Qui est Jules Regnault
statistique des cours de la rente 3% du calcul des probabilités ainsi que d'une UMR 6586
Curriculum Vitae
Post-Doctorat `a l'université du KwaZulu Natal (Afrique du sud) dans l'équipe de T.D de probabilité et de théorie de la mesure (Licence 3).
ÉCOLE DOCTORALE MATHÉMATIQUES INFORMATIQUE
6 mars 2019 I am also grateful to Orleans University International Central ... Definition 1.1.3 (The LDP) The family of probability measures {µn} ...
secret parfait
Le résultat du calcul de A(x) n'est plus nécessairement unique il possède une certaine probabilité. Page 6. Chiffrement par ?. Exercice Formalisons le
La théorie des probabilités et lInstitut Henri Poincaré (1918-1939
4 févr. 2021 1.3 Enjeux des savoirs probabilistes pour les étudiants à l'université de Paris . 40. 1.3.1 Des étudiants en probabilités dans un cursus ...
Assistant de preuve Coq - Université dOrléans
31 mars 2015 Programmes al´eatoires. ? Important d'un point de vue théorique et pratique. ? Théorie des probabilités. ? espace probabiliste.
LE STATUT DE LAPPRENTI LAIDE AU PERMIS DE CONDUIRE L
un mode de formation qui allie théorie et pratique. • une forte probabilité d'embauche à la fin du cursus
Probabilités et Statistiques
4 févr. 2010 Université d'Orléans. Nils Berglund ... La théorie des probabilités sert `a modéliser des situations dont notre connaissance est imparfaite.
Support du cours de Probabilités et Statistiques IUT dOrléans
IUT d'Orléans Département Informatique. Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr
THÈMES DE RECHERCHE EQUIPEMENTS ET TECHNOLOGIES
contact.idp@univ-tours.fr. L'Institut Denis Poisson est un laboratoire de Mathéma- tiques et Physique Théorique bilocalisé sur Orléans et Tours.
Assistant de preuve COQ
une boite `a outils pour l"ing´enierie des preuvesChristine Paulin-Mohring
Universit
´e Paris Sud & INRIA Saclay -ˆIle-de-France
31 mars 2015
C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 1 / 61Introduction
Objectifs
IIntroduction`a l"assistant de preuve COQI
COQhttp://coq.inria.fr
I s"applique`a d"autres syst`emes de la mˆeme famille HOL, Isabelle, PVS, Agda, Matita... I Comprendre les concepts mis en oeuvre : langage & architecture IInt´erˆet d"une utilisation pour vos activit´es de recherche?C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 2 / 61
Introduction
PlanIntroduction
Langage
Objets & Types
Formules & Preuves
Syst `eme de preuveProgrammes al´eatoiresRepr
´esentationBiblioth
`eque ALEAConclusion C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 3 / 61Introduction
Motivations
Pourquoi s"int
´eresser auxassistants de preuv e?
S"assurer que quelque chose est
vr aiI Limitations li´ees`a l"ind´ecidabilit´eet la comple xit´e IG´erer des preuvesinf aisables`a la main
I ordinateurs : meilleurs que nous en activit´esroutini `eresIfavorisent le travailcollabor atif
IInt´egrerr aisonnementet calcul
IMaximiser la
confiance I parler aux humains autant qu"aux machines I Emergence d"une nouvelle activit´e : G´enie/Ing´enierie des preuvesOn a d´esappris`a calculer
Pourra-t-on d
´esapprendre la construction/v´erification de preuves?C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 4 / 61
Introduction
Outils pour le calcul
calculatrice op´erations de basecalcul formel
langage sp´ecialis´e,
fonctions avanc´ees,
interfacefeuille de calcul pr´esentation,´editionprogrammation
langage universel, biblioth `eques, sp´ecialistesprobl`eme :mod´eliser, combiner les m´ethodesC. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 5 / 61
Langage
PlanIntroduction
Langage
Objets & Types
Formules & Preuves
Syst `eme de preuveProgrammes al´eatoiresRepr
´esentationBiblioth
`eque ALEAConclusion C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 6 / 61Langage
Propri
´et´e du langage
I Il ne suffit pas que le calcul soit juste, il faut avoir pos´e les bonnes equations I les sp´ecifications doivent pouvoirˆetreremises en question : relecture, confronter plusieurs d´efinitions, tester, ex´ecuter, prouver
I Un probl`eme bien pos´e est`a moiti´e r´esolu I un programme bien sp´ecifi´e est`a moiti´e prouv´e... Ichoix desstr ucturesde donn ´ees/d´efinitions Ile langage comme support`a l"expression des besoinsIcompr´ehensible par l"homme et la machineC. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 7 / 61
Langage
Choix du langage
La logique est un langage
univ ersel pour repr´esenter des propri´et´es
I les constructions de basevrai(>),faux(?), pour tout(8),il existe(9) IQu"en est-il des objets et propri´et´es atomiques?C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 8 / 61
LangageObjets & Types
Repr´esentation des objets
IVision
axiomatique I nouveaux symboles et axiomesIrisques d"incoh´erence
I Th´eorie desensemb les4 f;;f;g;f;;f;gg;f;;f;g;f;;f;gggg IArithm´etique deP eano( 0;S();+;)
I codage des suites par des entiers I2n=m9e;jej=n+1^e(0) =1^ 8iLangageObjets & Types
Le point de vue informatique
IMots binaires
de taille bor n´ee I Code = suite finie d"instr uctions I une recette pour calculer des valeurs Imoyen fini de d´ecrire des objets potentiellement infinisId´efinition intentionnelle calculatoire
Iabstraction(lambda-calcul)/f ermeture(langages f onctionnels) IOrganisation de la m´emoire enb locs
I entˆete: taille ,´etiquettepour organiser les b locsItermes,signature (symboles associ ´es`a des arit´es), alg`ebre libreC. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 10 / 61
LangageObjets & Types
TypesClassifier finement les objets
I Des e xpressions ( ) pour repr´esenter des ensembles d"objets IUne relationt:
bool´eens, entiers, fonctions, arbres ...
