[PDF] TORSION RDM. 1/5. TORSION. • Solide

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RDM- TORSION RDM 1/5

TORSION

‡ 6ROLGH LGpMO matériau homogène, isotrope, poutre rectiligne, de section constante et circulaire.

‡ IHV MŃPLRQV H[PpULHXUHV dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés,

portés par la ligne moyenne. La poutre est donc soumise à deux torseurs couples:

I. DEFINITION

Une poutre est sollicitée à la torsion simple si le torseur associé aux forces de cohésion de la partie droite (II) sur la partie gauche (I) de la poutre peut se réduire en G, barycentre de la section droite (S) à un moment perpendiculaire à (S), tel que:

Dans ‹ (G,x

,y ,z [Tcoh] = G 0 Mt avec

N = 0, Ty = 0, Tz = 0

Mt

0, Mfy = 0, Mfz = 0 donc =

G 0Mt 00 00

REMARQUE:

[Tcoh] = -T(Actions ext.

I) = +T(Actions ext.

II) donc R = 0 et Mt = -MA

II. ETUDE DES DEFORMATIONS

On exerce un moment MG1

dans la section droite (S1) et on mesure l'angle de rotation des sections (S ) et (S1) par rapport à (S0). On constate que: x = 1 l1 = ...... = Cte. (S1) (S0) Ligne moyenne MB MA A B x z y G (S MA A MG z y Lf3II I Lf2II I Lf1II I G1 (S1) MG 1

G0 (S) (S0)

M' M1'

M1 M 1 1 x l1

Génératrice avant

déformation

Génératrice après

déformation

Section S0 parfaitement encastrée dans 1

RDM- TORSION RDM 2/5

On peut écrire:

1 l1 avec: = angle unitaire de torsion (rad/mm).

1 = angle de rotation (S1)/(S0) (en rad).

l1 = distance séparant (S1) à la section de référence (S0) (mm)

La courbe donnant l'angle

en fonction du moment MG1 fait apparaître deux zones :

‡ IM ]RQH 2$ GH GpIRUPMPLRQ pOMVPLTXH ou

domaine élastique: où l'angle de rotation est proportionnel au moment appliqué. ‡IM ]RQH $% GH GpIRUPMPLRQ SHUPMQHQPH, ou domaine plastique; n'est pas proportionnel à MG1 III. REPARTITION DES CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITE

En un point M, la contrainte de torsion

M est proportionnelle à la distance

de ce point à la ligne moyenne. M = .G. . [Dans (O,x1 ,y1

M > 0 si

> 0 et 0] M: contrainte tangentielle due à la torsion (MPa). G: module d'élasticité transversale (de Coulomb) (MPa). : angle de torsion unitaire (rad/mm). : distance de M au centre de la section (mm). La contrainte de torsion est nulle si M est sur la ligne moyenne ( = 0). La fibre neutre est confondue avec la ligne moyenne. La contrainte de torsion est maximale si M est sur la surface du solide ( = R = distance max.): max. = G. .R.

IV. MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE

Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport à l'axe (O, z) perpendiculaire en O au plan de cette dernière est: I0 = s) I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O,z) (mm4). : distance du point M au point O (mm). S: surface élémentaire entourant le point M(mm2). B MG1 A MA 0

Déformation

permanente

Déformation

élastique

max max

M1 M x

1 y z y 1 x z y F G x

Section droite

(S) MG0 G0 Mt z y O M x y M S S O

Distance de M

ààààO O

Point M

considéré

Surface

élémentaire

RDM- TORSION RDM 3/5

MOMENTS QUADRATIQUES PARTICULIERS

Oz x y d Oz x y D d I0 = .d4 32
I0= 32
.(D4-d4)

V. ETUDE DES DEFORMATIONS

1- Equation de déformation

Dans le domaine élastique, le moment de torsion Mt est proportionnel à l'angle unitaire de torsion

Mt = G.

.I0 si > 0 Mt > 0

Mt: moment de torsion (Nmm).

G: module d'élasticité transversal (de Coulomb) (MPa). : angle de torsion unitaire (rad/mm). I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O, x) (mm4). * Voir valeurs de G pour différents matériaux dans cours cisaillement.

2- Condition de rigidité

Pour les arbres de grande longueur (arbres de forage de puits de pétrole, arbres de navires

importants) on évite de trop grandes déformations de torsion qui risqueraient d'engendrer des vibrations

trop importantes pour un fonctionnement correct. A cet effet, on impose un angle unitaire limite de torsion: lim. à ne pas dépasser ( lim: 0,25 °/m, par exemple). lim ou Mt G.Io lim. Mt: moment de torsion (Nmm). G: module d'élasticité transversale (de Coulomb) (MPa). I0: moment quadratique de (S) par rapport à (O,z) (mm4).

