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Mathématiques en Terminale STG

David ROBERT

2009-2010

Sommaire

1 Tauxd"évolution1

1.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

1.2 Taux d"évolution et coefficient multiplicateur (rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 4

1.2.2 Taux d"évolution et coefficient multiplicateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Augmenter en pourcentage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.4 Diminuer en pourcentage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.5 Évolutions successives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.6 Évolutions réciproques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Taux d"évolution moyen et moyenne géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Indices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 6

1.5 Approximation d"un taux d"évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 Formule d"approximation locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.2 Application aux petits taux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Devoir surveillén°1 : Tauxd"évolution9

2 Dérivation11

2.1 Nombre dérivé (rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

2.1.2 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 13

2.1.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 14

2.2 Fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16

2.2.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16

2.2.2 Bilan et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

Devoir surveillén°2 : Dérivation21

3 Statistiques à deux variables23

3.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 23

3.2 Bilan et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Série statistique à deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2 Nuage de points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.3 Corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 29

3.2.4 Ajustement affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.5 Utilisation de la calculatrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 30

Devoir surveillén°3 : Statistiques à deuxvariables31

4 Suites33

4.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 33

4.2 Suites arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

4.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 36

4.2.2 Terme général est fonction den. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.3 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.4 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.5 Limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 37

4.2.6 Somme des termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

SOMMAIRETerminale STG

4.3 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

4.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 37

4.3.2 Terme général en fonction den. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.3 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.4 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.5 Limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 38

4.3.6 Somme des termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Devoir surveillén°4 : Statistiques - Suites numériques41

5 Exposantsréels43

5.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 43

5.2 Calculs sur les puissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.1 Règles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.2 Résoudre une équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 46

5.3.1 Taux de variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.2 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.3 Modelisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Devoir surveillén°5 : Exposantsréels49

6 Applicationsde la dérivation51

6.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 51

6.2 Variation de fonctions et signe de la dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 52

Baccalauréatblanc53

7 Fonction logarithmenépérien57

7.1 Vers une nouvelle fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.1 Tableau de valeurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.2 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.3 Ensemble de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1.4 Signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 58

7.1.5 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2 Relations algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

7.2.1 Logarithme d"un produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.2 Logarithme d"un inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.3 Logarithme d"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.4 Logarithme d"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2.5 logarithme d"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3 Équations et inéquations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4 Dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 61

7.4.1 Dérivée de la fonction ln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.4.2 Dérivée d"une fonction de la forme ln(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 62

7.5.1 Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.5.2 Résolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

7.5.3 Fonctions comportant lnx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.5.4 Fonctions comportant lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.5.5 Exercices de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Devoir surveillén°7 : Logarithme népérien63

8 Probabilités65

8.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 65

8.2 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 68

Devoir surveillén°8 : Probabilités69

iv http ://perpendiculaires.free.fr/

Terminale STGSOMMAIRE

9 Fonctionexponentielle71

9.1 Vers une nouvelle fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2 Fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.2.1 Exponentielle et logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.3 Relations algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

9.3.1 Exponentielle d"une somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.3.2 Exponentielle d"un opposé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.3.3 Exponentielle d"un produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.3.4 Exponentielle d"une différence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.4 Équations et inéquations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.5 D"autres fonctions exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 76

Devoir surveillén°9 : Exponentielle79

10 Optimisation à deux variables81

10.1 Équations de droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

10.1.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 81

10.1.2 Bilan et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10.1.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 84

10.2 Régions du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 84

10.2.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 84

10.2.2 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 85

10.2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 85

10.3 Programmation linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10.3.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 86

10.3.2 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 87

David ROBERTv

Chapitre 1Taux d"évolutionSommaire

1.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1

1.2 Taux d"évolution et coefficientmultiplicateur (rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 4

1.2.2 Taux d"évolution et coefficient multiplicateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Augmenter en pourcentage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.4 Diminuer en pourcentage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.5 Évolutionssuccessives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.6 Évolutionsréciproques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Taux d"évolution moyen etmoyenne géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Indices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 6

1.5 Approximation d"un taux d"évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 Formuled"approximation locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.2 Applicationaux petits taux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Activités

ACTIVITÉ1.1.

Le tableau ci-contre donne la fréquentation à midi de la cantine d"un lycée du lundi au mercredi :

Lundi

MardiMercredi

12001340520

1. (a) Calculer la variation absolue entre lundi et mardi.

(b) Calculer la variation relative entre lundi et mardi. Cette variation est appelée taux d"évolution entre lundi et

mardi. L"exprimer sous forme décimale, puis en pourcentage. (c) Calculer le taux d"évolution entre mardi et mercredi.

2. (a) Le taux d"évolution entre lundi et jeudi est3,5%.

Calculer la fréquentation de la cantine le jeudi. (b) Le taux d"évolution entre mardi et vendredi est0,012. Calculer la fréquentation de la cantine le vendredi. 1

1.1 ActivitésTerminale STG

ACTIVITÉ1.2.

En 2004, il y avait 250 adhérents dans un club de tennis. Ce nombre a augmenté de 4% en 2005 et ensuite a baissé de

5% en 2006.

1. Compléter le tableau

1.1de la présente page.

TABLE1.1 - Tableau de l"activité

1.2, question1

AnnéeEffectifVariation en %Taux d"évolutionCoefficient multiplicateur

2004250

2005hausse de 4%t1......k1......

2006baisse de 5%t2......k2......

Résumé des deux évolutions.........de ...... %T......K......

2. (a) Déterminer la valeur arrondie au millième du nombrektel que :k2K.

(b) En déduire la valeur arrondie au millième du nombrettel que : (1t)2K.

(c) Si le taux d"évolution du nombre d"adhérents de ce club avait étét% par an sur ces deux années, quel serait

le taux global d"évolution?

3. (a) Compléter le tableau

1.2de la présente page où l"on remplacera la valeur detpar celle trouvée précédem-

ment.

TABLE1.2 - Tableau de l"activité

1.2, question3a

AnnéeEffectifVariation en %Taux d"évolutionCoefficient multiplicateur

2004250

2005.........de ...... %t......k......

2006.........de ...... %t......k......

Résumé des deux évolutions.........de ...... %T......K...... (b) Quel résultat le tableau permet-il de vérifier?

ACTIVITÉ1.3.

Le tableau ci-dessous donne le nombre d"animaux dans un zoo.

Année

200020012002200320042005

Population125012001000125015002000

Indice100

1. (a) Quel est le taux d"évolution du nombre d"animaux entre2000 et 2001?

(b) Interpréter ce résultat en terme d"augmentation ou de diminution en pourcentage.

2. (a) Si la population avait été de 100 animaux en 2000, quel aurait été le nombred"animaux en 2001 avec le taux

d"évolution trouvé en 1a? (b) Compléter la case correspondante dans le tableau. Cette valeur trouvée est appelé indice de la population en 2001 avec pour base 100 en 2000. (c) Compléter la troisième ligne du tableau selon le même principe qu"enquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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