IReconnaissable
statiquement ( `a la compilation, avant le calcul) IEn g´en´eral untype canonique par objet
IStable par calculsit:etts"´evalue enualorsu:
I limite les erreurs automatiquement (terminaison) IMais forc´ement des limitationsN
1:Nx22x+1:N?
les types ne sont pas des ensembles! C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 11 / 61LangageObjets & Types
Types simples
ITypes fonctionnels :!f:!p:f p:[f(x)def=t]x:`t:f:!
ITypes de base :bool;nat
Iconstructeurs avec leur arit´e (typ´ee)Inductivebool := true : bool | false : bool.Inductivenat := O : nat | S : nat!nat.C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 12 / 61
LangageObjets & Types
D´efinition de fonctions
I propri´et´es des types construits (alg`ebre initiale) I valeurs constructibles : viennent des constructeursIconstructeurs distincts
I analyse par casDefinitionisz (n:nat) :=matchnwithO)true | S m)falseend.Ipoint-fixe structurelFixpointexp2 (n:nat) :=matchnwithO)1 | S m)2*exp2 mend.C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 13 / 61
LangageObjets & Types
Des objets qui calculent
Evalcomputeinexp2 4.= 16 : nat
ITester (sur des valeurs closes)
I Si on peut calculerf(n)enmalorsf(n) =mest trivial.Limitations IToutes les fonctions ne peuvent pas se calculer
I minimiser une fonctionf:N!N8x:N;f(min(f))f(x) IUne valeur bool´eenne secalcule
Une propri
´et´e logique seprouv ebool6=PropC. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 14 / 61
LangageObjets & Types
Quels programmes dans la logique?
Pas n"importe quel calcul dans la logique
I probl`eme de terminaison8n;n=0_n6=0 06=1 f(x) =iff(x) =0then1else0 f(x) =0,f(x)6=0 I calculs impurs I p=pnon valide sipfait des effets de bord(x++ ==x++)random==randomSolutions I fonctions repr´esent´ees intentionnellement (relationslogiques) I expliciter les effets des constructions imp´eratives (monades) I ´etats, exception, entr´ees-sorties, al´eatoire, non-d´eterminisme I notationsC. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 15 / 61LangageObjets & Types
Types´etendus
I types polymorphes :list;treet:8;[]t[] :[]Inductivetree A :=leaf | node : A!tree A!tree A!tree A.Itypes indic´es :vecnt:8x:;[x]p:t p:[p]Inductivevec A : nat!Type:=nil : vec A O | add :8n,A!vec A n!vec A (S n).I
branchement indic´eInductiveBDT := T|F| var: nat!(bool!BDT)!BDT.InductiveW A B := sup:8(a:A),(B a!W A B)!W A B.C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 16 / 61
LangageObjets & Types
Typage d
´ependant du match
I Forme´el´ementairematchiinI xreturnP x iwithc1 x1...xn1)t1( *:P u1 ( c1x1 ...xn1)*)|... |cp x1...xnp)tp( *:P up ( cpx1 ...xnp)*)end I ExempleFixpointapp A n (v: vec A n) m (w:vec A m): vec A (n+m):=matchvinvec _ nreturnvec A (n+m)withnil)w| add p a v")add a (app v" w)end.C. Paulin (Paris-Sud)Assistant de preuve COQ31 mars 2015 17 / 61
LangageObjets & Types
Types d
´ependants
quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9[PDF] Retour sur la théorie des ressources - Hal
[PDF] Chapitre 1 Psychologie différentielle de la personnalité : introduction
[PDF] EL JOUHARI Exercices SMC5-M17-E2 - Faculté des Sciences de
[PDF] Les aspects théoriques du commerce international et de la protection
[PDF] Microéconomie - Faculté des Sciences Economiques et de Gestion
[PDF] Innovation et développement chez Schumpeter - (CEIM) | UQAM
[PDF] La théorie du producteur - Paris School of Economics
[PDF] APPRENTISSAGE ET TRAITEMENT DE L 'INFORMATION
[PDF] Théorie et Pratique de la traduction III La Traduction littéraire L
[PDF] APPORTS ET LIMITES DE LA THEORIE INSTITUTIONNELLE - Hal
[PDF] Théorie keynésienne - Comptabilité nationale
[PDF] Théorie de la littérature - Université Paris-Sorbonne
[PDF] Théorie positive de la comptabilité - Hal
[PDF] Théorie psychanalytique de la personnalité - ULB