[PDF] CHAPITRE 5 INTÉGRALE DE RIEMANN

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CHAPITRE 5

INT

EGRALE DE RIEMANN

Ce chapitre suit de pres le polycopie de LM115 par Jean-Lin Journe.

5.1. Integrale d'une fonction en escalier

Dans toute cette section, on xea < bdansR.

Denition 5.1(Subdivisions). |1. Un esubdivisionde l'intervalle [a;b] est une famille nie de pointsa=x0<< xn=b. On ecrira simplement=fx0;:::;xng, ou il est entendu quea=x0<< xn=b. En fait, il faut penser a une subdivision comme a la suite des intervalles [xi1;xi] pouri= 1;:::;n, i.e. on subdivise le"grand»intervalle [a;b] en la reunion de ces"petits»intervalles [xi1;xi].

2. On dira qu'une autre subdivision0=fx00;:::;x0Ngestplus nequesi l'ensemble

fx0;:::;xngest contenu dans l'ensemblefx00;:::;x0Ng, c.-a-d. si chaquexiest unx0j(pour un indicejpouvant ^etre6=i). Ceci revient a dire que tout intervalle [x0j1;x0j] est inclus dans un intervalle [xi1;xi], i.e. que l'on a decoupe [a;b] en morceaux plus petits : c'est pour cette raison que l'on dit que0estplus neque. On ecrira alors0. Illustrons ceci par un exemple : x0x1x2x3x4-s s s s s

0x00x01x02x03x04x05x06x07x08x09-s s s s s s s s s s

3. Lepasd'une subdivision, notejj, est la longueur maximale des"petits»intervalles

[xi1;xi], i.e.jj= maxfxixi1ji= 1;:::;ng. On dit que la subdivision=fx0;:::;xngest reguliereoude pas constantsixixi1est constant, et donc egal a (ba)=n; dans ce cas on a jj= (ba)=netxi=a+i(ba)=npour touti= 0;:::;n. Remarque 5.2. |Soi ent=fx0;:::;xnget0=fx00;:::;x0Ngdeux subdivisions de [a;b]. On note[0la subdivision obtenue en prenant la reunion des ensemblesfx0;:::;xngetfx00;:::;x0Ng

et en rangeant les elements par ordre croissant; elle est plus ne queet que0. Par exemple :-s s s s s s-s s s s s s s-s s s s s ss s s

0 [0 Denition 5.3(Fonctions en escalier). |Soi tf: [a;b]!Rune fonction denie sur [a;b]. (i) On d itq uefesten escalier(sur [a;b]) s'il existe une subdivision=fx0;:::;xngde [a;b] tellefsoit constante sur chaque intervalleouvert]xi1;xi[, disons de valeurci. Noter que l'on n'impose rien a la valeurf(xi), qui peut ^etre distincte deciet deci+1. Par exemple, la fonction

58CHAPITRE 5. INTEGRALE DE RIEMANN

ci-dessous est en escalier (les points de la subdivision sont representes par desjet leurs images par des) :-6 s s s ss s (ii) S oientfune fonction en escalier et=fx0;:::;xngune subdivision de [a;b]. On dit que estassocieeaf, ou quefesten escalier sur, sifest constante sur chaque intervalle ouvert ]xi1;xi[. Remarquons tout de suite que dans ce cas, toute subdivisionplus ne queest aussi associee af. Denition 5.4. |Soi tfune fonction en escalier sur [a;b] et=fx0;:::;xngune subdivision de [a;b] associee af, i.e.fest constante sur chaque intervalle ]xi1;xi[, de valeurci. L'integrale defsur [a;b], noteeRb af, est denie par : Z b a f=nX i=1(xixi1)ci:() C'est donc la somme des aires algebriques des rectangles de basexixi1et de hauteurjcij, cette aire etant comptee positivement sici0 et negativement sici0. Ainsi, dans l'exemple

ci-dessous l'integrale est la somme des aires des rectangles gris clair moins celles des gris fonces :-6

s s s s s ss Avec cette interpretation geometrique, il est clair que la somme () ci-dessus ne depend pas de la subdivision associee, car si on subdivise un rectangle en rectangles de m^eme hauteur et de bases plus petites, l'aire algebrique du grand rectangle est la somme des aires algebriques des petits. C'est le cas dans l'exemple ci-dessus pour les deux rectangles gris clair. Notation 5.5. |P ourde uxapp licationsf;g: [a;b]!R, on ecrirafgsi l'on af(x)g(x) pour toutx2[a;b]. Theoreme 5.6. |SoitE(a;b)l'ensemble des fonctions en escalier sur[a;b]. (i)E(a;b)est unR-espace vectoriel. (ii)L'applicationE(a;b)!R,f7!Rb afest lineaire, et elle estcroissante, c.-a-d. sifg alorsRb afRb ag. Demonstration. |Soi entf;g2E(a;b) et2Ret soit(resp.0) une subdivision associee a f(resp.g). Alors la subdivision[0=fx0;:::;xngest associee a la fois afet ag, i.e.fetg sont constantes sur chaque intervalle ]xi1;xi[, de valeurs respectivescietdi, et doncf+gy est

