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TOUS LES EXERCICES

D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE

MP Pour assimiler le programme, s'entraîneret réussir son concours

Rappels de cours et exercices d'assimilation

Plus de 400 exercices dont la majorité

est issue d'oraux de concours récents

Solutions complètes et détaillées

EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALD

PRÉPAS

100%
TOUS LES EXERCICESD'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIEMP

Pour assimiler le programme, s'entraîner

et réussir son concours TOUS LES EXERCICESD'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIEMP

Pour assimiler le programme, s'entraîner

et réussir son concours

El-Haj Laamri

Agrégé en mathématiques et maître de conférences à Nan cy-Université

Philippe Chateaux

Agrégé en mathématiques et professeur en MP au Lycée Henri P oincaré à Nancy

Gérard Eguether

Maître de conférences à Nancy-Université

Alain Mansoux

Agrégé en mathématiques et professeur en PC au Lycée Henri P oincaré à Nancy

Marc Rezzouk

Agrégé en mathématiques et professeur en PC au lycée Henri P oincaré à Nancy

David Rupprecht

Agrégé de Mathématiques et professeur en PSI au Lycée Henri

Loritz à Nancy

Laurent Schwald

Agrégé en mathématiques et professeur en BCPST au lycée Henr i Poincaré à Nancy

Couverture : Claude Lieber

© Dunod, Paris, 2008

ISBN 978-2-10-053965-9

Tabledes matières

Présentation dela série" To usles exercicesde mathématiques» .........vii

Avant-propos

xi

Chapitre1. Algèbre générale

1

1.1L' essentielducoursetexercicesd'assimilation...................1

1.2Ex ercicesd'entraînement......................................14

1.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 25

Chapitre2. Complémentss urles polynômes

35

2.1 Généralitéssur lespolynômes .. ..

.............................. 35

2.2 Polynômesà coef cientsentiers.

............................... 43

2.3 Compléments: nombresalgébriques et transcendants, extensionsde

Chapitre3. Espacesv ectorielset Applicationslinéaires 51

3.1L' essentielducoursetexercicesd'assimilation...................51

3.2Ex ercicesd'entraînement......................................71

3.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 76

Chapitre4. Matrices

92

4.1L' essentielducoursetexercicesd'assimilation...................92

4.2Ex ercicesd'entraînement......................................114

4.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 124

Chapitre5. Déterminants

134

5.1Ra ppelsdecoursetexercicesd'assimilation.....................134

5.2Ex ercicesd'entraînement......................................141

5.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 150

Chapitre6. Équationsl inéaires

155

6.1L' essentielducours...........................................155

6.2Ex ercices....................................................156

© Dunod-L aphotocopie nonautoriséeest undélit

Tabledes matières

Chapitre7. Réductiond esendomorphismes ..............................164

7.1L' essentielducoursetexercicesd'assimilation...................164

7.2Ex ercicesd'entraînement......................................189

7.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 206

Chapitre8. Espacesp réhilbertiens

223

8.1L' essentielducoursetexercicesd'assimilation...................223

8.2Ex ercicesd'entraînement......................................237

8.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 242

Chapitre9. Espaceseuclidiens

248

9.1L' essentielducoursetexercicesd'assimilation...................248

9.2Ex ercicesd'entraînement......................................258

9.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 277

Chapitre10. Quadriqueset coniques

295

10.1 L'essentielducours et exercices d'assimilation...

................ 295

10.2 Exercicesd'entraînement.

..................................... 305

10.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 311

Chapitre11. Étudea fneet métriquedescourbes

314

11.1 L'essentielducours et exercices d'assimilation...

................ 314

11.2 Exercicesd'entraînement.

..................................... 335

11.3 Exercicesd'approfondissement.

................................ 350

Chapitre12. Surfaces

357

12.1 L'essentielducours et exercices d'assimilation...

................ 357

12.2 Exercicesd'entraînementet d'approfondissement.

............... 359

12.3 Quelquessurf acesusuelles.

.................................... 365

Chapitre13. Complémentsd egéométrie

368

13.1 Géométriea fne

.............................................. 368

13.2 Géométriea fneeuclidienne.

.................................. 371

13.3 Isométriesv ectorielleseta fnese ndimension3

.................. 378

13.4 Lieuxgéométriques .. .

........................................ 386

13.5 Extrema.

..................................................... 394

Présentation dela série

" Touslese xer cices de mathématiques» L'évolutionrécentede l'enseignementdesdisciplines scientiquesd ansl esC.P .G.E s'est concrétiséeparl ad énitiond'unnouveau programmedepremièrea nnéee n

