Calculs dintégrales
Exo7. Calculs d'intégrales. Fiche d'Arnaud Bodin soigneusement relue par Chafiq Benhida Calculer les primitives suivantes par changement de variable.
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Mais il est important d'arriver rapidement à savoir calculer des intégrales : à l'aide de primitives ou par les deux outils efficaces que sont l'intégration par
Calculs de primitives et dintégrales
Exo7. Calculs de primitives et d'intégrales. Exercices de Jean-Louis Rouget. Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les ...
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Calculer l'intégrale de ? le long de tout cercle du plan parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Même question avec ? = y2dx+x2dy. Correction ?.
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(Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes : 1. (**) ? +? (Hors programme) Convergence et calcul de / +?.
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Propriétés de l'intégrale . exo7.emath.fr. Licence Creative Commons – BY-NC-SA – 3.0 FR ... complexes qui rend les calculs exacts et vérifiables.
Intégrales dépendant dun paramètre
Intégrales dépen- dant d'un paramètre. Très souvent la solution d'une équation différentielle aboutit au calcul d'une primitive :.
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Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales de 10 et de L'existence et l'unicité viennent de la théorie de l'intégrale : ln(x) = ? x.
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159 220.08 Equations différentielles. 712. 160 220.09 Intégrales. 714. 161 220.10 Analycité. 715. 162 220.99 Autre. 716. 163 221.01 Calcul de coefficients.
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Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés soit parce que l'intervalle d'intégration est infini. (allant jusqu'à +? ou ??)
I : Incontournable
Exercice 1**Calculer l" intégrale de la forme différentiellewle long du contour orientéCdans les cas suivants :
1.w=xx
2+y2dx+yx
2+y2dyetCest l"arc de la parabole d"équationy2=2x+1 joignant les points(0;1)et
(0;1)parcouru une fois dans le sens desycroissants.2.w= (xy3)dx+x3dyetCest le cercle de centreOet de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.
3.w=xyzdxetCest l"arcx=cost,y=sint,z=costsint,tvariant en croissant de 0 àp2
trigonométrique. Même question avecw=y2dx+x2dy.1.I=ZZ
D2.I=ZZ
[1;1]2jx+yjdxdy.3.I=ZZ
D xy dxdyoùDest la partie du plan limitée par les paraboles d"équations respectivesy=x2et x=y2.4.I=ZZ
x2+y26111+x2+y2dxdy.
5.I=ZZ
x6x2+y261dxdy(1+x2+y2)2.6.I=ZZZ
06x6y6z61xyzdxdydz.
7.I=ZZZ
px+py+pz61zdxdydz.R+¥
0sinxx
dx). 11.retRsont deux réels strictement positifs tels quer w=eyx 2+y2((xsinxycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy)
le long de ce contour orienté. 2. En déduire
RR rsinxx dxen fonction d"une autre intégrale. 3. En f aisanttendre rvers 0 etRvers+¥, déterminer la valeur deR+¥ 0sinxx
dx. Calculer l"aire du domaineD=f(x;y)2R2=2p1x6y262p2xet 2q2y6x262q2yg. y2+34 z2+xz=1. longueur etAl"aire délimitée par la courbe fermée(C). Montrer que A6L24p.
Pourcela, onsupposeratoutd"abordL=2petonchoisirauneparamétrisationnormaledel"arc. Onappliquera ensuite la formule de PARSEVALaux intégrales permettant de calculerLetAet on comparera les sommes des séries obtenues. CalculerI=ZZ
x 2a 2+y2b 261(x2y2)dxdy.
Correction del"exer cice1 N1.Cest l"arc paramétrét7!t212 ;t ,tvariant en croissant de1 à 1. Z C w=Z 1 10 B @(t21)=2 t212 2+t2t+t
t212 2+t21 C Adt =0(fonction impaire): R Cw=2ln2.2.
