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8

Conducteursen´equilibre´electr ostatiqu e

1Con ducteuren´equilibre´electr ostatiq ue

1.1Conducteur et´equilibre

Conducteur

Unconducteurestunmat´ eriaudan slequelleschargessed´e placentlors qu'uneforce´electr ostatiquele ur

estappliq u´ee,aussipetitesoit-elle.

-Naturedescharge smobiles:danslesm´e taux,seuls les´electronssontmobile s,ler´eseaudech arges

positives´etant`apeupr`es fixe(casparticulie rdest rousdansles semi-conducteur s...).Dans lesliquid eset

lesgaz,lesi onssed´ eplacenta ussi.

-Casparti culier´etudi´eici:Seulesforces´elect rostatiques,condu cteurshomog`enes,temp´eratureuni-

forme,pasd'influen ce´el ectromagn´etiquevariabledansletemps .

-Forcederappel: lesforces derappel`alasurf aceducon ducteur(attracti on´elec trostat iquedesnoyaux)

sonttoujours consid´er´eesicicom mesu santespourretenir les´elec tronsdum´etal.(siforcet ropgrande !´emissiond'e =ra yonscathodiques,s ichau age=´ emi ssionthermo´electronique)

Equilibre´electrostatique

Uncon ducteuresten´equilibre´electrostatiquesiiln' yapasd ed´eplacem ent decharge smobil es.La

r´epartitiondeschargesestconstanted ansletemp s.

Cons´equences

-Puisqueleschargesnebougen tpas( F

´e.s .

=0), lechamp ´elect rostatiqueest toujoursnuldansunconduc- teur: E int =0. -Silech ampest nul,etpuisqu e E= gradV,le potent ielestconstant`al'int´eri eurducondu cteur.C'est unvolum e´equipotentiel . 81

82Chapitre8-Conducteursen´equi libr e´el ectrostatique

-Lescharge senexc`esnepeu ventpas ser´epartirdanslevol ume.En e↵et,appliqu onsleth´eor`emedeGauss

`aunes urfacefer m´eeS gauss quelconqueinclusedanslevolume .Lefluxduchampsurcettes urfaceest nul,

Figure8.1:Surfacede Gaussquelconque`a l'int´ erieurd'uncondu cteurcharg´e.Sileconducteurest en´equ ilibre

´electrostatique,ilnepeutpasyavoirdecharges`al'i nt´erie ur. puisquelechampestnul. Donc Z

Sgauss

E. dS=0= Q int 0 (8.1) lasomme deschargesint ´erieures `acettesurfacee stnulle.

Donclesch argesexc´ed entairesnepeuve ntser´epartirquesurlasurfaceduconducteur. Onaune densit´e

surfaciquedecharges.Ex p´erimentalement,onconstatequeleschargesser´epartissente↵ectivementsur

une´epais seurdequelques A.

-Lasu rfaceduconducteures tune´e quipotentielle(voirplushaut). Puisquel eslignesdechamp´electrostatique

sontperpe ndiculairesauxsurfaces´equipotentielles)lechamp cr´e´e`al'ex t´erieurpr`esdela surface est?

`ace ll e-c i. Exemple:conducteurnonc harg ´edansunchampuniforme.

Figure8.2:Lescharge sdansunc onducteurneutreplac ´edansuncha mp´ele ctrostatiqueuniformesed´eplacent pour

annulerlechampdansle conduc teur.Lechampext ´erieurenestm odifi´e . Lescharge squipeuventsem ouvoirsed´e placentverslasurfacepou rannul erexactementlech amp

Epartout

`al'in t´erieurduconducteur!

1.2Cavit ´evidedansunconducteur

Consid´eronsunecavit´ecreus´eed ansunconduc teur,cettecavit´e´et antenti`erement"incluse"d ansleconduc -

teur.Notons lasur facedecettecavit´e.

