Cours de mathématiques - Exo7
Racine d'un polynôme factorisation avec un théorème fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n ... Xn +1 est un polynôme de degré n.
Chapitre 12 : Polynômes
7 févr. 2014 savoir factoriser ou effectuer une division euclidienne sur des polynômes à ... ficients du polynôme P l'entier n degré de P (souvent noté ...
Polynômes
Factoriser dans R[X] et C[X] les polynômes suivants : Soit P = Xn +an?1Xn?1 +···+a1X +a0 un polynôme de degré n ? 1 à coefficients dans Z. Démontrer.
Factorisation des polynômes
2) En général on ne connaît pas d'algorithme non probabiliste pour factoriser un polynôme de degré n à coefficients dans un corps fini de cardinal q
POLYNOMES
Ch01 : POLYNOMES. 2006/2007. Théorème 2. Une fonction polynôme P de degré n à coefficients réels possède au plus n racines réelles. I.4 Factorisation.
FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS 1
tion en degrés distints puis la factorisation en degrés égaux (algorithme de Par cette méthode
Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
Tout polynôme de C[X] de degré n admet exactement n racines dans C comptées avec leur ordre de multiplicité. Théorème 4.3 (Factorisation sur C).
Feuille 9 : Polynômes
Pour n ? N n ? 1 on note H(n) la proposition : Pn est de degré n et son coefficient Factoriser les polynômes suivants en polynômes irréductibles :.
Les Polynômes
3) Factorisation. Définition 6 : Soit P un polynôme de degré n ? 1. On appelle racine (ou zéro) de P tout nombre a tel que P(a) = 0. Page 4/5
Polynômes et nombres complexes
Exemple On a déj`a vu que l'on peut factoriser X4 + X2 + 1 de la facçon suivante : Soit P un polynôme de degré au plus n tel que la fonction polynôme ...
[PDF] Polynômes - Exo7 - Cours de mathématiques
Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1 Donc pour P ? C[X] de degré n 1 la factorisation s'écrit P = ?(X??1)k1 (X
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Pour résumer la méthode est la suivante : calculer une base de l'espace vectoriel des polynômes Q ? F[x] de degrés < n tels que Qq ? Q (mod f) espace
[PDF] Les Polynômes
Proposition 2 : Si un trinôme a deux racines x1 et x2 on peut le factoriser en a(x ?x1)(x ?x2) 3) Signe du trinôme Dans chacun des trois cas pour ? on peut
[PDF] Feuille 6 : Polynômes
Exercice 15 On sait factoriser dans C[X] chacun des deux polynômes (voir la question 1 de l'exercice précédent) Chacun n'a que des racines simples et leur
[PDF] Chapitre 12 : Polynômes - Normale Sup
7 fév 2014 · On ne risque pas de factoriser plus puisqu'il ne reste que des facteurs de degré 1 Remarque 9 Un polynôme de degré n ne peut admettre plus de
[PDF] Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse
Définition 3 3 Soit P = c0 + c1X + c2X2 + ··· + cdXd un polynôme de degré d – Les éléments ci ? K s'appellent les coefficients du polynôme P – Le coefficient
[PDF] Chapitre 9 – Racines de lunité et factorisation de polynômes dans C
Dans cet ultime chapitre portant sur les nombres complexes nous allons approfondir l'étude de la factorisation de polynôme à coefficients complexes 9 1
[PDF] POLYNOMES - Nathalie Daval - Free
Ch01 : POLYNOMES 2006/2007 Théorème 2 Une fonction polynôme P de degré n à coefficients réels possède au plus n racines réelles I 4 Factorisation
[PDF] Factorisation des polynômes - E-repetiteur
Pour factoriser un polynôme on peut utiliser la méthode d'Horner ou la méthode de la division euclidienne ou la méthode d'identification des coefficients
[PDF] Polynômes - MyPrepa
Factoriser sur C[X] puis sur R[X] le polynôme Xn ? 1 On pourra distinguer les cas suivant la Montrer que Ln est un polynôme unitaire de degré n
Comment factoriser un polynôme de degré n ?
Méthode 1 : en connaissant une racine a du polynome p (possiblement une racine évidente), alors le polynome peut se factoriser par (x?a) , soit p=(x?a)?q(x) p = ( x ? a ) ? q ( x ) avec q(x) un polynôme de degré 2 (méthode de factorisation ci-dessus).Comment faire pour factoriser un polynôme ?