5.2. FONCTIONS INT

EGRABLES AU SENS DE RIEMANN59

aussi constante, de valeurci+di. Ceci montre deja quef+gest en escalier, donc queE(a;b) est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel de toutes les fonctions [a;b]!R. De plus, on a Z b a (f+g) =nX i=1(xixi1)(ci+di) =nX i=1(xixi1)ci+nX i=1(xixi1)di=Z b a f+Z b a g:

Ceci montre que l'applicationE(a;b)!R,h7!Rb

ahest lineaire. De plus, sif0, i.e. si tous lescisont0, il est clair queRb af0. Sous l'hypothese que fg, on peut appliquer ceci a la fonction en escaliergf, qui est0; on obtient donc : 0Z b a (gf) =Z b a gZ b a f (l'egalite decoulant de la linearite, deja etablie). On a donc Rb afRb ag, ce qui acheve la demons- tration du theoreme.Proposition 5.7(Relation de Chasles). |Soientf: [a;b]!Retc2]a;b[. Alors : (i)fest en escalier sur[a;b]si et seulement sifest en escalier sur[a;c]et sur[c;b]. (ii)Dans ce cas, on aR b af=Rc af+Rb

cf.Demonstration. |C' estcl air.Notation 5.8. |Soi tJun intervalle deRetfune fonction en escalier surJ. Pour touta < b

dansJ, on a donc deni l'integraleRb af. Il est commode de poser aussiR a bf=Rb af. Alors Rb afest deni pour tout couple (a;b) de points deJ(et vaut 0 sia=b) et a partir de la relation de Chasles etablie poura < b < c, on verie facilement que pour tout triplet (a;b;c) deJon a la relation de Chasles"generalisee»:R c af=Rb af+Rc bf.5.2. Fonctions integrables au sens de Riemann Avant de pouvoir denir l'integrale d'une fonction continue sur [a;b], on a besoin des notions techniques d'integrales inferieure et superieure, introduites dans la denition suivante. Denitions 5.9. |Soi tfune applicationborneede [a;b] dansR. Alors, il existem;M2R tels quemf(x)Mpour toutx2[a;b] (on peut, si on veut, prendre pourm(resp.M) la borne inferieure (resp. superieure) de l'ensemble desf(x) pourx2[a;b]). On denit alors :

(i)E(a;b;f) =fg2E(a;b)jgfgetE(a;b;f) =fh2E(a;b)jfhg.Ces ensembles sont non vides, car le premier (resp. second) contient la fonction constante de valeurm

(resp.M). Alors, pour toutg2E(a;b;f) eth2E(a;b;f) on agfhet doncRb agRb ah.

Gardanthxe et faisant varierg, on en deduit que :

(ii)

L' ensemblenon v idefRb

agjg2E(a;b;f)gest majore, donc admet une borne superieure noteeI (a;b;f).Elle estRb ahpour touth2E(a;bf). Faisant alors varierh, on obtient que : (iii)

