[PDF] ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

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UNIVERSITÉCLAUDEBERNARDLYON1

Licence Sciences, Technologies, Santé

Enseignement de mathématiques

des parcours Informatique

ANALYSE MATRICIELLE

ET ALGÈBRE LINÉAIREAPPLIQUÉE

- Notes de cours et de travaux dirigés -

PHILIPPEMALBOS

1. Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3. Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4. Les polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

5. Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

6. Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1. La structure d"espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Bases et dimension d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3. Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4. Les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3. Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4. Trace d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

5. Noyau et image d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

6. Le rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

7. Opérations matricielles par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1. Définition récursive du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Premières propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3. Les formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4. Formulation explicite du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 1

2Table des matières

5. Calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

6. Calcul de l"inverse d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

7. Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

8. Annexe : rappels sur les groupes de symétries . . . . . . . . . . . . . .

18

9. Annexe : déterminants et formes multilinéaires alternées . . . . . . . .

20

1. Équations d"évolution linéaire couplées . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Le découplage de système d"équations . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3. La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . .

8

4. Marches sur un graphe et diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . .

11

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Valeurs propres et espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3. Calcul des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4. Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1. Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3. Une obstruction au caractère diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . .

12

4. Caractérisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . .

15

5. Matrices diagonalisables : premières applications . . . . . . . . . . . .

17

6. Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . .

20

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Polynômes de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3. Le lemme de décomposition en noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4. Le polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

5. Le théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6. Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3. Les espaces spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4. Décomposition spectrale géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Table des matières1

5. Décomposition spectrale algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

6. Calcul de la décomposition spectrale algébrique . . . . . . . . . . . . .

15

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1. Calcul des puissances d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1. Les suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. La suite de Fibonacci (1202) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3. Dynamique de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . .

2

2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Sommaire1. Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2. Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3. Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4. Les polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

5. Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

6. Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Ce chapitre contient peu de démonstrations, son rôle est de fixer les notations et de

rappeler les structures algébriques fondamentales, ainsi que les principaux résultats al- gébriques que nous utiliserons dans ce cours. Nous renvoyons le lecteur au cours de première année pour tout approfondissement.

§1 Ensembles et applications

0.1.1.Applications.-SoientAetBdeux ensembles. Uneapplication fdeAdansB

est un procédé qui à tout élementxdeAassocie un élément unique deB, notéf(x). On

notef:A!B, ouAf!B, ou encore f:A!B x!f(x):

On notef(A)l"image de l"ensembleA, définie par

f(A) =fyjy2B;9x2A;tel quey=f(x)g: 1

2CHAPITRE 0. PRÉLIMINAIRES ALGÉBRIQUES

L"image inverse d"un sous-ensembleYBest définie par f

1(Y) =fxjx2A;f(x)2Yg:

Une applicationf:A!Best diteinjectivesi,f(x) =f(y)impliquex=y. Elle est ditesurjectivesif(A) =B,i.e., pour touty2B, il existe unx2Atel quey=f(x). Une application est ditebijectivesi elle est à la fois injective et surjective. Sif:A!Betg:B!Csont deux applications, on notegf, ou encoregf, l"application, ditecomposée, définie par gf:A!C x!g(f(x)): La composée des applications est une opération associative, i.e., étant données trois applicationsAf!Bg!Ch!D, on a h(gf) = (hg)f:

0.1.2.Quelques ensembles fondamentaux de nombres.-Dans tout ce cours, nous

supposons connus les ensembles de nombres suivants et les opérations d"addition, de soustraction, de multiplication et de division sur ces ensembles : ?l"ensemble des entiers naturels, 0, 1, 2,:::, notéN, ?l"ensemble des entiers relatifs, notéZ, formé des entiers naturels et de leurs opposés, ?l"ensemble des rationnels, notéQ, formé des quotientspq , oùpetqsont des entiers relatifs, avecqnon nul, ?l"ensemble des réels, notéR, qui contient les nombres rationnels et les irrationnels, ?l"ensemble des complexes, notéC, formé des nombresa+ib, oùaetbsont des réels etiun complexe vérifianti2=1.

Sipetqsont deux entiers relatifs, on notera

Jp;qK=fa2Zjp6a6qg:

§2 Les corps

Uncorpsest un objet algébrique constitué d"un ensemble et de deux opérations sur cet ensemble, une addition et une multiplication, qui satisfont à certaines relations. Intu-quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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