Enl'abs encedecharges,lepotentieln epeut pasavoird'extrˆemum( sic'´ etaitlecas,onauraitunensembl e

deligne sdechampquipartir aientt outesdecetext rˆemum,d oncilyauraitunechargeencepoint).

1-C ond ucteuren´equilibre´electrostati que83

Figure8.3:Cavit´e⌃dansunconduc teur.Un esurfacedeGaussGquelconqueestrepr´esent´ee.

Orlepot entie lestconstant(notons-leV

0 )su rtoutelasu rface ,com medanstoutlec onducteur. Donc

V=cte=V

0 partoutdanslacavi t´e.

E=0d ansl acavit´e.

!vraiquelqu esoitlechampext´erieur auconducteu r)blindagecontreleschamp sext´erieurs=cagede

Faraday

CagedeFar aday,pr otectioncontrelafoudr e,voircourantsdeterre.

Recherchepersonnelle

Etsiil yavaitu necharge su rfaciquesur

?Uti lisationduth´eor`emedeGauss G`achev alentrelacavit´ eet lecondu cteur:fluxduchampnulcarchampn ul)(⌃)=0. Tout ech argeexc´edent aireseretrouv esurla surfaceext´erieured uconducteur.

1.3Th´ eor`emedeCoulomb

Calculduchampauvoi sinageim m´ediatd'unc ondu cteurcharg´e. Figure8.4:SurfacedeG aussutilis´eep ourd´e montrerleth´eor `emedeCoulomb UtiliseunesurfacedeG aussG=cy lindre`achevalsurlasurfac eext´ erieureduconduct eur.Lasur facede baseestinfi nit´esimal edS.

Nousavons vu

E=0d ansl econducteu r

84Chapitre8-Conducteursen´equi libr e´el ectrostatique

E?`alasu rfaceju steaudessusdecelle -ci.Donc

Eet dSsontcolin´ eaires(rappel: dSestperp`al' ´el ´em ent desurf acedS) doncleflux( ´el´em entairecar dSestunesur face´el´em entaire)est d= E. dS=E.dS= q int 0 etcomme lachargeint´er ieure `alasurfacede Gaussestq int =.dS,le champs' ´ecrit: E= 0 n

C'estleth´eor`emedeCoulomb:

Auvoi sinageimm´ediatd'unc onducteurportantlocalementu nedensit´ede chargesurfacique,le champ ´electrostatiqueestport´eparlanormale`alasurfac eetvaut E= 0 n(8.2) 0 ))etli enavec leth´eor`eme deCoulom b.

Pression´electrostatiqu e...

1.4Capacit ´ed'unconducteuren´equilibre´electrostatique

Pouruncondu cteure n´equilibre´electrostatique, ilyau nlienentrelepotentielauquelcecon ducteursetrouve

etlach argequie str´eparties ursasurfac e.Ene et,lepoten tiele ntoutpointM`al'in t´erieurduconducteur peuts'´ecr ire V= 1 0 ZZ S e dS r o`uSestlasurf aceducon ducteur, e estladens it´esu rfaciquedechargeetrladist ancedupointMs´electionn´e `al'´e l´ementdesurfacedS. Or,lacharge totaleQestlasomm edesch arges´el´ement aires: Q= ZZ S e dS

Doncsil'on multip lie

e parunco e cientquelconque ,pu isquel'int´egraleestun eop´erationlin´eaire,V etQserontaussimultip li´espar.Don clerapportQ/Vestunecons tante.Onl' appellecapacit´epropredu

conducteurisol´e,c'est`adire seuldansl'espace.Sav aleurd´ependuni quemen tdelaformeet delagrandeurde

sasurf ace:

Q=CV(8.3)

2-E nsem bledeconducteursen´equi libre´el ectrostatique85

L'unit´edecapacit´eestl eFarad,sy mboleF.C' estuneunit´etr` esgrande.O nutilisepluscommun ´ementle

µF(10

6

F),voirele pF(10

12 F)

Exemple:pourunesph`er e,V=

1 0 Q R 0 R retrouverl'expressiondupot entieldanslecasdelasph`ere

Recherchepersonnelle

Applicationnum´erique:pourl aTerre,C=700µF!