2003 etde secondeannée en 2004.Un desobjectifsdecette évolution aété dec om-

bler lefossé grandissantentre la classe terminaleetl esclassespréparatoires.L a progression este xplicitementimposéeparl enouv eauprogramme quiprévoitnotam- ment "un programmede début del 'année»,quie xclutla présentationabstraitedes concepts auprot d'unedémarche fondées url'e xemple commepointde départde la conceptualisation,qui préconisel'approche algorithmiqueen complémentde l'ap- proche démonstrativeetqui légitimeladémarche expérimentale en mathématiques par l'utilisationdeslogiciels Mapleou Mathematica,logiciels systématiquement uti- lisés dansde nombreuxconcours, notammentdans leconcours commun" Centrale - Supélec». Maislesprogrammes des classespréparatoiresnesont pasl esseulsà avoirév olué,lesprogrammesdel'enseignement secondaireont fa itl'objet d'une évolutionpréalable. Enn, l'attitudenouvelledes élèv esface auxdisciplines scien- tiques rendi nefcacel'approcheaxiomatiqueetleurappropriation grandissantede l'outil informatiquenécessite d'intégrercet outilà la pédagogie.L 'ensemblede ces changements rendimpérati velarédactionde nouveauxouvrages. On constateque c'estda vantage lastructure,l'ordredest hèmesa bordés,l'esprit du programmequi ontév olué,l efondétantresté relativement stable.S urce fond, que nousn'a vonspaslaprétentionde renouveler ,il existe déjàune abondanteet excellentelittérature ;nousrev endiquons unecontinuitéparrapportànosillustres prédécesseurs etnous noussommes lar gementinspirés deleursécritspourypui- ser exercicesetsujetsennous efforçant de les présenteren parfaitecohérencea vec l'esprit duprogramme actuel.Car cettenouv ellecollection répondà unenécessité: entièrement rédigéea prèslaparution desnouveauxprogrammes et le débutdeleur et lespréconisations duprogramme. .. cequen'auraitpuassurers ansrisque d'ano- malies unesimple remiseen formed'une rédactiona ntérieure.T ousles ouvragesde © Dunod-L aphotocopie nonautoriséeest undélit Présentationde lasérie "T ous lese xercicesde mathématiques» cette collections ontécritstroisa nsaprès l'apparition desnouveauxprogrammes et en respectents crupuleusementl'esprit. Les rédacteursont enseignéet interrogédans lecadre del'ancien etdu nouveau pro- gramme, ilsperçoi ventdoncparfaitementl'importancede l'évolution. Leurexpé- rience del'enseignement enclasses préparatoireset àl 'Univ ersité, leur interven- tion régulièreen "c olles», leurparticipationa uxconcours commeinterrogateurs à l'oralet/ou correcteursàl 'écritpermettentd'af rmerqu'il s'agitd'équipest rès " professionnelles».L'équilibre entrelapluralitédes approches quienrichit lefond et lacohérence del aforme quirenforcel'ef cacité estl erésultat d'unvéritable travailcollaboratif, d'unemaîtrised'oeuvrerigoureuse et des ourcesd'inspiration précieuses...citonsparticulièrement pourles ex ercices d'orall a

Revued eMathé-

matiques Spéciales ,l'