L' ensemblen onvi defRb

ahjh2E(a;b;f)gest minore, donc admet une borne inferieure noteeI +(a;b;f).Elle estI(a;b;f). (iv)I(a;b;f) (resp.I+(a;b;f)) s'appelle l'integraleinferieure(resp.superieure) defsur [a;b].On les notera simplementI(f) etI+(f) lorsqu'il ne sera pas necessaire de preciseraetb. (v) P ard enitiond esb ornesi nferieuree tsu perieure,on a don c: p ourt out" >0, il existe g2E(a;b;f) eth2E(a;b;f) tels que I (a;b;f)" 60CHAPITRE 5. INTEGRALE DE RIEMANN Denition et proposition 5.10(Fonctions integrables). |Soitfune applicationbornee de[a;b]dansR. (i)Les conditions suivantes sont equivalentes : (1)I(a;b;f) =I+(a;b;f). (2)Pour tout" >0, il existeg2E(a;b;f)eth2E(a;b;f)tels que0Rb a(hg)< ". (ii)Sous ces conditions, on dit quefestintegrable(au sens de Riemann) sur[a;b]et l'on poseRb af=I(a;b;f) =I+(a;b;f). Demonstration de(i).| S upposonsI(a;b;f) =I+(a;b;f) et notons-leI; alors, par denition des bornes inferieure et superieure, pour tout" >0, il existeg2E(a;b;f) eth2E(a;b;f) tels que I"2 0, d'ou I +(a;b;f) =I(a;b;f).Commencons par etablir la propriete suivante des fonctions integrables : Proposition 5.11. |Sifest integrable sur[a;b], elle l'est sur tout intervalle[c;d]contenu dans[a;b]. Demonstration. |Soi t" >0. Il existeg2E(a;b;f) eth2E(a;b;f) tels que 0Rb a(hg) < ". Or, d'apres la relation de Chasles et le fait quehg0, on a Z b a (hg) =Z c a (hg) |{z} 0+Z d c (hg) +Z b d (hg) |{z} 0Z d c (hd) d'ou 0Rd

c(hg)< ". Ceci prouve quefest integrable sur [c;d].An de montrer que toute fonction continue sur [a;b] est integrable, on aura besoin des deux

proprietes qui suivent des integrales inferieure et superieure. Proposition 5.12(Relation de Chasles pourIetI+). |Soitfune application bornee de[a;b]dansRet soitc2[a;b]. AlorsI(a;b;f) =I(a;c;f) +I(c;b;f)et de m^eme pourI+. Demonstration. |Rem arquonsd 'abordqu eI(c;c;f) = 0, donc l'egalite est trivialement vraie sic=aouc=b. On peut donc supposerc2]a;b[. Soitg2E(a;b;f). Notonsg1etg2les

restrictions dega [a;c] et [c;b], ce sont des fonctions en escalier. Utilisant la relation de Chasles

pour la fonction en escalierg, on obtient donc : Z b a g=Z c a g 1+Z b c g

2I(a;c;f) +I(c;b;f)

d'ouI(a;b;f)I(a;c;f) +I(c;b;f). Reciproquement, soientg12E(a;c;f) etg22E(c;b;f), posonsg(x) =g1(x) six2[a;c] etg(x) =g2(x) six2]c;b]. Alorsgest en escalier sur [a;b] et veriegf. On a donc : Z c a g 1+Z b c g 2=Z b a gI(a;b;f): Fixantg2et prenant le sup surg1, on obtientI(a;c;f)I(a;b;f)Rb cg2, d'ouRb cg2 I (a;b;f)I(a;c;f). Prenant le sup surg2, on obtient alorsI(c;b;f)I(a;b;f)I(a;c;f) d'ouI(a;c;f)+I(c;b;f)I(a;b;f). Combine avec l'inegalite obtenue plus haut, ceci prouve queI(a;c;f) +I(c;b;f) =I(a;b;f). La demonstration pourI+est analogue.

5.2. FONCTIONS INT

EGRABLES AU SENS DE RIEMANN61

Proposition 5.13(Encadrements pourIetI+). |Soitfune application bornee de[a;b](Q)dansRet soientm;M2Rtels quemf(x)Mpour toutxdans l'intervalleouvert ]a;b[.(1)

Alors on a :

(?)(ba)mI(a;b;f)I+(a;b;f)(ba)M.Demonstration. |Soi tg(resp.h) la fonction en escalier sur [a;b] denie parg(a) =f(a) =h(a),

g(b) =f(b) =h(b) etg(x) =m(resp.h(x) =M) pour toutx2]a;b[. Alorsg2E(a;b;f) et h2E(a;b;f) et donc : (ba)m=Rb agI(a;b;f)I+(a;b;f)Rb

ah= (ba)M:Remarque 5.14. |Le si ntegralesin ferieureet su perieuren es ontp asl ineaires: p ourd euxa pplicationsb ornees

f;g: [a;b]!Ron peut montrer queI(f) +I(g)I(f+g) etI+(f+g)I+(f) +I+(g), mais ces inegalites peuvent ^etre strictes. Par exemple, sif;g: [0;1]!Rsont denies parf(x) = 1 six2Qetf(x) = 0 sinon, et g(x) = 1f(x), alors on verie queI(f) = 0 =I(g) etI+(f) = 1 =I+(g), tandis queI(f+g) = 1 =I+(f+g). Le theoreme suivant peut ^etre appele"theoreme fondamental du calcul integral», m^eme si l'on reserve d'habitude cette terminologie au cas particulier oufest supposee continue. On le signale comme question de cours"avancee», mais en fait il sera susant d'apprendre l'enonce pourf continue.