2En sembledeconducteursen´eq uilibr e´electrostatique

2.1Propri ´et´esdeslignesdechamp

Soitlecasd edeuxc onducte urs`ap roximit´el' undel'autre,l'uncharg´e(Q 1 >0)et l'autre non(Q 2 =0).

Lescharge sdansleconducteu rneutrevon tsed´e placerpourannulerlechamp`al'in t´erieurdececonduc teur.

Figure8.5

Lesligne sdechamppr´esen tentce rtainespropri ´et´es: -Uneligne dechampest?`alasu rfacede sconducteursetpartd 'uner´egion o`uladensit´esurfaciqueest >0,se termi nesuruner´egion<0oub ien `al'infini.

-Lelon gd'unelign edechamp,lepoten tield´ecroitf orc´em ent(sinonminimum dupoten tiel,donccharges

pr´esentessurlalignedechamp,ceq uiestfaux) .Cons´e quence:puis qu'unc onducteurdonn´ee stpartou t

aumˆ emepotentielV,un elignedech ampnepeutpasa voirses deuxextr´emi t´ess urlemˆemecond ucteur .

)vade V 1 `aV 2 oubi endeV 1 `al' infi ni. -Sionappl iqu eleth´eor`emedeGausssu runtub edechampquicommencesuruncondu cteur etfinitsur unautre .SurfacedeGauss= tubedechamp+bouchons `al'in t´erieurdes cond ucteurs.

Al' int´erieurdesconducteurs

E=0e tsu rletub edechamp, pard´efi nition

E? dS.Don clefluxtotal est nul: Z S E. dS=0( 8.4)

86Chapitre8-Conducteursen´equi libr e´el ectrostatique

Figure8.6

Lesseul escharges`al'int´er ieurdelasurfaced eGauss sontcellespr´esentes`alasurfacedescond ucteur s.

Onaq 1 surlecondu cteur1 etq 2 surlecondu cteur2. Etd'apr`esleth´eor`emedeGauss : =0= q 1 +q 2 0 )q 1 =q 2 (8.5)

Onditq uelessur facesdescon ducteurs `al'int´erieurdutubed echampsont des´el´ementscorrespondants.

2.2Conducteurs eninfluencepartielle

Surlesch´ emadel afigure8.5,onv oitu nexemple o`udeu xconducteurss'influenc entmaiscer taineslignes

dechamp partentdel'un desconducteurs`al' infini.

Onditq u'onainfluencepartielle.

Onavul et h´eor`e medesu perposition.Sionadeux´etatsposs iblesd 'unsyst`eme,l'´etatquiseraitlasomme

desdeux(s ommedescharges ,sommedespotentie lsoudesch amps)est´egalementun´ etatpossible.

Ilestal orspossible d'´ecrir elarelationentrechargeet potentiels,forc´ementunpeupl uscompl iqu´eeque

danslecasd 'uncond ucteur isol´e: Q 1 =C 11 V 1 +C 12 V 2 Q 2 =C 21
V 1 +C 22
V 2 (8.6)

Cesyst `emed'´equationsexprimequ elachargeQ

1 d´ependlin´eairementd upotentielV 1 ,com medanslecasd' un conducteurseul,maisaussidupote ntielV 2 ,pu isqu'ilyaundeuxi`emeconduct eu rqu iinflue ncelescharges. LesC ij sontlescoecientsdecapacit´e,qu inesontpasi dentiq ues`alac apacit´e d'unconducteurseuldans l'espace.

2.3Conducteurs eninfluencetotale

Consid´eronslaconfigurationdelafigure8.7.Unc ondu cteurcreux("conducteur2")entou recompl`etement un"condu cteur1". Conducteur)lescharges sontsurlasurface. Lachargetotal esurlecond ucteur 2estdoncQ 2 =Q 0 2 +Q 00 2 Q 0 2 ´etantlacharge`al' int´e rieurdelacav it´e,Q 00 2 cellesurlasurfac eext´eri euredu conducteur.