VI. ETUDE DE LA RESISTANCE

3- Contraintes de torsion

Contrainte de torsion en fonction de Mt:

La contrainte en un point M d'une section

droite est:

M = Mt

Io M : contrainte tangentielle due a la torsion (MPa)*.

Mt: moment de torsion (Nmm).

I0: moment quadratique polaire de la section droite considérée (mm4). : distance du point M à la fibre neutre (mm). x GM d=2R

Valeur de

M en un point M

M G MG0 O Mt z y G (S) MO Mt O (S0) M' M x y z

Sens positif pour l'angle de

rotation l 0 0

RDM- TORSION RDM 4/5

4- Contrainte maximale de torsion

Il faut rechercher la section (S) dans laquelle le moment de torsion est maximal. Dans celle-ci la contrainte est maximale au point le plus éloigné de l'axe ( = R). max. = Mtmax Io .R ou max. = Mtmax (I0 R)

Tmax.: contrainte maximale tangentielle (MPa)*.

Mt max.: moment de torsion maximale (Nmm).

I0: moment quadratique polaire de la section (S) (mm4). R: distance du point le plus éloigne de la fibre neutre à cette dernière (mm). (I0

R): module de torsion (mm3).

* 1 MPa = 1 N/mm2

REMARQUE:

Ces relations sont valables uniquement pour les sections circulaires!

5- Condition de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte de torsion doit rester inférieure à la résistance pratique

au glissement Rpg est le quotient de résistance élastique au glissement Rpg par le coefficient de

sécurité s. (Voir la relation entre Re et Reg dans le cours sur le cisaillement)

Rpg = Reg

s

Rpg: résistance pratique au glissement (MPa).

Reg: résistance élastique au glissement (MPa). s: coefficient de sécurité (sans unité) (voir valeurs dans le cours sur le cisaillement).

La condition de résistance est:

max.

Rpg ou

Mt max (I0 R) Rpg

VII. SOLIDE REEL

les arbres présentent généralement de brusques variations de sections (gorges, épaulements,

rainures de clavettes. . .). Au voisinage de ces variations de section, la répartition des contraintes n'est

pas linéaire. Il y a concentration de contrainte. eff. max. = Kt. théorique eff. max.: contrainte maximale effective (MPa). théorique contrainte théorique sans concentration (MPa). Kt: coefficient de concentration de contrainte relatif a la torsion. Kt est déterminé par des tableaux ou abaques (voir les valeurs expérimentales dans tableau).

Kt pour rainures de clavettes

Rayon congé

Profondeur rainure

= r c

0.5 0.3 0.2 0.1

Coefficient Kt 2.1 2.7 3.5 5.4

c M' M

Rayon du

congé: r M'

M théorique

eff max = Kt. théorique théorique Kt.

M théorique

RDM- TORSION RDM 5/5

Kt pour épaulement et congé

0.0 5

0.1 0.1

5

0.2 0.2

5 0.3

1.09 1.3 1.1

8 1.1 5

1.1 1.1 1.1

1.2 1.6 1.3

5 1.2 5

1.2 1.1

8 1.1 5

1.5 1.7 1.4

5

1.3 1.2

5 1.2 2 1.2

2 1.8 1.6 1.3

5

1.3 1.2

5 1.2 2

Kt pour gorge

0.0 5

0.1 0.1

5

0.2 0.2

5 0.3

1.02 1.3

5

1.3 1.5 1.7 1.1

5 1.1 5

1.05 1.5

5

1.5 1.7 2.5 1.2 1.2

1.3 1.8 1.7 2.2 2.7 1.3 1.2

5

Kt pour arbre avec trou de goupille

d/D 0.0 5

0.1 0.1

5

0.2 0.2

5 0.3

Kt 1.3

5

1.3 1.5 1.7 1.1

5 1.1 5 I0/V .d3 16 - d.D² 6

MÉTHODE DE CALCUL

1. Calculer

m ou max.

2. Analyser la nature ou la géométrie (épaulement, gorge...) et choisir la courbe ou le tableau

correspondant

3. Calculer r

c , r D , D d

4. Déterminer la valeur de Kt correspondante

5. Calculer

eff. max. = Kt. théorique

6. Ecrire la condition de résistance

eff. max. Rpg

EXEMPLE DE CALCUL:

Déterminer Kt pour une rainure de clavette ayant un congé dans l'angle inférieur r= 0,3 (fig. 3) et pour

un arbre de diamètre d D r r/d D/d r/D D/d r d D d AA A D Aquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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