Z C w=Z 2p 0((costsin3t)(sint)+cos3t(cost))dt=Z
2p 0(cos4t+sin4tcostsint)dt
Z 2p 0((cos2t+sin2t)22cos2tsin2tcostsint)dt=Z
2p 0 1sin(2t)2
sin2(2t)2 dt Z 2p 0 1sin(2t)2
14 (1cos(4t)) dt=2p 114
=3p2 R Cw=3p2
.3. Z C w=Z p=2 0(costsintcostsint)(sint)dt=Z
p=2 0cos2tsin3t dt
Z p=2 0(cos2tsint+cos4tsint)dt=cos3t3
cos5t5 p=2 0 =13 +15 =215 R Cw=215
en déduit quewest exacte surR2d"après le théorème de SCHWARZ. Par suite, l"intégrale dewle long
de tout cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique est nulle. quewn"est pas exacte surR2. L"intégrale dewle long d"un cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique n"est plus nécessairement nulle. On parcourt le cercleCle cercle de centre(a;b)et de rayonR>0 une fois dans le sens trigonométrique
ou encore on considère l"arc paramétrég:t7!(a+Rcost;b+Rsint),tvariant en croissant de 0 à 2p.
4 Z g w=Z 2p 0(b+Rsint)2(Rsint)+(a+Rcost)2(Rcost)dt
=RZ 2p =R2Z2p 0(2acos2t2bsin2t+R(cos3tsin3t))dt
=R2Z2p =R2Z2p 0(ab+R(costsint)(1+costsint))dt
=R2 2p(ba)+Z
2p 0R(costsint+cos2tsintcostsin2t)dt
=2pR2(ba):Correction del"exer cice3 N1.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=x61;y61;x+y>1g.1 1I=ZZ D (x+y)dxdy=Z 1 0 Z1 1x(x+y)dy
dx(ou aussiZ 1 0 Z1y 0(x+y)dx
dy) Z 1 0 xy+y22 y=1 y=1xdx=Z 1 0 x+12 x(1x)(1x)22 dx Z 1 0 x22 +x dx=16 +12 =23 ZZ D (x+y)dxdy=23 .2.Si on pose pour (x;y)2=mbr2,f(x;y)=jx+yjalors pour tout(x;y)2R2,f(x;y)=f(x;y)ou encore fprend les mêmes valeurs en deux points symétriques par rapport àO. Puisque le pointOest centre de
symétrie de[1;1]2, on en déduit que 5 I=ZZ 16x;y61;x+y>0f(x;y)dxdy+ZZ
16x;y61;x+y60f(x;y)dxdy
=2ZZ 16x;y61;x+y>0(x+y)dxdy=2Z
1 1 Z1 x(x+y)dy dx =2Z 1 1 xy+y22 y=1 y=xdx=2Z 1 1 x+12 +x2x22 dx =212 23
+12 2 =83 ZZ [1;1]2jx+yjdxdy=83 .3.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=06x61;06y61;x26y6pxg.1 2 3 412 12 1 2I=Z 1 0 Zpx x 2y dy x dx=Z 1 0xy22 y=px y=x2dx=12 Z 1 0x(xx4)dx=12
13 16 112
4. En passant en polaires, on obtient
I=ZZ x 2+y26111+x2+y2dxdy=ZZ
06r61;06q62p11+r2rdrdq
Z1 0r1+r2dr
Z2p 0dq (intégrales indépendantes) =2p12 ln(1+r2) 1 0 =pln2: ZZ x 2+y26111+x2+y2dxdy=pln2.5.Posons D=f(x;y)2R2=x6x2+y261g. Puisquex6x2+y2,x12
2+y2>14
,Dest l"intersection de l"intérieur du disque de centreOet de rayon 1, bord compris, et de l"extérieur du disque de centre12
;0et de rayon12 , bord compris. SoitMun point du plan. On note(r;q)un couple de coordonnées polaires deMtel quer>0 etq2[0;2p]. 6 M2D,rcosq6r261,r=0 ou(0cosq.11
1 1En passant en polaires, on obtient
I=2ZZ x6x2+y261;y>01(1+x2+y2)2dxdy=2 Zp=2 0 Z1 cosqr(1+r2)2dr dq+Z p p=2 Z1 0r(1+r2)2dr
