[PDF] Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

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Coursdethéorie des

probabilités avecexe rcicescorrigésetdevoirs

Licencedemathémat iques, 3

i`eme année

BrunoSausse reau

1

Annéeuniver sitaire2013-2014

1 BrunoSaussereau, LaboratoiredeMathématiquesdeB esançon,UFRSciences&Techniques,1 6, routedeGray,25 030Bes ançoncedex,Fra nce.Courriel:br uno.saussereau@univ-fcom te.fr iPrésentationducours

Présentationducours

Cecours correspond àl'unitéd'enseignementdethéoriedesproba bilitésdisp enséedanslecadre

dusemestr e5del'enseignementàdistance delaLicence deMat hématiques. Ladi usiondececourse ststri cteme ntlimitéeauxétu diantsré gulièrementinscritsàl'unité d'enseignementcor respondanteduCentredeTélé-enseignementUniversitaire.

Publicvisé

Cetenseignementpa rco rrespondances' adresseenprioritéauxétudiantsdésir euxdepoursuivre desétudes deMasteren vuedela recherche,depasserleconcours del'agr égation ex ter nede mathématiquesouàceuxquisedestinentàdes étudesde mathéma tiquesa ppliquéesen vue dedeveniringénieur s-mathéma ticiens.

Pré-requisetrévisions

Cecours nesupposeaucun pré-r equissurlefor malismedesproba bilités.Toutleformalismeet levoca bulairedesprobabilitésestdéfiniet introduit aufuretàmesuredesbesoins.Ilsuppose

justeunesensibilisation aux phénomènesaléatoiresetàleur étudeélémentaire telle qu'elleest

enseignéedepuisquelques annéesa ulycée etdanslesemest re4delaLicence.P ourunera pide miseànivea usurl'a pprocheéléme ntai redesprobabilitésonpeutserep orterauxdeuxouvrages classiques[11]et[12].Certains desexercicespropo sésdanscette unitésont inspirésdeces deuxouvra gesmoyennantquelquesada ptationsdevocabulaireduesa ufor malismeintroduit danslecour s. Enreva nchececourssupposeconnusles conceptscla ssiquesdelathéo riedelamesure et del' intégration,diteintégraledeLebesgue.Cesconceptsserontsouventrappelésdansce coursdefa çonàrendre salectureaut onome.Cesrésult at sseronténoncéssousleurversion la plusutile pourlesapplica tionsenproba bilités,ils serontadmisetneferontdoncpasl'objet d'unedémonstr ationsaufcasparticuliers.Pourleurver siongénéraleetleur sdémonstrations, onpour rasereporteràl' ouvra ge[8].

Outrecesrésu ltatsspéc ifiques,lecoursnécessiterala connaissancederésultatsetdete chniq ues

classiquesdemat hématiques générales.C'estdoncl'occasion,dèsmaintenant,de réviser égalementcesnotions mathéma tiquesindispensablesqui serontsupposéesconnues.Acet e et,onpour rasere porteràuncourscla ssique demathématiquesgénérale s,p arexe mple [1],larg ementsu"santpo urrevoircesnotions.Ils'ag itenparticulierdebien connaître T

Besan¸con

iiThéoriedesprobabil ités,Bruno Saussereau,2013-2014,version10/01/2014

1.lesnotions etrésultats élémentair esdelathéoriedesensembles:ensembles,part iesd'un

ensemble,inclusion, appart enance,partitiond'unensemble,intersectionetréunionde plusieurssous-ensembles,di érencededeuxsous-e nsemb les,compléme ntaired'unsous- ensemble,applica tions,bijections,image-réciproqued'uneapplic ation,opéra tionssurles applications,compositiondedeuxappl ications,...

2.leséléments dethéoriede lamesur eetdel'intégraledeLeb esgue

3.lecalcul dessommesdeséries: sériegéomé trique, série exponentielle,dériv ation des

sériesentières, ...

4.quelquesélémentsd'algèb regénéraleetmultilinéai reendimensionfinie:binômede

Newton,nombre decombinaisons,espacesvectoriels, pro duitscalaireeuclidien, norme euclidienne,calcul matriciel,transp oséd'unematrice,opérat ionsélémentairessurles matrices,diagonalisationd'une matricesymétrique,...

