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intégralement corrigésPierre Burg
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MATHÉMATIQUES
Professeur agrégé hors classe,
Pierre Burg
enseigne en lycée dans les sections scienti�ques et en section de technicien supérieur. Il intervient au CNED dans la préparation à l'agrégation interne.MATHÉMATIQUES
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L1 Dans la même collection, pour le même publicC������ C. & S������ A., Physique. Les fondamentaux en L1, 272 pages
B����� C., Chimie. Les fondamentaux en L1, 224 pagesB���� G., B���� J.-F. & B����� V., Biologie. Les fondamentaux en L1, 304 pages
Maquette et mise en page de l'intérieur∑: Hervé Soulard/Nexeme Maquette et mise en page de la couverture : Primo&PrimoDépôt légal :
Bibliothèque royale de Belgique : 2020/13647/093Bibliothèque nationale, Paris : juin 2020
ISBN : 978-2-8073-2760-3
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zB zCUFMMFT RVFzA=zCzBBMPST PO B " FTU MF NJMJFV EF <#$> zi z+i2iR zi z+i2RRe[(zi)(z+i)] =0
z1 z+i2iR0O DPOTJEÒSF MF OPNCSF DPNQMFYFz=1tan2+2itanPá2
i 4; 0 hRe(z)>0
jzj=1+tan2Arg(z) =+2k,k2Z
Im(z) = (1+tan2)sin2
z3+6z2+12z+9=0BENFU EBOTCUSPJT TPMVUJPOTz1,z2FUz3
UFMMFT RVFIm(z1) =0,Im(z2)>0,Im(z3)<0FU PO OPUFM1,M2,M3MFT JNBHFTEF DFT DPNQMFYFT 0 FTU MF QPJOU EhBYF OVMMF
3FTU TPMVUJPO EF &
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M1M2M3FTUVOUSJBOHMFSFDUBOHMFM1M2M3FTU VO USJBOHMF JTPDÒMF -FT OPNCSFT DPNQMFYFT�$�B�M�D�V�M�T �B�W�F�D �M�F�T �O�P�N�C�S�F�T �D�P�N�Q�M�F�Y�F�T
z=a+ibab i i2=1 a z a=Re(z)b b=Im(z) $BMDVM z1= (1+i)(12i) =12i+i2i2=3i i2=1 z2=414i22i=27i
1i=(27i)(1+i)
j1ij2=9 252i z3=1 2+i1 3i=1 103
10i z=a+ibz0=a0+ib0 (z=z0),(a=a0b=b0) M(z) M?(z) u v O z=a+ib z=aib z=z z2CRe(z) =z+z
2Im(z) =zz
2i (z1,z2)2C2 z2C z1+z2=z1+z2z1.z2=z1.z2 z =1 z (z2R),(z=z);(z2iR),(z=z) .PEVMF M(z) u v Ox y z jzj= p zz= p a2+b2 jzj z=0 jzj=jzj (z1,z2)2C2jz1z2j=jz1jjz2j z2C n2Njznj=jzjn n2Z z6=0 M(z)M0(z0) MM0=jz0zj M(z) u v Oa bP (O;#"u,#"v)
z=a+ib(a,b)M zz M(z)A(zA)B(zB) C# "OC=# "AB zBzA
# "AB (O,#"u) (O,#"v)BEEJUJPOC
u v O M(z)M?(z?)