La factorisation peut se faire suivant différentes techniques :
1La mise en évidence simple.2La mise en évidence double.3La différence de carrés.4La technique du produit-somme.5Le trinôme carré parfait.6La complétion du carré7La formule ?b±?b2?4ac2a pour les trinômes de la forme ax2+bx+c.Comment montrer qu'un polynôme est constant ?
– Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ? K est appelé un polynôme constant. Si a0 = 0, son degré est 0.- Corollaire 1 : Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Plus précisément, pour tout x réel on a : P(x) = anxn +an?1 xn?1 +···+a1x +a0 = 0 ?? a0 = 0, a1 = 0, . . ., an = 0. Définition 5 : Soit P un polynôme de degré n ?1. On appelle racine (ou zéro ) de P tout nombre a tel que P(a) = 0 .
1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
POLYNOMES
Table des matières
I Fonction polynôme1
I.1 Fonction polynôme de degrén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Egalité de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1
I.3 Racine d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2
I.4 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2
I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3 I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4 I.4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4II Second degré5
II.1 Fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5
II.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5
II.3 Solutions de l"équation et factorisation . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.4 Signe du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7
II.5 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8
I Fonction polynôme
I.1 Fonction polynôme de degrén
Définition 1
On appelle fonction polynôme de degrén
toute fonctionPdéfinie surRde la forme :P(x) =a
pxpun le monômede degrépExemple 1
ÔLa fonctionPdéfinie parP(x) = 7x6-5x4+ 3x-11est une fonction polynôme de degré6 ÔLa fonction affineax+baveca?= 0est une fonction polynôme de degré1 ÔLa fonction constantekaveck?= 0est une fonction polynôme de degré0ÔLa fonctionQdéfinie par :Q(x) =x3+x+1
xn"est pas une fonction polynôme http://nathalie.daval.free.fr-1-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
Propriété 1
SoientPetQdes fonctions polynômes non nulles, alors :©deg(PQ) =deg(P) +deg(Q)
Remarque 1
L"inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s"annulerI.2 Egalité de deux polynômes
Théorème 1
SoientPetQdeux fonctions polynômes,P=Qsignifie que :ãdeg(P) =deg(Q)
ãles coefficients des termes de même degré dePetQsont égaux Cas particulier :P= 0est le polynôme nul, ce qui signifie que tous ses coefficients sont nulsExemple 2
ÔLes deux polynômesQ(x) = (x2+⎷
2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)etP(x) =x4+ 1sont égaux :
Q(x) = (x2+⎷
2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)
=x4-⎷2x3+x2+⎷2x3-2x2+⎷2x+x2-⎷2x+ 1
=x4+ 1Q(x) =P(x)
ÔLes polynômesP(x) = 2x2-3x+ 4etR(x) =ax2+bx+csont égaux poura= 2b=-3c= 4I.3 Racine d"un polynôme
Définition 2
On appelle racine
d"une fonction polynômePtoute solutionx0de l"équationP(x) = 0Exemple 3
ÔLes racines de la fonction polynômePdéfinie surRpar :P(x) = (x-1)(x+ 3)(x-2)sont-3,1et2 ÔLes fonctions polynômes du1erdegréax+badmettent toutes une seule racinex0=-b aÔCertaines fonctions polynômes n"ont aucune racine réelle.Par exemplex2+ 1qui est strictement positif
Remarque 2
Une fonction polynôme sans racine réelle est nécessairement de signe constant http://nathalie.daval.free.fr-2-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
Théorème 2
Une fonction polynômePde degrénà coefficients réels possède au plusnracines réelles
I.4 Factorisation
Théorème 3
Si une fonction polynômePà coefficients réels de degréna une racine réellex0alors on peut
factoriserP(x)par(x-x0)et on obtient
P(x) = (x-x