Conseilsdetravail

Lecours proprementditcomprendradesdéfin itions,de spropositions(théorèmes,lemme s, formules,...),desdémonst rations, desexemples etdesexercicescorrigés.Lesdémonstrations doiventêtr econnues,ellessontexigibleslors desépr euvesd'évalua tion. Lesdémonst rationsdéveloppéesdanslecours sontchoisiesen fonctionde l'intérêtpéda - gogiquedur aisonnement qu'ellesmettentenoeuv re.Ilfautlesétudier, crayonenmain,es sayer delesr efair eenmettantenévidencelesdeuxou trois axesdeladémonstrationqu'ilconvient deret enirpourêtrecapa bledelarestit uersansdocument.C'estàce critèrequevouspour rez mesurersivous avezcomp risquelquechose. Ilestconseilléausside bienmettreen évidence danscesdémon stration s,enlesénonçantcomplètementetenvérifiantqueleu rshyp othèses devalidit ésontsatisfaites, lesrésult atsantérieurssurlesquelsellesprennentappui.Cert aines démonstrationserontdétaillées,d'autre sserontvolontairem entplussuccinctesafindevous entraîneràdétaillerpa rvous-même lespassagesrapidesdeladémonstration. Lesexemple sducour sserventàillus trerunedéfinitionsurun cas particulierouàmontrer uneapplica tionconcrèted'uneproposition. Leurrédactionestaussi parfois volontairementsuc-

cincte.Ilconvientalo rsd'en détaillerlescalculs,dev érifierlesrésult atsannoncés, etd'essayer

denoter lesastucesout echniquesutili séesettransposables dansd'a utressituat ions,éventuelle- mentmoy ennantcertainesadaptations.Ce quiestditpourlesexemplesest aussivalablepour touslesexerc icespropos ésenauto-correctionetleursc orrigés.

Lesexercic essontdivisés endeuxcatégor ies:

1.Lesexercic esdelapremièrecatégoriesontlesex ercices insérésdansletexte ducours

proprementdit.Ilssontasse zsimplesets ontconçus commedesapp licationsdirect esdu coursetde cequivient d'ê trevu.

2.Lesexercic esdelasecondecatégorie,di tsderévisio n,sont placésenfindechaque

chapitreàpartirdu chapitre III.Ilssont,quantà eux,dedi cultésvariables etfontappel auxdivers esnotionsmisesenpl acedansleschapitresantérie ursycomprislechap itre

étudié.

T

Besan¸con

iiiPrésentationducours Vousdeveze ssayerdechercher àrésoudrelemaxi mumd'e xercices,envousaidantdu cou rs. Pourlesexe rcicesque vousnesavezpasrésoudreouqu evousn'a vezpaspucher cher,p ar exemplepar manquedetemps,il fautaumoinsét udierleurssolut ionsenvousrepo rtant au chapitreVIII.

Cequia été dit,plus haut,pourl' étudedesdémonstr ations s'appliqueégalementpourét udier

lacorrec tiond'unexercice.Encoreunefois,aprèsavoirétudiéunedémonstrationoula solutiond'unexe rcice,v ousdevezêtrecapablederefa irecettedémonst rationou cetexercice, sansregar derlecours,troisouquatre joursplus tard.C'estlà unbontestpoursa voirsi vous avezcomp risladémonstrationoula solutio ndel'exercice.Ilnefautpashésiter àréviser les

chapitresdéjàtravaillésc'est -à-direà revenirplusieursfois,aprèsdelongsinterva llesdetemps,

surlesdémonst ra tionsouexercicesétudiésauparava nt. Troisdevoirsàré digeretàretourneràl aco rrectionsontpr oposésdanslecadredecet enseignementafindevouspermettredetes tervos connai ssancesetde vousinciteràuntravail régulier.Cesdevoirspermettentau ssidemo ntreraucorrecteurque vousavezcomprisl ecours, quevousconna issezles résultatsvusencour setles hypothèsesquilescommandent,etque voussavezles mobiliser pourrépondre àunequestionoudémontrerunrésultatnouveau.Il est doncrecomma nderdetoutmettre enoeuvr epouratt eindrecetobjectif. Ilestb ondep ortersonat tention, enparticulier,surlesconseilssuivants : Unde voirdemathématiques estund evoirdefrançaisquitraitedemathématique s,c'estdonc

avanttoutu ntextedefrançai s.Ildo itdon cêtrerédi géedefaçoncorrecteenf rançais.Le s

hypothèsesspécifiquesjustifiantl' utilisationdechaquethéorèm edoiventêtrecorrectemen tex-

plicitéesetlerésultatducou rsutil isédoi têtreclairementidentifiév oireex plicitementéno ncé.

