114(3X2ÅXÅ5) on aAUÅBVAE D.Le corollaire suivant s"appelle aussi le théorème de Bézout.

Corollaire 1

SoientAetBdeux polynômes.AetBsont premiers entre eux si et seulement s"il existe deux polynômesUetVtels queAUÅBVAE1.Corollaire 2 SoientA,B,C2K[X] avecA6AE0 ouB6AE0. SiCjAetCjBalorsCjpgcd(A,B). 8

Corollaire 3. Lemme de Gauss

SoientA,B,C2K[X]. SiAjBCet pgcd(A,B)AE1 alorsAjC.2.4.ppcm

Proposition 5SoientA,B2K[X] des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaireMde

plus petit degré tel queAjMetBjM. Cet unique polynôme est appelé leppcm(plus petit commun multiple) deAetBqu"on note ppcm(A,B).Exemple 10 ppcm

¡X(X¡2)2(X2Å1)4,(XÅ1)(X¡2)3(X2Å1)3¢AEX(XÅ1)(X¡2)3(X2Å1)4.De plus le ppcm est aussi le plus petit au sens de la divisibilité :

Proposition 6

SoientA,B2K[X] des polynômes non nuls etMAEppcm(A,B). SiC2K[X] est un polynôme tel queAjCetBjC, alorsMjC.Mini-exercices 1. Trouver les divis eursde X4Å2X2Å1 dansR[X], puis dansC[X]. 2.

Montrer que X¡1jXn¡1 (pournÊ1).

3. Calculer les divisions euclidiennes deAparBavecAAEX4¡1,BAEX3¡1. PuisAAE

4X3Å2X2¡X¡5 etBAEX2ÅX;AAE2X4¡9X3Å18X2¡21XÅ2 etBAEX2¡3XÅ1;

AAEX5¡2X4Å6X3etBAE2X3Å1.

4. Déterminer le pgcd deAAEX5ÅX3ÅX2Å1 etBAE2X3Å3X2Å2XÅ3. Trouver les coefficients de BézoutU,V. Mêmes questions avecAAEX5¡1 etBAEX4ÅXÅ1. 5. Montrer que siAUÅBVAE1 avecdegUÇdegBetdegVÇdegAalors les polynômes U,Vsont uniques.3.Racine d"un polynôme, factorisation 3.1.

Racines d"un polynôme

9

Définition 5SoitPAEanXnÅan¡1Xn¡1Å¢¢¢Åa1XÅa02K[X]. Pour un élémentx2K, on noteP(x)AE

a nxnÅ¢¢¢Åa1xÅa0 . On associe ainsi au polynômePunefonction polynôme(que l"on note encoreP) P:K!K,x7!P(x)AEanxnÅ¢¢¢Åa1xÅa0.Définition 6 SoitP2K[X] et®2K. On dit que®est uneracine(ou unzéro) dePsiP(®)AE0.Proposition 7

Lorsque l"on écrit la division euclidienne dePparX¡®on obtientPAEQ¢(X¡®)ÅRoùRest une

constante car degRÇdeg(X¡®)AE1. DoncP(®)AE0()R(®)AE0()RAE0()X¡®jP.Définition 7

(X¡®)kÅ1ne divise pasP. LorsquekAE1 on parle d"uneracine simple, lorsquekAE2 d"une racine double, etc.On dit aussi que®est uneracine d"ordrek.Proposition 8

Il y a équivalence entre :

(i)®est une racine de multiplicitékdeP. (ii) Il existe Q2K[X] tel quePAE(X¡®)kQ,avecQ(®)6AE0. (iii)P(®)AEP0(®)AE¢¢¢AEP(k¡1)(®)AE0 etP(k)(®)6AE0.Remarque

Par analogie avec la dérivée d"une fonction, siP(X)AEa0Åa1XÅ¢¢¢ÅanXn2K[X] alors le

polynômeP0(X)AEa1Å2a2XÅ¢¢¢ÅnanXn¡1est lepolynôme dérivédeP.3.2.Théorème de d"Alember t-Gauss

Passons à un résultat essentiel de ce chapitre : 10

Théorème 3. Théorème de d"Alembert-GaussTout polynôme à coefficients complexes de degrénÊ1 a au moins une racine dansC. Il admet

exactementnracines si on compte chaque racine avec multiplicité.Nous admettons ce théorème.

Exemple 11

SoitP(X)AEaX2ÅbXÅcun polynôme de degré 2 à coefficients réels :a,b,c2Reta6AE0. -Si¢AEb2¡4acÈ0 alorsPadmet 2 racines réelles distinctes¡bÅp¢

2aet¡b¡p¢

2a. -Si¢Ç0 alorsPadmet 2 racines complexes distinctes¡bÅipj¢j2aet¡b¡ipj¢j2a. -Si¢AE0 alorsPadmet une racine réelle double¡b2a. En tenant compte des multiplicités on a donc toujours exactement 2 racines.Exemple 12

P(X)AEXn¡1 admetnracines distinctes.

Sachant quePest de degrénalors par le théorème de d"Alembert-Gauss on sait qu"il admet nracines comptées avec multiplicité. Il s"agit donc maintenant de montrer que ce sont des racines simples. Supposons -par l"absurde- que®2Csoit une racine de multiplicitéÊ2.

AlorsP(®)AE0 etP0(®)AE0. Donc®n¡1AE0 etn®n¡1AE0. De la seconde égalité on déduit

®AE0, contradictoire avec la première égalité. Donc toutes les racines sont simples. Ainsi les

nracines sont distinctes. (Remarque : sur cet exemple particulier on aurait aussi pu calculer les racines qui sont ici les racinesn-ième de l"unité.)

Pour les autres corps que les nombres complexes nous avons le résultat plus faible suivant :Théorème 4

SoitP2K[X] de degrénÊ1. AlorsPadmet au plusnracines dansK.Exemple 13 P (X)AE3X3¡2X2Å6X¡4. Considéré comme un polynôme à coefficients dansQouR,Pn"a qu"une seule racine (qui est simple)®AE23et il se décompose enP(X)AE3(X¡23)(X2Å2). Si on considère maintenantPcomme un polynôme à coefficients dansCalorsP(X)AE3(X¡23)(X¡ ip2)(XÅip2) et admet 3 racines simples.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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