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k M(z)M0(z0)z0=kz# "OM0=k# "OM
u v O M(z)M?(kz)
-FT OPNCSFT DPNQMFYFTNVMUJQMJDBUJPO QBSi
2 z0=izM0(z0)
M(z) 2 u v Oa b b a M(z) M(z) �-�BDPOKVHBJTPO M(z) M?(z) u v O &YFNQMF C z2+z1=0 z=x+iy x,y (x+iy)2+(xiy)1=0. R2¨x2y2+x1=0
y(2x1) =0 y=0 x2+x1 x=1p5 2 x=12 y
z2+z1=0 C &YFNQMF # "AB# "AC ba ca2R ba ca=ba ca # "AB# "AC ba ca2iR ba ca+ ba ca=0 z2=z0 z0=a+ib,(a,b)2R2z=x+iy,(x,y)2R2 (x+iy)2=a+ib, 8>< x2y2=a x2+y2= p a2+b22x y=b
8>>>><
x2=a+pa2+b2 2 y2=a+pa2+b2 22x y=b
C &YFNQMF z2=1+i2p2 8>< x2y2=1 x2+y2=32x y=2p2 x y
8>< x2=2 y2=12x y=2p2
z1=p2+iz2=z1 z1=b+2az2=b
2a ∆=b24ac4PNNF QSPEVJUS=z1+z2=b
aP=z1z2=c a 'BDUPSJTBUJPO z2Caz2+bz+c=a(zz1)(zz2) -FT OPNCSFT DPNQMFYFT &YFNQMF z2(3+4i)z1+5i=0 z2C ∆=3+4i2= (x+iy)2=∆ 8>< x2y2=3 x y=2 x2+y2=5 =(1+2i) z1=2+3iz2=1+i�'�B�D�U�P�S�J�T�B�U�J�P�O �E�F�T �1�P�M�Z�O�Ù�N�F�T �E�B�O�TC
P() =0 P(z) = (z)Q(z)Q n1
P &YFNQMF �0�O �B ��znn= (z)zn1+zn2++n2z+n1P(z) =z3+(8+i)z2+(178i)z+17i.
P z=ibb2R P(ib) =0 ib3+8b2ib2+17bi+8b+17i=0
b ¨8b2+8b=0 b3b2+17b+17=0 b=1 b=0 P(i) =0 P(z) =P(z)P(i) z0=i z2CP(z) =z3z3
0 +(8+i)z2z2 0 +(178i)(zz0) = (zz0)(z2+z0z+z20)+(8+i)(zz0)(z+z0)+(178i)(zz0)
= (zz0)z2iz1+(8+i)z+8i+1+178i = (z+i)(z28z+18)�&�Y�Q�P�O�F�O�U�J�F�M�M�F �E�h�V�O �D�P�N�Q�M�F�Y�F
isin) =rei cos=apa2+b2sin=bpa2+b2 r=jzj=arg(z) =#"u,# "OMmod 2 ei1SPEVJU (,0)eiei0=ei(+0)
'PSNVMF EF .PJWSF 2Rn2Z ein=ein(cos+isin)n=cos(n)+isin(n). 'PSNVMF E&VMFS 2R cos=ei+ei2sin=eiei
2i. 4PNNF ei+ei0=ei+0 2 ei02+ei+0
2 =2cos 2 ei+0 2. z=z0,jzj=jz0jet arg(z) =arg(z0)mod 2. pourz2C,z2R,arg(z) =0 mod,z2iR,arg(z) = 2mod. &YFNQMF z 1z3=1 z=ei e3i=e0i 3=2k,k2Z =2k3 1=0,2=2
33=23 z1=1z2=ei23=1 2+i p3
2z3=ei23=z2
ei23 j jj2=j -FT OPNCSFT DPNQMFYFT npr n+k2 nkZ zn=Z n nprP (O;#"u,#"v)
M1(z1)M2(z2)
k# "M1M2k=jz2z1jet#"u,# "M1M2 =arg(z2z1)mod 2.M1(z1),M2(z2),M3(z3),M4(z4) M16=M2M36=M4
# "M1M2,# "M3M4 =arg z2z1 mod 2. M1(z1),M2(z2),M3(z3) z3z1 z2z12R z7!az+ba2R �o�T�Ja=1 b �o�T�Ja6=1 a Ω ! !=a!+b z7!az+ba2Cjaj=1 �o�T�Ja=1 b �o�T�Ja6=1 =arg(a) Ω ! !=a!+b nX k=0 eikx n n¾2 n z7!az+ba2R a2Cjaj=1z7!z (AB)(CD) x z=tanx+i(12cos2x) jzij=jz+ij z -FT OPNCSFT DPNQMFYFT ����z2=7+24i ����z22(2+i)z+6+8i=0 ����iz2+(4i3)z+i5=0 a0a1...ann+1 p Cp(z) =a0+ a1z++anzn p(z) =0p(z) =0 z Z=z2(9+2i)z+26E M(z) Z
z=x+iy ����jzj+z=3+4i ����z2+z1=0P(z) =z3+(6i5)z+12+18i P P
ab reir>0 ����sinaicosa ����1+eia ����1+itana1itanaa6=
2+k,k2Z
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