[PDF] ÉQUATIONS POLYNOMIALES L'équation a deux solutions





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TP : Equations du 2 degré à coefficients complexes

On désire rechercher la racine carrée d'un nombre complexe donnée de manière La résolution d'une équation du second degré est maintenant très simple :.



Chapitre 4 - Les nombres complexes II : Résolution déquation

Résoudre l'équations Xn “ 1 et représenter les solutions dans le plan complexe. 1 Résolution dans C de l'équation du second degré.



Résolutions déquations

Résolutions d'équations. 1. Menu EQUATION : solutions réelles ou complexes .............. Erreur ! Signet non défini. 2. Equations du second degré ...



Les nombres complexes - Equations du second degré

Cette partie imaginaire permet d'envisager par exemple l'écriture de la racine carrée d'un nombre négatif ou même la résolution d'une équation du second degré 



NOMBRES COMPLEXES

Cet objet jouit du statut de nombre et est appelé nombre imaginaire. Une des conséquences de l'existence de i est que toutes les équations du second degré.





ÉQUATIONS POLYNOMIALES

L'équation a deux solutions complexes : = IMQ ?I et = IMI ?I . Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ?.



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Exercice 5 (Équations du second degré à coefficients complexes) Déterminer sous la forme x+iy avec x y réels les deux nombres complexes solutions de l'équation 



Algorithme PanaMaths ? Résolution de léquation du second degré

1 mai 2012 92 SI (DELTA<0) ALORS. 93 DEBUT_SI. 94 //Cas où le discriminant est strictement négatif. 95 //Calcul des deux racines complexes conjuguées. 96 ...



LEÇON N?17 : Équations du second degré à coefficients réels ou

Équations du second degré à coefficients réels ou complexes. 17.1.2 Une résolution géométrique. On souhaite résoudre l'équation x2 + 8x ? 9 = 0.



[PDF] Chapitre 4 - Les nombres complexes II : Résolution déquation

Dans ce chapitre on montre comment les nombres complexes permettent de résoudre des équations polynomiales de degré 2 y compris à coefficients complexes



[PDF] TP : Equations du 2 degré à coefficients complexes

degré à coefficents complexes La résolution d'une équation du second degré est maintenant très simple : En effet on peut démontrer facilement (à partir de 



[PDF] Nombres complexes Équations du 2ième degré à coefficients réels

Toute équation du 2ième degré à coefficients réels admet deux solutions distinctes ou confondues dans C az2 +bz+c=0 avec a?? * b?? c??



[PDF] Équations de degré deux trois et quatre - PAESTEL

Donner toutes les solutions de (S) à l'aide de u et v 5 Résolution de (E) : on calcule les racines (complexes) U et V de (E ); ensuite d 



[PDF] Equations du second degré

Les solutions de cette équation sont : 1 = ? et 2 = ? ? Démonstration : soit = + une solution complexe de l'équation 2 = ?  



[PDF] Nombres complexes Equations du deuxième degré

2a est double 3 Si ? < 0 : l'équation n'admet pas de solution On note S = ? ;



[PDF] NOMBRES COMPLEXES

Une des conséquences de l'existence de i est que toutes les équations du second degré admettent au moins une solution Exemple : résoudre l'équation x2 ?2x + 5 



[PDF] [PDF] Feuille 1

Exercice 5 - (Équations du second degré à coefficients complexes) Déterminer sous la forme x + iy avec x y réels les deux nombres complexes solutions de 



[PDF] Équations du second degré à coefficients réels ou complexes

On en déduit que l'équation f(x) = 0 n'admet aucune solution réelle ? 17 1 1 Interprétation géométrique Soit ? la plan euclidien orienté muni d'un repère 



[PDF] Les nombres complexes

Fichier pdf du cours en vidéo du même nom Les nombres complexes Equations du second degré Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations 

  • Comment résoudre une équation du 2eme degré dans C ?

    Afin de résoudre une équation du premier degré dans \\mathbb{C} comportant uniquement \\overline{z}, le complexe conjugué de z, comme inconnue, on isole l'inconnue \\overline{z} de manière habituelle, on résout l'inéquation puis on déduit la valeur de z à partir de celle de \\overline{z}.

  • Comment résoudre une équation dans C ?

    Inéquations du second degré (1)

    1Exemple de résolution d'inéquation du second degré.2étape 1 : On définit les coefficients a, b et c du polynôme ax²+bx+c.3étape 2 : on donne le signe de a; a = 1 est positif.4étape 3 : On calcule le discriminant et on calcule les racines: ? = b² -4ac = 6² - 4?? = 4.

  • Comment calculer l'équation du second degré ?

    L'équation générale (complexe) du quatrième degré a la forme suivante: az4+bz3+cz2+dz+e=0 où a,b,c,d,e ? ? et a ? 0. Remarquons qu'on peut tout de suite supposer que a=1 (en divisant les deux membres par a ? 0). Remarquons aussi qu'en rempla?nt l'inconnue z par z-b/4 le terme de degré 3 disparaît.
ÉQUATIONS POLYNOMIALES 1

ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Partie 1 : Équations du second degré dans ℂ Définition : Soit , et c des réels avec ≠0. On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté Δ, égal à -4.