Nousallons supposerquele potentielV

2 ducondu cteurexterneestnul(reli´e `al'infiniparunfilm´etal lique parexem ple).

Voyonslescons´equ ences.

-PuisqueV 2 =0,l esc hargestotales d´ependentdupot entielV 1 Q 1 =C 11 V 1 Q 2 =C 21
V 1 (8.7)

3-C ond ensateurs87

Figure8.7

-Toutesleslignesd echampontun eextr´emit´esu rlecond ucteur1etl' autresu rleconduct eur2.Sion appliqueleprincipedes ´el´em entscorrespondants(voirci-d essus),ona Q 0 2 +Q 1 =0 -PuisqueV 2 =0=V 1 ,il n'yap asdevariation dep otentie l`al' ext´erieurduconduct eur2d onclechamp ext´erieurestnul E ext =0.D oncl achargeQ 00 2 =0 -Misensem ble,lespointspr´ec´edentsdon nent Q 2 =Q 1 )C 11 =C 21
(8.8)

Lade rni`ere´egalit´eC

11 =C 21
d´efinitdeuxconducteurs eninfluencetotale.On peutm ieuxs'enrappe ler enpens antquetouteslesligne sdechampp artantd'unconducte urseterm inentsurl'autre.

Dansuncastr `esg´e n´eral (passeulementV

2 =0c omme ici),onmontreq uelesdeuxcoe cientsC 12 etC 21
danslesys t`emed '´equations8.6sont´egaux: C 12 =C 21
(8.9)

3Con densateurs

3.1D´ efinitions

Uncondensateurestunense mbled e2conducteurseninfluencet otale.On appe lleQ=Q 1 lacharge du condensateur,chargedel'armatureintern edel'exemple delase ction2.3. Onappel lecapacit´educonde nsateurlecoecientdecapacit´e C 11 C=C 11 =C 21
=C 12 (8.10) alors,lachargedu condens teurs'´ecri tenfonc tiondepotentielsV 1 etV 2 (pasforc´e mentnul): Q 1 =C 11 V 1 +C 12 V 2 )Q=CV 1 CV 2 d'o`ul'expressi on Q=C(V 1 V 2 )(8. 11)

88Chapitre8-Conducteursen´equi libr e´el ectrostatique

3.2Calcul decapacit´e

Pourcalcule runecapacit´e,larecett eesttr`es souventcelle-ci:

-Lepr obl`emeaeng´en´eralunesym ´et riequ ipermetd'utiliserleth´e or`emedeGau ss.Oncalculedoncle

champentoutpoi ntdel' espaceentr elesconducte urs.

-Connaissantlechamp,onapplique larelat ionchamp-potentie l2.17pourcalcul erladi↵´erencedepotentiel

entrelesdeuxcond ucteurs: V 1 V 2 Z E· dl(8.12) o`ul'int ´egralesefaitsuruncheminreliantlecon ducteu r1auconduct eur2. -Silach argen'es tpasconnueousi onn'utilisepaslac hargetot aleQdansleth´e or`emed eGaussdela premi`ere´etapeci-dessus,onp eutlaplupartdute mpslacalculerens'aidantduth´eor` eme deCoulomb.

Celui-cidonneladensit´es urfaciquedech arge

e .Lac harge totaleestalors Q= ZZ S e

·dS(8.13)

o`ul'int´ egralesefaitsurtoutelasurfaceduconduc teur1. -Derni`ere´etape,utiliserl'´ equation8.11 C= Q V 1 V 2 (8.14)

Catien tdelarecettede cuisin e...m ais¸cafonctionneassezbien pourde sg´eom´etriessimples(sph´eriqu es,

planes,...).

4Exe mples,applications

Capacit´ed'uncondensateu rsph´erique.

Avoi renTD(peu t-ˆetr e...)

quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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