[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Intégrales impropres

1. Définitions et premières propriétésLa plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons

apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que l"intervalle d"intégration est infini

(allant jusqu"à+1ou1), soit parce que la fonction à intégrer tend vers l"infini aux bornes de l"intervalle. Pour

assimiler ce chapitre, vous avez juste besoin d"une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d"une

bonne compréhension de la notion de limite.

1.1. Points incertains

Considérons par exemple la fonctionfqui àt2]1,0[[]0,+1[associef(t) =sinjtjjtj32. Comment donner un sens à

l"intégrale defsurR?tsinjtjjtj3=2•

On commence d"abord par identifier lespoints incertains, soit+1, soit1d"une part, et d"autre part le ou les

points au voisinage desquels la fonction n"est pas bornée (t=0 dans notre exemple).

On découpe ensuite chaque intervalle d"intégration en autant d"intervalles qu"il faut pour que chacun d"eux ne

contienne qu"un seul point incertain, placé à l"une des deux bornes.

Nous souhaitons une définition qui respecte la relation de Chasles. Ainsi l"intégrale sur l"intervalle complet est la

somme des intégrales sur les intervalles du découpage.

Dans l"exemple de la fonctionf(t) =sinjtjjtj32ci-dessus, il faut découper les deux intervalles de définition]1,0[et

]0,+1[en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler1et+1, et 2 autres pour le point incertain 0. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS2

On pourra écrire pour cet exemple :Z

+1 1 f(t)dt=Z 1 1 f(t)dt+Z 0

1f(t)dt+Z

1 0 f(t)dt+Z +1 1 f(t)dt.

•Le seul but est d"isoler les difficultés : les choix de1et1comme points de découpage sont arbitraires (par

exemple3 et 10 auraient convenu tout aussi bien).

1.2. Convergence/divergence

Par ce découpage, et par changement de variablet7! t, on se ramène à des intégrales de deux types.

1.

Intégrale sur [a,+1[.

2. Intégrale sur ]a,b], avec la fonction non bornée ena.

Nous devons donc définir une intégrale, appeléeintégrale impropre, dans ces deux cas.Définition 1.1.

Soitfune fonction continue sur[a,+1[. On dit que l"intégraleR+1 af(t)dtconvergesi la limite, lorsquextend vers+1, de la primitiveRx af(t)dtexiste et est finie. Si c"est le cas, on pose : Z +1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt. (1) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge. 2. Soitfune fonction continue sur]a,b]. On dit que l"intégraleRb af(t)dtconvergesi la limite à droite, lorsque xtend versa, deRb xf(t)dtexiste et est finie. Si c"est le cas, on pose : Z b a f(t)dt=limx!a+Z b x f(t)dt. (2) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.Remarque.

•Convergence équivaut donc à limite finie. Divergence signifie soit qu"il n"y a pas de limite, soit que la

limite est infinie.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec l"intégrale d"une fonction qui serait continue sur[a,b]

tout entier (au lieu de]a,b]). On sait que la primitiveRb xf(t)dtest une fonction continue. Par conséquent, l"intégrale usuelleRb af(t)dtest aussi la limite deRb xf(t)dt(lorsquex!a+). Dans ce cas, les deux intégrales coïncident.

1.3. Exemples

Quand on peut calculer une primitiveF(x)de la fonction à intégrer (par exempleF(x) =Rx af(t)dt), l"étude de la convergence se ramène à un calcul de limite deF(x). Voici plusieurs exemples.

Exemple 1.

L"intégraleZ+1

011+t2dtconverge.

En effet,

Zx

011+t2dt="

arctant— x

0=arctanxet limx!+1arctanx=2

On pourra écrire :

Z+1

011+t2dt="

arctant— +1 0=2

à condition de se souvenir que

arctant— +1

0désigne une limite en+1.

INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS31

1+t2Cela prouve que le domaine sous la courbe n"est pas borné, mais cependant son aire est finie!

Exemple 2.

Par contre, l"intégraleZ+1

011+tdtdiverge.

En effet,

Zx

011+tdt="

ln(1+t)— x

0=ln(1+x)et limx!+1ln(1+x) = +1.

Exemple 3.

L"intégraleZ1

0 lntdtconverge.

En effet,

Z1 x lntdt=" tlntt— 1 x=xxlnx1 et limx!0+(xxlnx1) =1 .

On pourra écrire :

Z1 0 lntdt=" tlntt— 1 0=1 .

Exemple 4.

Par contre, l"intégraleZ1

01t dtdiverge.

En effet,

Z1 x1t dt=" lnt— 1 x=lnxet limx!0+lnx= +1.

1.4. Relation de ChaslesLorsqu"elle converge, cette nouvelle intégrale vérifie les mêmes propriétés que l"intégrale de Riemann usuelle, à

commencer par la relation de Chasles :Proposition 1(Relation de Chasles). Soitf:[a,+1[!Rune fonction continue et soita02[a,+1[. Alors les intégrales impropresR+1 af(t)dtetR+1 a

0f(t)dt sont de même nature. Si elles convergent, alorsZ

+1 a f(t)dt=Z a0 a f(t)dt+Z +1 a

0f(t)dt.

" Être de même nature » signifie que les deux intégrales sont convergentes en même temps ou bien divergentes en

même temps.