Lesrésul tatsintermédiairesetles conclusionsobtenuesdoiventêtre misen évidence.Lesnota- tionsutilisée souintroduites,surtoutsielles sontn ouvellesparrapportaucours,doiventê tre clairementannoncées.La rédactionducoursp eutêtre considéréecommeunguidederédaction d'untext emathématique. Lesépreuve sd'examencomporterontdesexercicesetdesquestionsp orta ntsurl'ensemble ducours. Ellespeuventégalementcomp rendre desquestionsdecour sproprement dites:énon- cerunou plusieursrésult ats ducours,refa ireuneouplusieursdémonstrationsvuesencours, traiterunexemp leouun exercicecorrigéproposé sdansle sdocum entsfournisdanslecadre de cetteunitéd'enseignement.La tabledelaloi normalestanda rddel'a nnexeB(sanslesexpli ca- tionssursonu tilisation),ai nsiquelef ormulairedel'annexeA,serontdisponiblesaveclessujets

lorsdesépreuves d'évalua tion.Lorsdecesépreuv es,l'utilisationd'unecalculatriceesta utorisée.

Certainespropositionsdu coursconcernentdesrésultatsmentionnés"horspr ogramme". Ils sontsimplementdonnés dans unbut deculturemat hématique, maisneferontdonc pasl'objet d'évaluationetleurconnaissancen'estpas exigibledans lesévalua tions.Souventilsappor tent descompléments oudesprécisi onssurun résulta touuneremarquequiviennentd'êtr efait s. Enfin,ilestév identq uel'appré ciationd'unecopiepar lecorrect eur,quecesoitcelled'un devoiroud'une épreuve d'e xamen,accordera uneplaceimportanteàlarédaction,àla clarté desjusti ficationsetdel'argumentationainsiqu'à laprés entati onglobaledelacopie.Unecopie illisibleou malr édigéepourra nepasêtrecorr igéeetserasanctionnéeenconséquence. T

Besan¸con

ivThéoriedesprobabil ités,Bruno Saussereau,2013-2014,version10/01/2014

Annexes

Cedocument comprendcinqa nnexes:

danslescal culsdep robabilitésetdesloisdep robabilit ésclassiquesàconnaître.Ce formulaireseradisponiblelorsdes épreuvesde contrôlesoud'examens. réduitereproduiteenfind el'annexe.Latabledelaloinorm alesta nda rd,san sles explicationsquil'accompagnent, seradisponible lorsdesépreuvesd'examen. retournésaveclacopieco rrigée .

Bibliographie

Pourlecou rs,ets urtoutpourapporter descom plémentsàcecours,onp ourrautilise ravec profitlelivred e[4].Po urlesexercicesonpourra serepo rterà[ 2]pourceuxrelevantdela théoriedelamesure dedel'i ntégration ,età[3]oùontrouveradesexercicessupplémentaires concernantlathéo riedesp robabilités. Pourunejusti ficationdu choixduformalismeetdesasignificati onenta ntquemodèledel a "réalité",onpourraconsulterav ecprofit enpremièrelecture lechapitreIde[5]et[7]puis,en secondelectur e,[4]pages93et132,et[13]page56. Uneapproc hehistoriqueetépisté mologiqueenliaisonaveclesq uestion sd'enseignementdes conceptsprobabilist espeutêtretrouvéedans[6].

Calendrierdetravail

Lecours lui-mêmees tdiviséenseptchapitresauxquel ss'ajouteun huitièmechapitreregroupant lescor rectionsdesexercicesproposésdanslescha pitres précédents. Lestrois premierschapitress ontprincipalementdesti nésàmettreenpl aceleformalismedes probabilitésentranscrivantdanslel angage desprobabilitéslesnotionsdethéoriedel amesure etdel'int égration vuesdansl'unitécorrespondante:t ribu,a pplicationmesurable,mesure, imaged'unemesure,r èglesd'int égration,théo rèmesdeLebesgue, ...etc.Normalementces

notionsontétévues dansl'unit éd'intégration quiestconseillée poursuivrecet enseignement

depr obabilité.Ellesdoiventêtreétudiéesassezra pidementdefa çonàfa ireportervotr etrava il

surlesa utr eschapitres.Danscestroisp remierschapitreslanotiondeloidep roba bilité,le

théorèmedutransfert,lano tiond efonctioncaractéristiqueetles critèr esd'identificationd es

lois,doivent êtrebienassimilés etmaîtrisés. Lesconcepts vraimentnouveauxetp ropresàla théoriedesp robabil ités:indépendance,vecteurs gaussiens,convergences,t héorèmes-limites,...etc, sontvuesdanslesquatredernierscha pitres etconstit uentlenoyaudel'unité deproba bilités. T

Besan¸con

vPrésentationducours Ilfaut consacrerengrosun tiersdutempsde trava ildel'unit éàl 'étudedescha pitres 1,2et

3.Un tiersdut empsauxchapitres4et 5,etun tiersdutemps auxchapitres 6et7.