Theoreme 5.15. |Soitfune application bornee de[a;b]dansR. On suppose qu'en tout point(Q+)x2]a;b[,fpossede unelimite a gauche, noteef(x), et unelimite a droite, noteef(x+). Alors :

(i)fest integrable sur[a;b]. (ii)L'applicationF: [a;b]!R,x7!Rx afest continue sur[a;b], nulle ena, et pour tout x2]a;b[,Fest derivable a gauche et a droite enx, de derivee a gauchef(x)et de derivee a droitef(x+). (iii)Sifpossede une limite a droitef(a+)ena, alorsFest derivable a droite enade derivee a droitef(a+), et de m^eme sifpossede une limite a gauchef(b)enb. Pour demontrer ce theoreme, on a besoin du lemme suivant : Lemme 5.16. |Sous les hypotheses du theoreme, posonsF(x) =I(a;x;f)etF+= I +(a;x;f)pour toutx2[a;b]. Alors : (i)F(a) = 0 =F+(a). (ii)Pour toutx2]a;b[,FetF+admettentf(x)(resp.f(x+)) comme derivee a gauche (resp. a droite) enx. (iii)FetF+sont continues sur[a;b]. Demonstration. |( i)d ecouled esd enitions.Pr ouvons( ii).F ixonsx02]a;b[ et" >0. Comme lim x!0 tel que pour toutx2]x0;x0[ on aitf(x0)" < f(x)< f(x0) +"et donc d'apres la proposition 5.13 on a (1) (x0x)(f(x0)")I(x;x0;f)I+(x;x0;f)(x0x)(f(x0) +"): Or, d'apres la relation de Chasles (prop. 5.12), pour toutx2[a;x0[ on a : F (x0)F(x) =I(a;x0;f)I(a;x;f) =I(x;x0;f) et de m^eme pourF+. Donc (2) se recrit en : f(x0)"F(x0)F(x)x

0xF+(x0)F+(x)x

0xf(x0) +"

et ceci entra^ne queFetF+admettentf(x) comme derivee a gauche enx0. On montre de m^eme qu'elles admettentf(x+) comme derivee a droite enx0. Ceci prouve (ii).(1)

Les valeursf(a) etf(b) n'ont pas d'importance.

62CHAPITRE 5. INTEGRALE DE RIEMANN

En particulier,FadmetF(x0) comme limite a gauche et a droite enx0, donc est continue en x

0, et de m^eme pourF+. Reste a montrer queFetF+sont continues a droite enaet a gauche

enb. Or il existem;M2Rtels quemf(x)Mpour toutx2[a;b], d'ou m(xa)I(a;x;f)I+(a;x;f)M(xa): Or, d'apres la relation de Chasles (prop. 5.12),I(a;x;f) =F(x)F(a) et de m^eme pour I +, et donc les inegalites ci-dessus montrent queFetF+sont continues a droite ena. Leur

continuite a gauche enbse prouve de facon analogue. Le lemme est demontre.Demonstration du theoreme. |P ourt outx2[a;b], posonsG(x) =F+(x)F(x). AlorsG(a) =

0,Gest continue sur [a;b] et en tout pointx2]a;b[,Gest derivable a gauche enxde derivee a

gauche nulle, et aussi derivable a droite enxde derivee a droite nulle. Donc,Gest derivable en tout pointx2]a;b[, de deriveeG0(x) = 0. Il resulte alors du theoreme des accroissements nis queGest constante sur [a;b], de valeurG(a) = 0. Donc 0 =G(b) =I+(a;b;f)I(a;b;f). Ceci prouve quefest integrable sur [a;b]. De plus, la demonstration donne aussi que pour toutx2[a;b], on a 0 =G(x) =F+(x)F(x), ce qui prouve queF+=Fet quefest integrable sur [a;x]. (Ceci decoule aussi de la prop.5.11.) Donc la fonctionF: [a;b]!R,x7!Rx af=F(x) =F+(x) est bien denie, et d'apres le lemme precedent elle est continue sur [a;b], nulle ena, et en toutx2]a;b[ elle est derivable a gauche de derivee a gaucheF0g(x) =f(x) et derivable a droite de derivee a droiteF0d(x) =f(x+), et l'on a aussiF0d(a) =f(a+) (resp.F0g(b) =f(b)) si la limitef(a+) (resp.f(b)) existe. Le theoreme

est demontre.Dans le cas particulier oufest continue sur [a;b] (donc bornee sur [a;b]), on obtient le :

