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Intégrale de Riemann

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannée

Sommaire

1Sommes de Riemann d"une fonction

Définitions

Exemples

2Intégrale de Riemann

Intégrabilité

Exemples

Propriétés

Formule de la moyenne

3Primitives

Théorème fondamental de l"analyse

Lien intégrale/primitive

Exemple de synthèse

Primitives des fonctions usuelles

Sommaire

1Sommes de Riemann d"une fonction

Définitions

Exemples

2Intégrale de Riemann

3Primitives

1. Sommes de Riemanna) Définitions

Définition 1.1 (Subdivision)

Soitaetbdeux réels tels quea Unesubdivisionde l"intervalle fermé borné[a;b]est une famillefiniede réels (x0;x1;:::;xn)telle que :a=x0Exemple 1.2 (Subdivision "équirépartie»)

La subdivisionéquirépartieest issue d"un découpageéquidistantde[a;b]enn intervalles de longueur identique=ban Les points de subdivision sont donnés parxk=a+kban ;06k6n(ils sont répartis selon une progression arithmétique de raison) : =a;a+ban ;a+2ban ;a+3ban ;:::;b:ax 0x 1x 2x 3:::x k1x kx k+1:::x n2x n1x nb 1

1. Sommes de Riemanna) Définitions

Définition 1.3 (Somme de Riemann)

Soitfune fonction définie sur[a;b],= (x0;:::;xn)une subdivision de[a;b], et = (1;:::;n)une famille de réels tels que :8k2 f1;:::;ng,k2[xk1;xk] (on dit alors que la familleestadaptéeà la subdivision). On appellesomme de Riemannde la fonctionfassociée àet àle nombre

S(f;;) =nX

k=1(xkxk1)f(k): Ce nombre représente l"aire de la réunion des rectangles de base[xk1;xk]et de hauteurf(k).xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2

1. Sommes de Riemannb) Exemples

Exemple 1.4 (Subdivision équirépartie)

Considérons une subdivision "équirépartie» avec comme choix deskune des bornes de chaque sous-intervalle :8 :x k=a+kban ;06k6n k=xk1ouxk;16k6n Les sommes de Riemann correspondantes s"écrivent :

S(f;;) =ban

n1X k=0f a+kban ouban n X k=1f a+kban xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3

1. Sommes de Riemannb) Exemples

Exemple 1.5 (Sommes de Darboux(facultatif))Soitfune fonctioncontinuesur[a;b],= (x0;:::;xn)une subdivision de[a;b].

Introduisons les valeurs "extrémales» relatives à chacun des sous-intervalles de:

8k2 f1;2;:::;ng;mk= min

[xk1;xk]fetMk= max [xk1;xk]f: Par continuité,fatteintses bornes : il existe donc des1k;2kdans[xk1;xk]tels que f(1k) =mketf(2k) =Mk. Les sommes de Riemann correspondant aux familles adaptées1= (11;:::;1n)et

2= (21;:::;2n)sont appeléessommes de Darboux:

S

1=S(f;;1) =nX

k=1m k(xkxk1)etS2=S(f;;2) =nX k=1M k(xkxk1):xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12x 13 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110
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Remarque :toutes les sommes de Riemann sont comprises entreS1etS2.4

Sommaire

1Sommes de Riemann d"une fonction

2Intégrale de Riemann

Intégrabilité

Exemples

Propriétés

Formule de la moyenne

3Primitives

2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité

Définition 2.1 (Intégrabilité)

Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que

8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "

on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 5

2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité

Définition 2.1 (Intégrabilité)

Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que

8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "

on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 5

2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité

Définition 2.1 (Intégrabilité)

Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que

8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "

on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 5

2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité

Remarque 2.2 (Notations/conventions)

La variable utilisée dans la notation de l"intégrale est ditemuette: Z b a f=Z b a f(x)dx=Z b a f(t)dt=Z b a f(u)du=Z b a f()d=

Le nombreZb

afreprésente l""aire algébrique» entre la courbe defdans un repère orthonormal et l"axe des abscisses, en comptantnégativementles parties au-dessousde l"axe etpositivementles partiesau-dessus.xf(x)ab+