dq =2 Zp=2 0 12(1+r2)dr
1 cosqdq+Z p p=2 12(1+r2)dr
1 0 dq! Z p=2 0 11+cos2q12
dq+Z p p=212 dq=Z p=2 011+cos2qdq
Z p=2 011 cos 2q+1dqcos
2q=Z p=2 012+tan2qd(tanq) =Z
01t 2+2dt=1p2
arctantp2 0 =p2 p2 RR x6x2+y2611(1+x2+y2)2dxdy=p2 p2 .6. I=ZZZ 06x6y6z61xyzdxdydz=Z
1 0 Z1 x Z1 yzdz ydy xdx=Z 1 0 Z1 x12 (1y2)ydy xdx 12 Z 1 0 Z1 x(yy3)dy xdx=12 Z 1 0 y22 y44 1 x xdx=12 Z 1 0 14 x22 +x44 xdx 18 Z 1 0(x52x3+x)dx=18
16 12 +12 =148 RRR 06x6y6z61xyzdxdydz=148
.7.En sommant par tranches, on obtient I=ZZZ px+py+pz61zdxdydz=Z 1 0 ZZ px+py61pz dxdy zdz Z 1 0 ZZ pu+pv61(1pz)4dudv zdz(en posantx= (1pz)2uety= (1pz)2v) =A(D)Z 1 0z(1pz)4dzoùD=f(u;v)2R2=pu+pv61g:
Maintenant,
7 A(D) =R1
0 R(1pu)2
0dv du=R1 0(12pu+u)du=143
+12 =16 et R 1 0z(1pz)4dz=R1
0(z4z3=2+6z24z5=2+z3)dz=12
85
+287
+14quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
2+y2((xsinxycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy)
le long de ce contour orienté. 2.En déduire
RR rsinxx dxen fonction d"une autre intégrale. 3. En f aisanttendre rvers 0 etRvers+¥, déterminer la valeur deR+¥0sinxx
dx. Calculer l"aire du domaineD=f(x;y)2R2=2p1x6y262p2xet 2q2y6x262q2yg. y2+34 z2+xz=1. longueur etAl"aire délimitée par la courbe fermée(C). Montrer queA6L24p.
Pourcela, onsupposeratoutd"abordL=2petonchoisirauneparamétrisationnormaledel"arc. Onappliquera ensuite la formule de PARSEVALaux intégrales permettant de calculerLetAet on comparera les sommes des séries obtenues.CalculerI=ZZ
x 2a 2+y2b261(x2y2)dxdy.
Correction del"exer cice1 N1.Cest l"arc paramétrét7!t212 ;t ,tvariant en croissant de1 à 1. Z C w=Z 1 10 B @(t21)=2 t2122+t2t+t
t212 2+t21 C Adt =0(fonction impaire): RCw=2ln2.2.
Z C w=Z 2p0((costsin3t)(sint)+cos3t(cost))dt=Z
2p0(cos4t+sin4tcostsint)dt
Z 2p0((cos2t+sin2t)22cos2tsin2tcostsint)dt=Z
2p 01sin(2t)2
sin2(2t)2 dt Z 2p 01sin(2t)2
14 (1cos(4t)) dt=2p 114=3p2 R
Cw=3p2
.3. Z C w=Z p=20(costsintcostsint)(sint)dt=Z
p=20cos2tsin3t dt
Z p=20(cos2tsint+cos4tsint)dt=cos3t3
cos5t5 p=2 0 =13 +15 =215 RCw=215
en déduit quewest exacte surR2d"après le théorème de SCHWARZ. Par suite, l"intégrale dewle long
de tout cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique est nulle. quewn"est pas exacte surR2. L"intégrale dewle long d"un cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique n"est plus nécessairement nulle.On parcourt le cercleCle cercle de centre(a;b)et de rayonR>0 une fois dans le sens trigonométrique
ou encore on considère l"arc paramétrég:t7!(a+Rcost;b+Rsint),tvariant en croissant de 0 à 2p.