Theoreme 5.17(fondamental du calcul integral). |Soitfune applicationcontinuede(Q)[a;b]dansR. Alors : (i)fest integrable sur l'intervalle[a;x]pour toutx2[a;b]et la fonction denie parF(x) =Rx afest une primitive defsur[a;b]. C'est l'unique primitive defsur[a;b]s'annulant ena. (ii)PourtouteprimitiveGdefsur[a;b], on aG(b)G(a) =Rb af. Demonstration. |La p remierepar tied e(i )a d eja eted emontree,don cFest bien une primitive defsur [a;b] telle queF(a) = 0. SiGest une autre primitive defsur [a;b], alorsGF est derivable sur [a;b] de derivee nulle, donc est une constantec, d'ouG(x) =c+F(x) pour toutx2[a;b]. Par consequent, siG(a) = 0 =F(a), alorsc= 0 doncG=F; de plus, on a

G(b)G(a) =F(b)F(a) =F(b) =Rb

af. Ceci acheve la preuve de (i) et de (ii).Donnons maintenant quelques proprietes des fonctions integrables (qui auraient pu ^etre enon-

cees et demontreesavantle theoreme fondamental).

Theoreme 5.18. |SoitI(a;b)l'ensemble des fonctions integrables[a;b]!R.(Q)(i)I(a;b)est unR-espace vectoriel.

(ii)L'applicationI(a;b)!R,f7!Rb afest lineaire, et elle estcroissante, c.-a-d. sifg alorsRb afRb ag. (iii)Sif2 I(a;b)alors l'applicationjfj:x7! jf(x)jest integrable, et l'on aRb afRb ajfj. Demonstration. |Soi entf;g2 I(a;b). Pour tout" >0 il existe des fonctions en escaliers r;u;v;wsur [a;b] telles querfu,vgwet ()Z b a rZ b a fZ b a u Alorsr+vf+gu+wet l'on aRb a(u+wrv) =Rb a(ur)+Rb a(wv)< ". Ceci prouve quef+gest integrable. De plus, d'apres la linearite de l'integrale pour les fonctions en escalier et les encadrements () plus haut, on a : "+Z b a f+Z b a g 5.2. FONCTIONS INT

EGRABLES AU SENS DE RIEMANN63

On a donc

Rb a(f+g)Rb afRb ag< "pour tout" >0, d'ouRb a(f+g)Rb afRb ag. Soit maintenant2R. Si= 0 alorsfest la fonction nulle, qui est integrable, donc on peut supposer6= 0. Alors, pour tout" >0 il existe des fonctions en escaliersr;usur [a;b] telles que rfuetZb a rZ b a fZ b a u Si >0, on arfuetRb a(ur)< ". Ceci montre quefest integrable. De plus, "+Z b a f < Z b a r=Z b a rZ b a fZ b a u=Z b a u < "+Z b a f:

On a donc

Rb afRb af< "pour tout" >0, d'ouRb af=Rb af.

Enn, si <0, on a aufretRb

a(ru)< "et le reste de la demonstration est analogue a ce qui precede. Ceci prouve queI(a;b) est unR-espace vectoriel et que l'application

I(a;b)!R,f7!Rb

afest lineaire. Montrons qu'elle est croissante. Sih2 I(a;b) est0, elle est minoree par la fonction constante

0 et doncRb

ah0. Maintenant, soientf;g2 I(a;b) telles quefg. Alorsh=gfest0 et appartient aI(a;b) d'apres ce qui precede. On a donc 0Rb a(gf) =Rb agRb af, d'ouRb afRb ag. Ceci acheve la preuve de (ii). Prouvons (iii). Soitf2 I(a;b). Pour toutx2[a;b], posonsf+(x) = max(f(x);0) etf(x) = max(f(x);0); alors on af=f+fetjfj=f++f. Montrons quef+etfsont integrables. Soit" >0. Il existeu;ven escalier sur [a;b] telles queufvetRb a(vu)< ". Alorsu+et v +sont en escalier et l'on au+f+v+et v +(x)u+(x) =8 :v(x)u(x) siu(x)0 v(x)< v(x)u(x) siv(x)0> u(x)

0v(x)u(x) si 0> v(x)u(x)

donc 0Rb a(v+u+)Rb a(vu)< ". Ceci prouve quef+est integrable, et la demonstrationquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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