Ofcielde laT aupe

et les

ArchivesdesPr ofesseur sdeSpédu

LycéeHenri Poincaré deNancy

en particuliercelles constituées parWalterAPPEL. Cette collectiona l'ambitionde faire bénécierl electeurde l'e xpertiseprofession- nelle desrédacteurs, chaque ouvrageestdoncrédigé av ecun soucide rigueuret de clarté auservice dela pédagogie,souci quis'e xprimedans quelquesprincipes : - Laqualitéde rédactiona boutiee xigéedes élèves nécessitequelesa uteurssoient eux-mêmes exemplairesdansl eurrédaction,aussi biencelledesé noncésque celle desc orrigés.Unsointout particuliere stapporté àl'écriture desé léments "logiques»:précis et sans ambiguïté,les tyletraduitexplicitement lesconnexions logiques, implication,nécessité, suf sance...dansunsoucipermanentderendre explicitece qui,a illeurs,reste parfoisimplicite. - Lescorrigés proposéssont toujourscomplets etcommentés quandil lef aut, en privilégiantles solutionsméthodiqueset raisonnablesaux approches "astu- cieuses »et "m iraculeuses». L'expérienceprouv ee neffetqu'uncorrigé trop "brillant»inquiète l'élèvequi sesentincapabledelamême performanceet nelui apprend riende ladémarche constructiv equi peutameneràunesolutionl orsqu'on possède unemaîtrise suf santedesconcepts.L'expérience montreaussi lav ertu du contre-exemple...ilenestfaitun usagecourant. - Laprésenced er appelsdecourssynthétiques estnécessairepour replacerles ex er - pour xeraussiquelques notationschoisies parmil esstandards. Maisces éléments de coursne sesubstituent en rienà l'enseignementmagistraloua uxouvrages de référence, ilsconstituent seulement un"minimum conceptuel» immédiatement disponible pouraider la compréhensiondese xercicesquirestent la matièreessen- tielle del'ouvrage. - Lavolonté derespecter l'espritdesnouv eauxprogrammesprivilégie la présenta- tion des ujetsrécents(de2004 à2007) enrespectant scrupuleusement laforme de leur rédaction: aucunt oilettagerédactionnel nedoitenmasquerl 'originalité,v oire la difculté.Lerespect dulecteurexige samise ensituation réellede concours. Toutefoisces énoncéssont commentéset expliqués pourrassurer le lecteuren lui montrant quesous dest raitsparfois déroutantsonpeutretrouv erdes "visages Présentationde lasérie "T ous lese xercicesde mathématiques» connus». Certains exercicesproposésauxc oncoursa vant 2003gurentégalement dans cettecollection en raisondeleur intérêt ;ils sontalorsrédigéss ousuneforme compatible avecleprogrammeactuel. Si cesprincipes générauxsont respectésdans l'ensemblede lacollection, laplus grande maturitédes élèv esdedeuxièmeannéejustie quelquesdif férencesentre les difcultésàchoisir seul, av ecdiscernement,des sujetsd'écritsdanslesannales. Les ouvrages depremière année présententdoncunesélection d'extraits deproblèmes d'écrits. L'élèvededeuxièmea nnée,plus mûr, estcapabledetrouv erlui-même des sujets d'écrit,les ouvragesde deuxièmea nnéen'en présententdonc pas.Cetteplus grande maturitée xpliqueaussilechoix quia été fa itde présenteren deuxièmeannée un bontiers dese xe rcicesd'oraldansleurrédactiond'origine,s ansc ommentaires explicatifs,pour placerl'élèv ea uplusprèsde lasituation réelledu concours; bien entendu, lecorrigé estt oujoursrédigé clairement,ave ct outesles indicationsettous les commentairesquenécessite leurcompréhension. L'objectif essentiele stle res- pect desé lèvesquel'onmetdansune situationproche decelles desconcours tout en lesguidant dansla correction.Il sembleég alementque desouvrages spéciques suivantles programmes(MP-MP*,P C-PC*e tPSI-PSI*)soientjustiés enMathé- matiques Spécialesalorsqu'ils nele sontpas en premiersemestre deMathématiques Supérieures. Mais,quels quesoient lesouvrages, lesa uteursont réaliséun tra vailde sélection importantparmila multituded'e xe rcicesdisponibles pourproposerceux qu'ils considèrentc ommelespluss ignicatifs: certainss ontsélectionnéspourleur

intérêt pédagogique,l eurgénéralité,leurs déclinaisonspossibles. ..d'autress ontpré-