Conventions : on convient queZ

a b f(x)dx=Z b a f(x)dxetZ a a f(x)dx=0.6

2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité

Théorème 2.3 (Exemples de fonction intégrable(admis)) Toute fonctioncontinuesur[a;b]estintégrablesur[a;b]. Plus généralement, toute fonctioncontinue par morceauxsur[a;b] (i.e. admettant un nombrefinide discontinuités, celles-ci étant de 1reespèce) estintégrablesur[a;b]. Plus précisément, en notantx1;x2;:::;xn1ses discontinuités et en posant x

0=aetxn=b, on peut prolongerfpar continuité sur chaque intervalle

[xk1;xk],k2 f1;:::;ng. Notons~fkce prolongement. AlorsZ b a f=nX k=1Z xk x k1~ fk:xf(x)x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 ab Remarquons que si l"on modifie la valeur d"une fonction continue par morceaux en un nombre fini de points, alors la valeur de son intégrale reste la même. Toute fonctionmonotonesur[a;b]estintégrablesur[a;b].7

2. Intégrale de Riemannb) Exemples

Exemple 2.4 (Fonctions constante, identité, exponentielle...) À l"aide de la somme de Riemann associée à une subdivisionéquirépartie,on trouve pour une fonction intégrable lim n!+1ban n X k=1f a+kban =Z b a f(x)dx:

Dans le cas d"une fonctionconstante,cela donne

82R;Z
b a dx= limn!+1ban n X k=1=(ba)(aire d"un rectangle!) Dans le cas de la fonctionexponentielle,cela donne Z b a exdx= limn!+1ban n X k=1e a+kban =ebea: Dans le cas de la fonctionidentité,cela donneZb a xdx= limn!+1ban n X k=1 a+kban =12 (b2a2)(aire d"un trapèze!)

Dans le cas de la fonctioncarré,cela donneZb

a x2dx= limn!+1bann X k=1 a+kban 2 =13(b3a3):8

2. Intégrale de Riemannb) Exemples

Exemple 2.5 (Fonction indicatrice deQQQ)Considéronslafonction"indicatrice»(ou"caractéristique»)deQ.Ils"agitdelafonction

Q:R!Q x7!(

1 six2Q

0 six=2Q

Soit une subdivision=(x0;:::;xn)d"un intervalle[a;b]de pas arbitrairement petit, =(1;:::;n)et0=(01;:::;0n)deux familles adaptées à la subdivisiontelles que

8k2 f1;:::;ng; k2Qet0k2RnQ:

Les sommes de Riemann correspondantes valent

S(?Q;;) =baetS(?Q;;0) =0:

Elles ne peuvent pas tendre vers une limite commune. Ainsi, la fonction indicatrice deQn"est intégrable suraucunintervalle[a;b].

Annexe (facultatif)

Entre deux réels distincts quelconques, il existe un rationnel et un irrationnel (en fait une infinité de chaque). On dit que les ensemblesQetRnQsontdensesdansR. En effet : soit(a;b)2R2tels queaPosonsun=E(na)+1n etvn=E(nap2)+1n p2 . Les nombresunetvnsont compris entreaetb, u nest rationnel etvnest irrationnel.] [[au nv nb1nb9

2. Intégrale de Riemannc) Propriétés

Proposition 2.6 (Opérations)

1Linéarité

Soitfetgdeux fonctions intégrables sur[a;b](a6b) et;2R.

La fonctionf+gest intégrable sur[a;b]et

Z b a (f(x) +g(x))dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx2Relation de Chasles

Soitfune fonction intégrable sur[a;b](a6b)

Pour toutc2[a;b],fest intégrable

sur[a;c]et[c;b]et Z b a f(x)dx=Z c a f(x)dx+Z b c f(x)dx ou encore Z c a f(x)dx=Z b a f(x)dxZ b c f(x)dxxf(x)abc Ces propriétés restent valables lorsqueb2. Intégrale de Riemannc) Propriétés

Proposition 2.7 (Parité)

Soitfune fonction intégrable sur[b;a][[a;b](06a6b).

Sifestpaire, alors

Z a bf(x)dx=Z bquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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