0)Q(x)ouQest une fonction polynôme de degré(n-1)
Remarque 3
On peut essayer de remplacer la variablexpar1,-1,0...et si la valeur du polynôme est0, on dit qu"on a trouvé une " racine évidente » I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients On considère le polynômefdéfini par :f(x) = 3x4-x3+x2+ 11x+ 6
Une solution évidente estx
0=-1 donc, il existe un polynômegde degré4-1 = 3tel que pour tout réelx: f(x) = (x+ 1)g(x) = (x+ 1)(ax3+bx2+cx+d)
=ax4+bx3+cx2+dx+ax3+bx2+cx+d
=ax4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+d
Les polynômes3x
4-x3+x2+ 11x+ 6etax4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+dsont égaux, leurs
coefficients le sont aussi : ?a= 3 b+a=-1 c+b= 1 d+c= 11 d= 6donc :???????a= 3 b=-4 c= 5 d= 6Conclusion :f(x) = (x+ 1)(3x
3-4x2+ 5x+ 6)
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I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne
On considère le polynômefdéfini par :f(x) =X4-7X3+ 17X2-17X+ 6
Une solution évidente estX
0= 1donc,f(X)est divisible par(X-1)
On effectue la division euclidienne def(X)par(X-1)en utilisant les mêmes principes que pour la division des nombres X4-7X3+ 17X2-17X+ 6X-1
X4-X3X3-6X2+ 11X-6
-6X3+ 17X2-17X+ 6 -6X3+ 6X2 + 11X2-17X+ 6 + 11X2-11X -6X+ 6 -6X+ 6 0Conclusion :f(X) = (X-1)(3X3-4X2 + 5X+ 6)
I.4.3 Exemple
On souhaite factoriserP(x) =x
3-7x+ 6
1. CalculerP(2)
2. Trouver une racine évidente
3. Conclure sur la factorisation
ÔP(2) = 0, on peut factoriser par(x-2)
ÔP(1) = 0, on peut factoriser par(x-1)
ÔP(x) = (x-2)(x-1)Q(x)avecdeg(P) =deg(x-2) +deg(x-1) +deg(Q) donc,deg(Q) = 3-1-1 = 1P(x)=(x-2)(x-1)(ax+b)
=(x2-x-2x+ 2)(ax+b)
=(x2-3x+ 2)(ax+b)
=ax3+bx2-3ax2-3bx+ 2ax+ 2b
=ax3+ (b-3a)x2+ (-3b+ 2a)x+ 2b
P(x)=x
3-7x+ 6
?a= 1 b-3a= 0 -3b+ 2a=-72b= 6donc :?a= 1
b= 3Conclusion :P(x) = (x-2)(x-1)(x+ 3)
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II Second degré
II.1 Fonction polynôme du second degré
Définition 3
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonctionPde la formeP(x) =ax
2+bx+c
oùa,betcsont des réels aveca?= 0L"expressionax
2+bx+cest appelée trinôme du second degré
Exemple 4
ÔP(x) =x2-7x+ 12, on a :a= 1,b=-7etc= 12
ÔP(x) = 4x2, on a :a= 4,b= 0etc= 0
Ô2x+ 1,6x3+ 4x+ 2et(x-1)2-x2ne sont pas du second degréII.2 Forme canonique
Définition 4
Une expression de la formea(x-α)
2+bs"appelle la forme canoniquedu trinôme
Le principe est de transformer un trinôme du second degré en utilisant les identités remarquables :
Exemple 5
Ôx2-8x+ 7 = (x-4)2-16 + 7 = (x-4)2-9
ÔDans ce cas, les racines sont alors facilement identifiables: résoudrex2-8x+ 7 = 0revient à résoudre(x-4)2-9 = 0Ô(x-4)2-9 = 0??(x-4)2= 9
??x-4 = 3oux-4 =-3 ??x= 7oux= 1ÔS={1;7}
Transformation de l"écritureax2+bx+c:
ax2+bx+c=a?
x2+bax+ca? =a? x+b 2a? 2 -b 24a2+ca?
=a? x+b 2a? 2 -b 2-4ac 4a2 ax2+bx+c=a?
x+b2a? 2 -Δ4a2 avecΔ =b 2-4ac http://nathalie.daval.free.fr-5-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
II.3 Solutions de l"équation et factorisation
Résoudreax2+bx+c= 0revient à résoudrea?
x+b2a? 2 -Δ4a2 = 0ou encore? x+b 2a? 2 =Δ4a2Dans cette dernière expression, tout est positif saufΔ, ce qui nous permet d"énoncer le théorème suivant :
Théorème 4
SoitΔ =b
2-4acle discriminant du trinômeax2+bx+c
ãΔ<0: l"équation n"a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser ãΔ = 0: l"équation a une solution doublex0=-b2ale trinôme se factorise sous la formea(x-x
0)2 ãΔ>0: l"équation possède2solutions réelles :x1=-b-⎷Δ2aetx2=-b+⎷Δ
2ale trinôme se factorise sous la formea(x-x
1)(x-x2)
Exemple 6
Ô-6x2+x+ 1 = 0
Δ =b2-4ac= 12-4×(-6)×1 = 25
Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles : x1=-b-⎷
2a=-1-5-12=12x2=-b+⎷
2a=-1 + 5-12=-13
S=? -1 3;12? et la forme factorisée dePest :P(x) =-6? x+13??quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] phyllotaxie spiralée
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