sentés essentiellementpour donnerune idéedèle de "l'état del'art actuel»des exercicesd'orale tf airel'objetdecommentaires auprotdes futurscandidats. On auracompris queles ouvragesde cettecollection sont av antt outau service des élèvespourlesquelselleconstitue unvéritable outilpédagogique d'appren- tissage etd'entraînement en vuedesconcours. Cesouvrages de vraientégalement convaincrelesé lève sdel'étenduedespointsabordés dansl essujetsd'orale td'écrit, qui couvrentréellement lesprogrammes de premièree tded euxièmea nnées.Mais les enseignantsdesC.P .G.E pourrontaussiutilisercettecollectionc ommesupport de travauxdirigés etcommeréférence.Enn, les ex aminateursdisposeront av eccette collection d'exemplesdevraissujetsd'oraux donnésrécemment ;les commentaires qui ensont fa itspourrontinspirerleurpropredémarche pourune évaluation ef cace et progressivedescandidats. Pour conclurecette présentation,on mepardonnera d'utiliserun tonplus personnel. Maître deconférences etagrégéenMathématiques, j'aisouhaité partagerplusieurs années d'expérienceenassurant lamaîtrise d'oeuvredes ouvragesde cettecollection. Quinze annéesde participationà différents concoursen tantquecorrecteurd'écrit et examinateurd'oral,m'ont permisde bienconnaître la littératuree xistantee tde bien observerl'évolutionde l'attitudedesélèv es quisont soumis,toujours davan- tage, àdes sollicitations nombreusesetdiv erses, sollicitations quinefacilitentpas la concentratione tpeuvent, parfois,lesgênerdanslamaîtrise del 'ensembledes © Dunod-L aphotocopie nonautoriséeest undélit Présentationde lasérie "T ous lese xercicesde mathématiques» techniques. Lanécessité ressentied'ouvrages adaptés, l'enthousiasme faceàl 'idée de lesrédiger ,l'impossibilitéde réaliserseuluntel tra va il,m'ont conduità réunir des équipesderédaction et àassurer lamaîtrise d'oeuvredu projettout enpartici- pant activementàl'écriture.Au-delà del'ambition deréaliser untra vail dequalité, il s'agit d'unee xpériencehumaineinoubliable. Troispersonnes ontcontrib uéà laréalisationdec eprojet etje souhaite,a us ens propre, leurdonnerl edernier mot:merci. Merci àEric d'Engenières,é diteurchez Dunod,quim'aaccordé saconance, as u m'encourager parlaqualité denos échangese ta pume guiderp ardesconseils et suggestions toujoursformulés demanière chaleureuse. Merci àHervé Coilland,directeur de l'I.U.T Nancy-CharlemagneetV ice-Président de l'UniversitéNancy2 quiatoujourstrouvé letemps pourdes discussionsami- cales aucours desquelless eprécisent lesobjectifs,s'échangentles idées ets'af nent quelques pointsde rédaction. Merci, inniment,à Nezha,ma femme,qui accepteque beaucoupde tempss oit consacré àc eprojet,quipréserv ea utourde moilecalme nécessaireàuneentreprise rédactionnelle, quim'encourage etme conseilledans lesphases les pluscritiques et dont l'amourest uns outienpermanent.

Nancy,le15 février2008

El-Haj LAAMRI

Avant-propos

Ce livrecouvrele programmed'algèbre etde géométriede deuxièmea nnéeMP ,et poursuit ladémarche rédactionnelleentaméea vecl esouvrages depremièreannée. Comme pourl'ensemble dela collection,le respectdu programmeof ciele stun principe quenous av onssuiviàlalettre. Para illeurs,le programmeprév oitla reprise et l'approfondissementen deuxièmea nnéede certainspointsabordés en première année :polynômes, espaces vectoriels,applicationslinéaires, calculmatriciel,d éter- minants, étudeaf neetm étriquedescourbes, espaceseuclidiens.Nousa vons mis à protcette possibilitépour quele présentouvrage, touten étants ansa mbiguïté destiné auxélèves dedeuxièmeannée, présenteplusieurs chapitresutilisables en première lecturedèsl edeuxième semestredepremière année etpourles "révisions estivales»entrelapremière et ladeuxième année. Le programmede deuxièmea nnée," latradition pédagogique»etle soucideg arder une bonnecohérence dansl as équenced'algèbrelinéairenous ontamenésàplacer en têtede cetouvrage unchapitre d'algèbregénérale suivi d'unchapitre dec omplé- ments surlespolynômes. Cec hapitres urles polynômesseplacedans lacontinuité de celuide premièrea nnéee tlec omplèteparlaprésence d'exercices d'orauxde

