[PDF] Comment mesure-t-on la masse des planètes

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1

Comment mesure-t-on la masse des planètes ?

Evidemment, les planètes ne sont pas mises sur une balance. Ce sont les mathématiques et les lois physiques qui nous permettent de connaître leur masse. Encore faut-il trouver des points de repère. C"est la troisième loi de Kepler qui permet d"effectuer ce calcul. Kepler avait trouvé que la force s"exerçant entre deux planètes dépend de leur masse et de leur distance, la constante de proportionnalité étant la constante de gravitation universelle. Que dit cette loi ? Elle nous apprend que le cube du demi grand axe "a" d"une orbite d"une planète est proportionnel au carré de la période de révolution "T" pour toutes les planètes du système solaire. Autrement dit, T² a³ est une constante.

Trouver la masse du soleil

Newton a ensuite étendu cette formule grâce à sa loi de gravitation universelle, soit T² a

3 = 4 p²

G(M

1 + M2), où G est la

constante de gravitation universelle G » 6,67×10-11 m3×kg-1×s-2, M1 la masse du soleil, et M2 la masse de la planète. Comme la masse des planètes est négligeable par rapport à celle du soleil, on peut considérer que M

1 » M1 +M2 , et en déduire la masse du soleil. Voilà pour le

Soleil.

1) Exprimer alors la masse la masse M1 en fonction des autres grandeurs :

Grâce à ses

satellites, on peut calculer précisément la masse d"une planète comme

Jupiter. Photo ©

NASA 2

2) Première application numérique

: estimer la masse du soleil. On rappelle que la distance moyenne Terre Soleil est de 149 000 000 km et que la période de révolution de la Terre autour du soleil est environ 365 jours. Attention : il faut exprimer les grandeurs dans les bonnes unités. A savoir : les distances en mètres et les durées en secondes. Calculer alors une valeur approchée de la masse du soleil : (Penser à utiliser les nombres en écriture scientifique et à obtenir un ordre de grandeur du résultat avant d"utiliser la calculatrice !)

Et pour les planètes ?

Il suffit de trouver des satellites tournant autour de la planète et de considérer ce système comme un "mini système solaire", la planète faisant office de Soleil et le satellite étant considéré comme planète. Pour mieux comprendre, nous allons prendre l"exemple de Jupiter. Ce dernier a quatre satellites principaux : Io, Europe, Ganymède, et Callisto. On suppose que leurs orbites sont à peu près circulaires. Europe tourne autour de Jupiter à une distance a de 671 000 km en une période T de 3,55 jours. On peut ainsi calculer la masse de Jupiter grâce à la formule précédente : M

J =4×?²×a

3

GT².

3) Deuxième application numérique : estimer la masse de Jupiter.

Soit M

J » ................................................................................................................................................

3 Avec la même méthode et le couple Terre - Lune, on peut estimer la masse de la

Terre.

M

T » 6×1024 kg

Donner un ordre de grandeur du rapport masse du Soleil sur masse de la Terre : M S

MT» ............................................................................................................................................................

Estimer de même les rapports

M S

MJ et MJ

MT. M S

MJ» ............................................................................................................................................................

M J

MT ».............................................................................................................................................................

Et une planète isolée ?

Là où les choses se corsent, c"est quand la planète en question ne possède pas de satellite (c"est par exemple le cas de Mercure et Vénus). Il reste alors trois possibilités. La première consiste à estimer la composition chimique de la planète, et d"en déduire sa densité. En multipliant ce résultat par sa taille on obtient une masse approximative. Cette méthode n"est pas vraiment fiable, car on ignore encore beaucoup de choses sur la matière qui compose les planètes, en particulier le coeur. Deuxième possibilité : analyser les petites variations de trajectoires que les planètes exercent entre elles, où la déviation qu"elles provoquent sur les orbites des satellites qui passent à proximité. Ces variations sont en effet directement liées à la masse des planètes. Mais là encore, ces mesures sont très délicates et peuvent prendre beaucoup de temps. Reste la solution la plus simple : envoyer un satellite artificiel et mesurer son orbite pour utiliser notre première méthode.

CORRECTION

4

Trouver la masse du soleil

1)

De la relation T²

a3 = 4 p² G(M

1 + M2) avec M2 négligeable devant M2, on obtient :

T² a

3 » 4 p²

GM 1 En effectuant les produits en croix : T²×G×M

1 = 4×?²×a3

D"où : M

1 = 4×?²×a

3

G×T²

2) Première application numérique : estimer la masse du soleil.

On a :

a » 149 000 000 km = 1,49×108 km = 1,49×1011 m T = 365 jours = 365 ×24 × 3600 s = 315360000

» 3,15×107 s

D"où : M

1 » 4×?²×(1,49×10

11)3 (3,15×107)²×6,67×10-11 M

1 » 1,97×1030 kg

Rapport masse du Soleil sur masse de la Terre

M S

MT» 1,97×10

30

6×10

24 » 328 000

3) Deuxième application numérique : estimer la masse de Jupiter.

On applique la relation M

J =4×?²×a

3

GT² avec :

a » 671 000 km = 6,71×105 km » 6,71×108 m

CORRECTION

5 T » 3,55 jours » 3,55 × 24 ×3600 » 306 720 s » 3,07×105 s

On obtient :

MJ ».4×?²×(6,71×10

8)3 (3,07×105)²×6,67×10-11 M

J » 1,9 × 1027 kg

Estimer de même les rapports

M S

MJ et MJ

MT. M S

MJ» 1,97×10

30

1,9×10

27 » 1000

M J

MT » 1,9×10

27

6×1024 » 300

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