Vousavezà rédigertrois dev oirsàenvoyerpourcorrec tionàl'adresses uivante: BrunoSausserea u,LaboratoiredeMathématiquesdeBe sançon,UFRdesSciences etTech niques,16,routedeGray,25030Besanç oncedex,F rance.

1.Ledevoi r1,dontletexte setrouveenannexeC,page216,portesurleschapitresI,II

etII I.Ildoitêtreenvoyéa uplust ardp ourle21février2014.

2.Ledevoi r2,dontletexte setrouveenannexe C,page218,porteprincipalementsurle

chapitreIVetVmais pourrabien sûrfaire appel àdesrésultats deschapitresp récédents. Ildoitêt re envoyéauplustard pourle28mars2014.

3.Ledevo ir3,dontletexte setrouveenannexeC,page220,porteprincipalementsur

leschapit resVIetVII,maisp ourrabiensûr faire appelàdesrésultat sdeschapitr es précédents.Ildoitêtreenvoyéaupl ustard pourle18avri l2014. Lecalendri erci-dessusestdo nnéàtitreindicatif.Bienentendu,j'accepterai decorriger vosdevoirsà n'importequelmoment.C ependantj evousconseilled'essa yerde travailler régulièrementetdesuivrececalend rier.

Remarquefinale

Commepour toutdocument, deserreursou descoquillespeuvents'êtr eglissées lorsdesa rédaction,mercidemesignal ercell esquevou spo urriezrelever.Plusgénéralement,sivou s avezdes remarquessu rledocument,n'hésitezpasàm'e nfairepa rt.

Besançon,le10janvier2 014,

BrunoSaussereau

T

Besan¸con

viThéoriedesprobabil ités,Bruno Saussereau,2013-2014,version10/01/2014 T

Besan¸con

Tabledesmatières .