2007 etd'e xercicesquidiffèrentdeceux proposésdans l'ouvragedepremièrea nnée

en raisonde laplus grandematurité qu'ilse xigent.A lafrontière duprogramme mais présentsdans certainse xe rcicesd'oraux,lesnotionsdenombresalgébriques et transcendants sontégalementa bordées.Les chapitresquisuiv entt raitentdes espaces vectorielse tdesapplicationslinéaires, puisdu calculm atriciel.Les notionsnou- vellesde sommesdirectes, detrace etdematricessemblables sontillustréespard e

nombreux exercices.Demanière délibérée,les exercices proposésont étés élection-

nés pourclarier etmaîtriser l'articulatione ntrele pointde vuematricieletle point de vuev ectoriel,plusgéométrique.Ces chapitrespermettent deréviser et d'appro- fondir leprogrammede premièrea nnéet outen donnantunevueréaliste desexe r- cices donnésà l'oral.Les systèmeslinéaires et les déterminantsnous ontpermis, par lesex erciceschoisis,demontrerl'ef cacité d'unedémarche méthodiquesur des exemplessimplesqui s'appuients urles acquispremière année.Laréduction des © Dunod-L aphotocopie nonautoriséeest undélit

Avant-propos

endomorphismes estu npointessentield uprogramme dedeuxième annéeen rai- son des onintérêtpourla formationde l'élève (toutesles notionsd'algèbre linéaire sont sollicitées),de soni ntérêtpour lapréparationaux concours(toutes lesé preuves de concours,ou presque,a bordentces questions)etde son intérêtpour l'évolution future del'élèv e-ingénieurquirencontreraces notionsutilisées dansde nombreux domaines scientiques.Lesespaces préhilbertienset euclidiensréalisent unesyn- thèse encoreplusprofonde entrel esoutils techniquese tladémarche conceptuelle. Nous avonstentéderendre comptepar les rappelsde courset lechoix desexercices de larichesse deces conceptsen privilégiant l'approche méthodiqueet enmontrant à l'élèvelesvertus unicatricesde notionsquidépassentlar gementl agéométrie et s'appliquentaussi bienà l'analyse qu'àl'algèbre. Danslec hapitre" quadriques et coniques», la classicationet laméthode deréductionsont présentéesdefaçon détaillée etillustréespar denombreux ex emples.Notre expérience d'examinateurs les élèves.Pardes exercicesvenant detous lesconcours,noussouhaitonsleurs mon- trer quecette négligenceest risquée.Nous av onsrédigé cechapitre demanièrepro- gressiveeny intégrant lesé lémentsdeprogrammede premièrea nnéepourconstruire un ensemblecomplet et autonome.Lechapitre suiva nttraite dess urfacesdéniespar un paramétrageo uparune équationcartésienne.C'estsous l'éclairagede cedouble point devue quesont abordéesles notionsfondamentales dev ecteurnormal etde plan tangenten unpoint régulier. Unchoix judicieuxet progressifd'e xe rcicesde concours permetaux étudiants desefa miliarisera ve clessurfacesusuelles. Leder- concours abordantles questionsde géométrie(af ne,euclidienne, isométries afnes et vectorielles,lieuxgéométriques, calculd'e xtrema).Absentes desprogrammes de deuxième année,cesnotions nesont pasa bsentesdes concours.E nn,nous avons apporté uns ointoutparticulier auxguresqui illustrentces dernierschapitres. Les premiersc hapitres,parleurcontenu et leur structure, marquentlatransition entre les principesrédactionnels etpédagogiques propresa uxouvrages depremière année choisi deprésenter etd'illustrer def açonlinéaire chaquenouv ellenotionl'une après l'autre. Nousnous adressionsalors àd eslecteurs sortantd esclassesterminales et encore peua utonomesdansleurapproche. En deuxièmea nnée,nous avonschoisi de présenterglobalement l'essentieldes notionsd'un chapitrepuis deprogresser par étapes versunecompréhensione tune maîtrisede plusenplus approfondies. Chaque chapitre estdoncconstitué detrois parties: - uneprésentation synthétique del'essentielduc ourssui vied'e xe rcicesd'assimila- tion immédiate,danslesquels chaquenouv ellenotion est testée,sanscomplication inutile àc eniveau, dansuncontextequi permetd'identier clairementune etunequotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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