4 Z g w=Z 2p0(b+Rsint)2(Rsint)+(a+Rcost)2(Rcost)dt
=RZ 2p =R2Z2p0(2acos2t2bsin2t+R(cos3tsin3t))dt
=R2Z2p =R2Z2p0(ab+R(costsint)(1+costsint))dt
=R22p(ba)+Z
2p0R(costsint+cos2tsintcostsin2t)dt
=2pR2(ba):Correction del"exer cice3 N1.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=x61;y61;x+y>1g.1 1I=ZZ D (x+y)dxdy=Z 1 0 Z11x(x+y)dy
dx(ou aussiZ 1 0 Z1y0(x+y)dx
dy) Z 1 0 xy+y22 y=1 y=1xdx=Z 1 0 x+12 x(1x)(1x)22 dx Z 1 0 x22 +x dx=16 +12 =23 ZZ D (x+y)dxdy=23 .2.Si on pose pour (x;y)2=mbr2,f(x;y)=jx+yjalors pour tout(x;y)2R2,f(x;y)=f(x;y)ou encorefprend les mêmes valeurs en deux points symétriques par rapport àO. Puisque le pointOest centre de
symétrie de[1;1]2, on en déduit que 5 I=ZZ16x;y61;x+y>0f(x;y)dxdy+ZZ
16x;y61;x+y60f(x;y)dxdy
=2ZZ16x;y61;x+y>0(x+y)dxdy=2Z
1 1 Z1 x(x+y)dy dx =2Z 1 1 xy+y22 y=1 y=xdx=2Z 1 1 x+12 +x2x22 dx =212 23+12 2 =83 ZZ [1;1]2jx+yjdxdy=83 .3.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=06x61;06y61;x26y6pxg.1 2 3 412 12 1 2I=Z 1 0 Zpx x 2y dy x dx=Z 1 0xy22 y=px y=x2dx=12 Z 1
0x(xx4)dx=12
13 16 1124.
En passant en polaires, on obtient
I=ZZ x2+y26111+x2+y2dxdy=ZZ
06r61;06q62p11+r2rdrdq
Z10r1+r2dr
Z2p 0dq (intégrales indépendantes) =2p12 ln(1+r2) 1 0 =pln2: ZZ x2+y26111+x2+y2dxdy=pln2.5.Posons D=f(x;y)2R2=x6x2+y261g. Puisquex6x2+y2,x12
2+y2>14
,Dest l"intersectionde l"intérieur du disque de centreOet de rayon 1, bord compris, et de l"extérieur du disque de centre12
;0et de rayon12 , bord compris. SoitMun point du plan. On note(r;q)un couple de coordonnées polaires deMtel quer>0 etq2[0;2p]. 6M2D,rcosq6r261,r=0 ou(0cosq.11
1 1En passant en polaires, on obtient
I=2ZZ x6x2+y261;y>01(1+x2+y2)2dxdy=2 Zp=2 0 Z1 cosqr(1+r2)2dr dq+Z p p=2 Z10r(1+r2)2dr
dq =2 Zp=2 012(1+r2)dr
1 cosqdq+Z p p=212(1+r2)dr
1 0 dq! Z p=2 011+cos2q12
dq+Z p p=212 dq=Z p=2011+cos2qdq
Z p=2 011 cos2q+1dqcos
2q=Z p=2012+tan2qd(tanq) =Z
01t2+2dt=1p2
arctantp2 0 =p2 p2 RR x6x2+y2611(1+x2+y2)2dxdy=p2 p2 .6. I=ZZZ06x6y6z61xyzdxdydz=Z
1 0 Z1 x Z1 yzdz ydy xdx=Z 1 0 Z1 x12 (1y2)ydy xdx 12 Z 1 0 Z1 x(yy3)dy xdx=12 Z 1 0 y22 y44 1 x xdx=12 Z 1 0 14 x22 +x44 xdx 18 Z 10(x52x3+x)dx=18
16 12 +12 =148 RRR06x6y6z61xyzdxdydz=148
.7.En sommant par tranches, on obtient I=ZZZ px+py+pz61zdxdydz=Z 1 0 ZZ px+py61pz dxdy zdz Z 1 0 ZZ pu+pv61(1pz)4dudv zdz(en posantx= (1pz)2uety= (1pz)2v) =A(D)Z 10z(1pz)4dzoùD=f(u;v)2R2=pu+pv61g:
Maintenant,
7A(D) =R1
0R(1pu)2
0dv du=R10(12pu+u)du=143
+12 =16 et R 10z(1pz)4dz=R1
0(z4z3=2+6z24z5=2+z3)dz=12
85+287
+14quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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