Propriété :

- Si Δ > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions réelles distinctes : et - Si Δ = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution réelle : - Si Δ < 0 : L'équation ++=0 a deux solutions complexes conjuguées : et

Démonstration :

On met le trinôme sous sa forme canonique (Voir cours de la classe de 1

ère

2

-4

4

En posant Δ=

-4 : ++=0

2

4

≠0

2

4

- Si Δ > 0 :

2

3

4

2

3

4

2

2

2

2

L'équation a deux solutions réelles : et - Si Δ = 0 : L'équation peut s'écrire :

2

=0 L'équation n'a qu'une seule solution réelle : 2 - Si Δ < 0 : L'équation peut s'écrire :

2

4

=-1)

Donc :

2

3

4

2

3

4

4

>0)

2

2

2

2

L'équation a deux solutions complexes :

et Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ℂ

Vidéo https://youtu.be/KCnorHy5FE4

Résoudre dans ℂ les équations suivantes : a) +5=0 b) +3+4=0

Correction

a) +5=0 =-5 =5

Donc : =

5 ou =-

5

Les solutions sont donc

5 et -

5. b) On calcule de discriminant Δ du trinôme : Δ=3 -4×1×4=-7 Δ<0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : et 3 2 7 2 3 2 7 2 Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++ sont donnés par : =- et =

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que l'équation +5=0 possède deux racines : 5 et - 5.

Ainsi : =

5 -

5=0 et =

5×-

5D=5 En appliquant, les formules de la propriété, on retrouve ces résultats : 0 1 =0= 5 1 =5. z 2 +3z+4=0 3

Partie 2 : Équations de degré n dans ℂ

1) Définition

Définition : Une fonction polynôme (ou polynôme) est une fonction de ℂ dans ℂ de la

forme , où sont les coefficients réels de . L'entier est appelé le degré du polynôme . Propriété : Si une fonction polynôme est nulle, alors tous ses coefficients sont nuls.

2) Racine d'un polynôme

Définition : Soit un polynôme . Un nombre complexe s'appelle racine de si

=0.

Exemple :

Les nombres complexes et - sont les racines du polynôme +1. Théorème : Soit un polynôme définie par où est un entier supérieur ou

égal à 2.

Alors il existe un polynôme de degré -1, tel que

Démonstration au programme :

- Si =0 : C'est évident. - Si =1 :

On a :

+⋯++1 1 +⋯++1 +⋯++1

En soustrayant membre à membre, on a :

-1 +⋯++1 -1 - Si ≠0 quelconque : On remplace par / dans l'égalité ci-dessus : L -1MN +1O= -1

Soit en multipliant chaque membre par

Il existe donc un polynôme

de degré -1, tel que

Corollaire : Soit un polynôme de degré . Si est une racine complexe de , alors il existe

un polynôme de degré -1, tel que ()=

Démonstration au programme :

Comme est une racine complexe de , on a : =0.

Donc :

4 Or, pour tout compris entre 1 et , il existe un polynôme de degré -1, tel que :

Donc :

Il existe donc un polynôme de degré -1, tel que : Corollaire : Un polynôme de degré admet au plus racines.

Démonstration au programme :

Supposons que les nombres complexes

sont des racines deux à deux distincts du polynôme .

Alors il existe un polynôme

tel que : ()=

Or, 0=(

) et ≠0.

Donc

=0.

Ainsi, il existe un polynôme

tel que :

Et donc :

En continuant ainsi avec des polynômes

, on obtient :

D

On en déduit que le polynôme est de degré +é( Méthode : Factoriser un polynôme dont une racine est connue

Vidéo https://youtu.be/1Y-JtI6nNXU

Factoriser dans ℂle polynôme :

+4+4.

Correction

est un polynôme de degré 3, il admet au plus 3 racines.

On cherche une racine évidente de en testant des valeurs entières " autour de 0 ». On

peut tester également ou -. Il sera ensuite aisé de déterminer la ou les autres racines qui sont au plus au nombre de 2. On constate que =-1 est une racine évidente de : -1 -1 -1 +4 -1 +4=0 Donc, il existe un polynôme de degré 2, tel que : ()= +1

On a donc :

+4+4= +1 +4+4= +1 +4+4= +4+4=

Ainsi, en procédant par identification, on a :

Y =1 +=1 +=4 =4 soit Z =1 =0 =4 5

On en déduit que :

+4.

Or, il est possible de factoriser :

+4= -2 +2

En effet :

On a ainsi : ()=

+1 -2 +2

Méthode : Résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est

connue.

Vidéo https://youtu.be/KqghKmQ9gOk

Résoudre dans ℝ l'équation

-3+1=0.

Correction

On pose

-3+1.

On voit que =1 est une racine évidente de . Donc il existe un polynôme , de degré 2,

tel que : ()=(-1)().

On a donc :

-3+1=(-1)() -3+1=(-1)( -3+1= -3+1=

Ainsi, en procédant par identification, on a :

Y =1 -=1 -=-3 -=1 soit Z =1 =2 =-1

Donc :

-1 +2-1

L'équation

-3+1=0 peut s'écrire -1 +2-1 =0.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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