Le relation de Chasles implique donc que la convergence ne dépend pas du comportement de la fonction sur des

intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de+1. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS4

Démonstration.La preuve découle de la relation de Chasles pour les intégrales usuelles, aveca6a06x:

Z x a f(t)dt=Z a0 a f(t)dt+Z x a

0f(t)dt.

Puis on passe à la limite (lorsquex!+1).Bien sûr, si on est dans le cas d"une fonction continuef:]a,b]!Ravecb02]a,b], alors on a un résultat similaire,

et en cas de convergence :Zb a f(t)dt=Z b0 a f(t)dt+Z b b

0f(t)dt.

Dans ce cas la convergence de l"intégrale ne dépend pas deb, mais seulement du comportement defau voisinage de

a.

1.5. Linéarité

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales usuelles et des limites.Proposition 2(Linéarité de l"intégrale).

Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,+1[, et,deux réels. Si les intégralesR+1 af(t)dtetR+1 ag(t)dt convergent, alorsR+1 af(t)+g(t)dt converge et Z +1 a f(t)+g(t)dt=Z +1 a f(t)dt+Z +1 a

g(t)dt.Les mêmes relations sont valables pour les fonctions d"un intervalle]a,b], non bornées ena.

Remarque : la réciprocité dans la linéarité est fausse, il est possible de trouver deux fonctionsf,gtelles queR+1

af+g converge, sans queR+1 af, niR+1 agconvergent. Trouvez un tel exemple!

1.6. PositivitéProposition 3(Positivité de l"intégrale).

Soient f,g:[a,+1[!Rdes fonctions continues, ayant une intégrale convergente.Si f6g alorsZ +1 a f(t)dt6Z +1 a g(t)dt.En particulier, l"intégrale (convergente) d"une fonction positive est positive :

Sif>0 alorsZ

+1 a f(t)dt>0

Une nouvelle fois, les mêmes relations sont valables pour les fonctions définies sur un intervalle]a,b], non bornées

ena, en prenant bien soin d"avoiraRemarque.

Si l"on ne souhaite pas distinguer les deux types d"intégrales impropres sur un intervalle[a,+1[(ou] 1,b])

d"une part et]a,b](ou[a,b[) d"autre part, alors il est pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique :R=R[f1,+1g

Ainsi l"intervalleI= [a,b[aveca2Retb2Rdésigne l"intervalle infini[a,+1[(sib= +1) ou l"intervalle fini

[a,b[(sib<+1). De même pour un intervalleI0=]a,b]aveca=1oua2R. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS5

1.7. Critère de CauchyOn termine par une caractérisation de la convergence un peu plus délicate (qui peut être passée lors d"une première

lecture). Rappelons d"abord le critère de Cauchy pour les limites. Rappel: Soitf:[a,+1[!R. Alors limx!+1f(x)existe et est finie si et seulement si

8 >09M>au,v>M=)f(u)f(v)< .Théorème 1(Critère de Cauchy).

Soit f:[a,+1[!Rune fonction continue. L"intégrale impropreR+1 af(t)dt converge si et seulement si

8 >09M>a

u,v>M=)Z v u f(t)dt< .Démonstration. Il suffit d"appliquer le rappel ci-dessus à la fonctionF(x) =Rx af(t)dtet en notant queF(u)F(v)=Rv uf(t)dt.1.8. Cas de deux points incertains

On peut considérer les intégrales doublement impropres, c"est-à-dire lorsque les deux extrémités de l"intervalle de

définition sont des points incertains. Il s"agit juste de se ramener à deux intégrales ayant chacune un seul point

incertain.Définition 2. Soienta,b2RavecaLes relations de Chasles impliquent que la nature et la valeur de cette intégrale doublement impropre ne dépendent

pas du choix dec, avecaAttention!

Si une des deux intégralesRc

af(t)dtou bienRb cf(t)dtdiverge, alorsRb af(t)dtdiverge. Prenons l"exemple deR+x xtdtqui vaut toujours0, pourtantR+1

1tdtdiverge! En effet, quel que soitc2R,R+x

ctdt=x22 c22 tend vers+1(lorsquex!+1).

Exemple 5.

Est-ce que l"intégrale suivante converge?Z+1

1tdt(1+t2)2

On choisit (au hasard)c=2. Il s"agit de savoir si les deux intégralesZ 2

1tdt(1+t2)2etZ

+1

2tdt(1+t2)2

convergent.

En notant qu"une primitive de

t(1+t2)2est12

11+t2, on obtient :

Z 2 xtdt(1+t2)2=12

11+t2—

2 x=12 15

11+x2‹

! 110 lorsquex! 1. Donc R2

1tdt(1+t2)2converge et vaut110

De même

Zx

2tdt(1+t2)2=12

11+t2—

x 2=12

11+x215

!+110 lorsquex!+1. Donc R+1

2tdt(1+t2)2converge et vaut+110

AinsiR+1

1tdt(1+t2)2converge et vaut110+110=0. Ce n"est pas surprenant car la fonction est une fonction impaire.

Refaites les calculs pour une autre valeur decet vérifiez que l"on obtient le même résultat.

INTÉGRALES IMPROPRES2. FONCTIONS POSITIVES6On termine en expliquant le plan du reste du chapitre. Lorsque l"on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à

deux types de méthode : soit la fonction est de signe constant au voisinage du point incertain, soit elle change de

signe une infinité de fois dans ce voisinage (on dit alors qu"elle " oscille »). Nous distinguerons aussi le cas où le point

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