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4 Utilisation de cet algorithme Nous avons démontré que P(x)=(x ? x0)Q(x) + P(x0) où Q(x) est le polynôme obtenu avec l'algo- rithme de Hörner
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16 jui 2006 · La méthode de Horner est l'algorithme le plus classique pour évaluer un polynôme en un point Son comportement numérique sur les nombres
Comment faire la méthode de Horner ?
qui est appelée méthode de Horner. Un élément de la ligne inférieure s'obtient en multipliant l'élément qui le préc? par le nombre figurant dans la première colonne, en pla?nt le résultat dans sa colonne et en effectuant la somme de deux premiers nombres de la colonne.Comment utiliser la méthode Horner ?
La méthode de Horner consiste à combiner les deux itérations précédentes en une seule en effectuant le calcul comme suit : . Le nombre de produits est alors réduit à n et l'on peut montrer que ce nombre est minimal : il n'est pas possible d'évaluer une fonction polynomiale en moins de n produits en toute généralité.Comment évaluer un polynôme ?
La méthode de Horner est l'algorithme le plus classique pour évaluer un polynôme en un point. Son comportement numérique, sur les nombres flottants en tenant compte des erreurs d'ar- rondi, est relativement bien compris, et il s'av`ere qu'en termes de précision, ce schéma semble satisfaisant.16 jui. 2006- Cette méthode permet de calculer l'image d'un polynôme P en un point x o x_o xo. En outre, elle permet d'obtenir la division euclidienne de P ( x ) P(x) P(x) par ( x ? x o ) (x-x_o) (x?xo), utile pour la factorisation des polynômes.
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POLYNOMES : METHODE DE HORNER
Un polynôme P = an.xn + an-1.xn-1 +...+ a2.x2 + a1.x + a0 est déterminé par la liste (a0, a1,...an-1 , an) de ses coefficients.1)Saisir le degré n d'un polynôme P, ses coefficients, et l'afficher sous la forme :
P = an.xn + an-1.xn-1 +...+ a2.x2 + a1.x + a0
2)Saisir une valeur de x et calculer la valeur du polynôme P en x, valeur que l'on note P(x).
réécriture) :an.xn + an-1.xn-1 +...+ a2.x2 + a1.x + a0 = a0 + x ( a1 + x (...( an2+ x ( an1+ x an ))...))
Quelle relation existe-t-il entre le degré n du polynôme stocké et la taille utile du tableau?
3)Soit 2 polynômes P et Q, dont les coefficients sont déjà saisis et dont les degrés respectifs sont donnés
par des variables p et q. Selon les valeurs des coefficients, quel sera le degré de P+Q ?4)Calculer la somme des polynômes P(x) + Q(x), ainsi que le degré de ce polynôme.
5)Calculer le polynôme dérivé P' d'un polynôme P.
6)Calculer le polynôme intégral P d'un polynôme P (c'est à dire le polynôme P tel que P ' = P),
sachant que P (0) = K, K étant une valeur réelle arbitraire.Indication: le type Polynome est défini et les fonctions sont déclarées de la manière suivante:
typedef struct polynome long double * a; // tableau des coefficients long n; // degre } Polynome;void saisirPolynome(Polynome * P); void afficherPolynome(Polynome P); long double Horner(Polynome P, long double x); void sommePolynome(Polynome P, Polynome Q, Polynome * S); void derivePolynome(Polynome P, Polynome * Pprim); void integralPolynome(Polynome P, Polynome * Pintegral);L'algorithme de la méthode Horner est implanté de la manière suivante pour un polynôme représenté par un tableau
pour ses coefficients et un entier pour son degré: long double Horner(long double P[], long n, long double x) long i; long double r = P[n]; for(i = n - 1; i >= 0; i--) r = r*x + P[i]; return r; La complexité de l'algorithme de Horner est en O(n).La sortie attendue est la suivante:
SAISIE DU POLYNOME P
degre : 5 coefficient a0 : 3 coefficient a1 : 2 coefficient a2 : 1 coefficient a3 : 3 coefficient a4 : 4 coefficient a5 : 3 POLYNOME P DE DEGRE 5 : (3.00, 2.00, 1.00, 3.00, 4.00, 3.00)Methode de Horner : calcul de P(X) pour X : 7
P(7.00) = 61120.00
SAISIE DU POLYNOME Q
degre : 8 coefficient a0 : 8 coefficient a1 : 8 coefficient a2 : 8 coefficient a3 : 3 coefficient a4 : 3 coefficient a5 : 3 coefficient a6 : 3 coefficient a7 : 3 coefficient a8 : 32 POLYNOME Q DE DEGRE 8 : (8.00, 8.00, 8.00, 3.00, 3.00, 3.00, 3.00, 3.00, 32.00)CALCUL DU POLYNOME S = P+Q
POLYNOME P DE DEGRE 5 : (3.00, 2.00, 1.00, 3.00, 4.00, 3.00) POLYNOME Q DE DEGRE 8 : (8.00, 8.00, 8.00, 3.00, 3.00, 3.00, 3.00, 3.00, 32.00) POLYNOME S = P+Q DE DEGRE 8 : (11.00, 10.00, 9.00, 6.00, 7.00, 6.00, 3.00, 3.00, 32.00)CALCUL DU POLYNOME DERIVE P' DU POLYNOME P
POLYNOME P DE DEGRE 5 : (3.00, 2.00, 1.00, 3.00, 4.00, 3.00) POLYNOME P' DE DEGRE 4 : (2.00, 2.00, 9.00, 16.00, 15.00)CALCUL DU POLYNOME INTEGRAL DU POLYNOME P
POLYNOME P DE DEGRE 5 : (3.00, 2.00, 1.00, 3.00, 4.00, 3.00) POLYNOME INTEGRAL DE DEGRE 6 : (0.00, 3.00, 1.00, 0.33, 0.75, 0.80, 0.50)quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] polynome scindé a racines simples
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