Présentationducoursi

Notationsxi

1Mo dèlesprobabilistes1

1.1Préliminair es...................................1

1.2Tribusur unensemble..............................3

1.3Mesureset probabilités..............................6

1.3.2Probabilitéset événements.......................7

1.3.3Propriét ésélémentairesdesprobabilités.................11

1.4Fonctionsde répartition.............................13

2Lo id'unvec teuraléatoire 19

2.1Remarquessur lamodélisationdel'aléa toire ..................19

2.1.2Cascontinu ...............................20

2.1.3Principedemo délisation.........................20

2.2Applicat ionsmesurables.............................21

2.3Loid'une variablea léatoire...........................23

2.3.1Variablesa léatoires............................23

2.3.2Loid'unev ariablealéa toire.......................24

3Mo mentsd'unvecteural éatoire29

3.1Rappels surl'intégrationdesa pplicatio nsmesurables..............29

3.1.1Intégration desfonctionspositives....................29

3.1.2Intégration desfonctionsnumériques..................33

3.1.3Intégration desfonctionsvectorielles..................36

3.1.4Propriétés del'intégrale.........................37

3.1.5EspacesdeLebesgue d'ordrep.....................38

3.2Théorème dutransfertetmomentsd'unev .a. ..................40

3.2.1Théorèmed utransfertetidentificatio ndeloi s.............40

3.2.2Momentsd'uneva riablealéat oire....................45

3.3Fonctionca ractéristiqueetloi d'unev.a.....................49

3.4Exercic esderévisionsurleschapitresI àII I..................59

viiiThéoriedesprobabi lités,Brun oSaussereau,2013-2014,version10/01/201 4

4Indépendancestochastique61

4.1Intégrat ionsurR

n+p ...............................61

4.2Indépendance devecteursaléato ires,d' événements,detribus..........66

4.2.1Indépendancedev ecteursaléatoires...................66

4.2.2Critèresd' indépendancedevecteursaléatoir es.............68

4.2.3Indépendanced'év énements,detribus..................77

4.3Tribu etévénementsasymptot iques.......................80

4.4Sommede v.a.r. indépendant es.........................84

4.5Exercic esderévisionsurleschapitresI àIV...................90

5Ve cteursaléatoiresgaussi ens95

5.1Vecteurga ussien.................................95

5.2Loid'un vecteurgaussien............................98

5.3Exercic esderévisionsurleschapitresI àV...................103

6Lo isdesgrandsno mbresetcon vergencesdev.a.r. 105

6.1Convergen ceenprobabilitéd'unesuitede v.a .r..................105

6.1.1Loifaibledes grandsnombres ......................105

6.1.2Convergenceenp robabilité.......................109

6.2Convergen cepresque-sûred'unesuitedev .a.r..................112

6.2.1Loifort edesgrandsnomb res......................112

6.2.2Convergencepr esque-sûre........................113

6.3Convergence dansL

p (!,F,P)oùp![1,+"].................118

6.4Comparaison desconvergencesdansL

0 (!,F,P)................119

6.5Exercices derévisionsurleschapitresIà VI...................121

7Th éorème-limitecentraletconvergencedelois 123

7.1Théor ème-limitecentral(TLC).........................123

7.1.1Énoncéduthéor ème-limitecent ral (TLC)................123

7.1.2Casparticulier sduthéor ème-limitecentral(TLC)............126

7.1.3Correction decontinuité.........................128

7.2Converge nced'unesuitedeprobabilités,conv ergenceenloi..........129

7.3Exercic esderévisionsurleschapitresI àVI I..................141

8Co rrigésdesexercices145

8.1Corr igésdesexercicesduchapitreI.......................145

8.2Corr igésdesexercicesduchapitreII .......................152

8.3Corrigés desexercicesduchapitreIII ......................155

8.4Corr igésdesexercicesduchapitreIV......................165

8.5Corrigés desexercicesduchapitreV.......................183

8.6Corrigés desexercicesduchapitreVI......................190

8.7Corrigés desexercicesduchapitreVII ......................196

AFo rmulaire205

A.1Rappel sdenotations...............................205 A.2Quelque srelationsàconnaître enprobabilités..................205 A.3Probabi litésusuellesdiscrètes..........................207 A.4Probabi litésusuellesàdensité..........................208 T

Besan¸con

ixTabledesmatiè res.

BTa bledelaloinormale stand ard211

B.1Cal culsavecdesv.a.r.normalescen trées-réd uites................211 B.2Cal culsavecdesv.a.r.normalesdepa ramètresqu elconqu es..........212

CDe voirsàenvoyeràlaco rrect ion215

C.1Devoir1 àrenvoy erle21 février 2014auplustard...............216 C.2Devoir2à renvoyer le28ma rs2014 auplustard................218 C.3Devoir3à renvoyer le18a vril 2014auplustard................220

Bibliographie.221

T

Besan¸con

xThéoriedesprobabil ités,Bruno Saussereau,2013-2014,version10/01/2014 T

Besan¸con

xiNotations

Notations

Nousrép ertorionsiciquelquesnotationsgénéralesquiserontutiliséesda nsl'ensemble ducours. Onno tedefaçoncl assiqu erespectivemen tparleslettres,N,Z,Q,R,C,lesensembl esdes nombresentiersnat urels,relatifs,rat ionnels,réels,complexes. Leslettres PetEserontintroduit esdanslecoursmaisnedevrontpasêt reconfonduesav ec lesnota tionsd'ensemblesdenombres. Onpo seR:=R#{+",$"}.Oné ten dl'ordreusueld eRàRenposa nt,pourtoutx!R, $"Besan¸con xiiThéoriedesprobabi lités,Brun oSaussereau,2013-2014,version10/01/201 4 T

Besan¸con

1Chapitre1.Modèlesprobabilistes

Chapitre1

Modèlesprobabilistes

Leformal ismedelathéoriedesprobabil itésuti liseles outilsdelathéo riede lamesureen adoptantunvocabulairesp écifique auxprobabilités.

1.1Préli minaires

Certainesdéfinitionsetnotati onsdelathéorieélémentaired esense mblesserontconstamment utiliséesdanslasuite.Afind'é vitertouteam biguït énouslesrappelons rapide mentdansce paragraphe.

Définition1.1.

Danscecoursunensemble seraditdénombrables'ilestenbij ectionav ecunep artie(finieou infinie)deN. (Attention:danscertainsou vrages,u ntelensembleest ditau-plus-dénombrable,lequali- ficatifdénombrab ledésignantalorslesensemblesposs édantunnombrefinid'éléments. )

SiAetBsontdeuxpa rties d'unensembleE,onnoteA

c :={x!E/x'!A},ouaussi ! E A sionsouha itep réciserl'ensemblederéfér enceE,lecomplémenta iredeAdansEet

A\B:=A%B

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