[PDF] Paramètres statistiques Pour chaque modalité mi l'

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?Paramètres statistiques

AdministrationÉconomique etSociale

Mathématiques

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?L"objet des paramètres statistiques est de résumer, à l"aide de quelques valeurs clés, l"information donnée par l"observation d"unevariable quantitative.

?1.MOYENNE ET VARIANCEOn considère un caractèrequantitatif discretX. On notenl"effectif total.Modalitésm

1m

2···m

pEffectifsn 1n

2···n

pLamoyennedeXest +Moy(X)=1n p i=1n imi=n1m1+···+npmpn ?La moyenne peut être exprimée avec les fréquences :

Moy(X)=n1m1+···+npmpn

=n1n m1+···+npn mp =f1m1+···+fpmp. +Moy(X)=p? i=1f imi=f1m1+···+fpmp. On étudie le nombre d"étages des demeures d"un quartier de Montpellier.Modalités0123456

Effectifs50581121381065516

Moy(X)=

1491535

=2,79.!La moyenne n"est pas nécessairement une modalité. ?On considère un caractèrequantitatif continuX. On notenl"effectif total. Les modalités sont des intervalles. Pour calculer la moyenne, on remplace ces intervalles par leurs centres.Modalités[a1,a2[[a2,a3[···[ap,ap+1[Centresc

1=a1+a22c

2=a2+a32···c

p=ap+ap+12

Effectifsn

1n

2···n

pLamoyennedeXest +Moy(X)=1n p i=1n ici=n1c1+···+npcpn Comme précédemment, on peut aussi utiliser les fréquences +Moy(X)=p? i=1f ici=f1c1+···+fpcp. On étudie le poids (en kg) de 50 enfants.Modalités[10,15[[15,20[[20,25[[25,30[

Centres10+152

=12,515+202 =17,520+252 =22,525+302 =27,5Effectifs1018139 =19,6. ?SiXest un caractère : on notem1,...,mi,...,mp-ses modalités si le caractère est discret -le centre de ses modalités si le caractère est continu. Pour chaque modalitémi, l"effectif associé estni, l"effectif total estn. On appellesérie statistique deXl"ensemble des couples (m1,n1),...,(mp,np). +La moyenne deXest le nombre qui approche le mieux la série statistique deX. ?Siaest un nombre, la distance deaà la série deXest d(a)=1n p i=1n

i(mi-a)2.-Valorisation des grands écarts entreaet lesmi-Valorisation des modalités de grand effectif

-Dévalorisation des petits écarts entreaet lesmi-Dévalorisation des modalités de petit effectif.

La moyenne deXest le seul nombre Moy(X) tel que

d pour tout nombrea. ?Ce nombred?Moy(X)?est la plus petite erreur possible en approchant la série statistique deXpar un nombre. On l"appellevariancedeX: +Var(X)=d?Moy(X)? 1n p i=1n i?mi-Moy(X)?2 p? i=1f i?mi-Moy(X)?2 oùfiest la fréquence demi. ?En utilisant ?mi-Moy(X)?2=m2 i-2miMoy(X)+Moy(X)2 on montre +Var(X)=Moy(X2)-Moy(X)2 1n p i=1n im2 i-Moy(X)2 p? i=1f im2 i-Moy(X)2. ?En résumé : +La moyenne est la valeur qui approche le mieux une série statistique. +La variance mesure l"erreur faite en remplaçant la série par la moyenne. +Si on remplaçait la série par nombre différent de la moyenne, on ferait une erreur plus grande. ?2.MÉDIANNE-FRACTILESSiXest un caractèrequantitatifde modalités m

1

Lamédianneest un nombre tel que-l"effectif de l"ensemble des modalités supérieures à ce nombre

-l"effectif de l"ensemble des modalités inférieures à ce nombre sont égaux. Un tel nombre n"existe pas toujours et on donne des solutions approchées. ?2.1.Médianne d"un caractère quantitatif discret. On noteFla fonction de distribution cumulativeen fréquencedu caractère quantitatif discretX. +La médianne est la modalitémitelle que

F(mi-1)<0,5 etF(mi)≥0,5.

!La médianne d"un caractère quantitatif discret est donc une modalité. Si on imagine qu"on classe les individus par modalités croissantes puis arbitrai- rement à l"intérieur de chaque modalité, la médianne est la modalité associée à le individu qui a plus (ou autant) d"individus avant lui que d"individu après. ?2.2.Médianne d"un caractère quantitatif continu. On noteFla fonction de distribution cumulativeen fréquencedu caractère quantitatif continuX. Dans ce cas, il existe toujours un unique nombrextel queF(x)=0,5. C"est ce nombre qu"on appelle médianne deX. ?2.3.Fractile d"un caractère quantitatif discret. effectifs. !pourp=2 on retrouve la notion de médianne. On noteFla fonction de distribution cumulativeen fréquencedu caractère quantitatif discretX.

Soitjun nombre entier parmi 1,2,...,p-1 :

+Lejefractile d"ordrepest la modalitémitelle que

F(mi-1) etF(mi)≥jp ?2.4.Fractile d"un caractère quantitatif continu.

Soitjun nombre entier parmi 1,2,...,p-1 :

On noteFla fonction de distribution cumulativeen fréquencedu caractère quantitatif continuX. Dans ce cas, il existe toujours un unique nombrextel queF(x)=jp . C"est ce nombre qu"on appellejefractile d"ordrepdeX. ?2.5.Cas particuliers. +Les fractiles d"ordre 10 s"appellent déciles +Les fractiles d"ordre 100 s"appellent centiles +Les fractiles d"ordre 4 s"appellent quartiles le nombreQ3-Q1. !Il y a 50% de la population associée à des modalités comprises entreQ1et Q 3.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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