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nationale supérieure du pétrole et des moteurs Elasticités et substitutions énergétiques : difficultés rnéthodologiquesIsabelle
RENDUAvril 1991
"IC:,TITI 1 iCentre Econon1ie et Gestion
Elasticités et substitutions énergétiques difficultés méthodologiques /.,abelleAvril 1991
Cahiers du CEG
ENSPM -Centre
(1) 47 4 7La collection "Cahiers du CEG" est un recueil
Responsable )
Editor) tel. (1) 47 52 64 08
Rés11mé
L'étude des substitutions aussi bien
timées.En conclusion, nous nous interrogeons
Elasticités et substitutions énergétiques : difficultés méthodologiquesIsabelle CADORET, Patricia RENOU
CES Economie
· Préau. · 92506
Si la définition mathématique de l'élasticité (prix, revenu, substitution) est adoptée universellement, il n'en il est possible de les1 Concept d'élasticité et théorie du consommateur
Soit U la fonction d'utilité du consommateur :
U = U(x1, x,..)
X; les biens consommés en quantités x;.
= x;(P 1,P,.., A)
avec P; Je prix du bien X; et A le budget des consommateurs.La contrainte de budget s'écrit
A;, (i = 1, 2, ... , n) :
A-_ ,-A Le problème du consommateur est de maximiser son niveau d'utilité sous contrainte de budget ; le Lagrangien sous forme matricielle s'écritL(x, À, P, A)= x2, .X(P'x -A)
les conditions de maxim.isation du premier ordre sont telles que Avec:A l'optimum nous avons:
Avec:U"'-= O
A-Px=O
au u~ = ax (k=l,2, ... ,n) Cette condition permet de détenniner les quantités demandées en fonction des x;=x;(P1,, (i=l,2, ... x; est homogène de degré O par rapport aux pnx. Donc, le consommateur n'est pas soumis à l'illusion monétaire.1.1 Les différentes élasticités
• L'élasticité prixL'élasticité prix ou élasticité
de Cournot est définie8x;(P1,
i = 1, 2, ... , n ; k = 1, 2, ... , n Pour i = k nous obtenons l'élasticité i # l'élasticité prix croisée ; cette élasticitéE-8x;(P
1, ,P,,,A) 8A 1, ,Pn,A) i=l,2, ...A varie d'un pourcentage donné, tous les
prixPi, P2, ... , Pn étant maintenus
E; est > 1, < 0 x; est respectivement un
bien supérieur, inférieur 8X;(P 1, ,P",A) ~ik;::;:; --------·------- 8P. 1, ,P,,,A) i=1')2, ,n; k=l,2, ... ,(a k ), seul Elle mesure la variation relative des quantités demandées résultant d'uneU étant supposés
constants.L'élasticité de Cournot
Pk a été définie en considérant le
budget A constant, et l'élasticité de Slutsky par rapport au prix Pk en supposant le niveau d'utilité U constant. k par x, lorsque l'utilitéX varie.
X;k = ôx;(U1, U2, Un)
U2, U,.)
X;k est définie comme !"'élasticité des besoins" (want elasticities).Si X;.= e;k (annexe 2).
1.2 Les relations entre les différentes élasticités
1. Si on différencie la contrainte de budget P;X; = A en
tants, nous obtenons dA = L P;dx; + L x;dP; = ôP: + ô~dASi dP; = O, = 1, ... , n alors :
Soit :
élx
= '°' P.-'L., '8A
'°' P;x;L..---=1
A X; c'est la condition d'agrégation d'Engel, elle montre que la réallocat.ion du budget lorsque le revenu du consommateur varie doit continuer à absorber le revenu total. 42. Si on I: P;x; = A par rapport au prix Pj en
supposant les autres 8A = x, + I:P•ap = o P, ;En introduisant dans la formule x;/ nous
""P,x; 0L,---+-=
, A A SoitI: A;e;j = -Aj
c'est la condition d'agrégation de3. Si la fonction de i est O par rapport au prix
et au revenu alors la demande est inchangée lorsqu' il se produit un changement proportionnel de tous les x; étant fonction des 8x; = &P; + BAOr la fonction de demande
(dP;/Pj) = (dA/A) d'où le résultat suivant: = -E; dx; -- ]{ = (&x;/&P,) pour un niveau d'utilité constant, doit 8x; = 8P. -XkAinsi nous avons :
8x, L'effet prix e,k se décompose en un effet de substition E,k et un effet revenu E;.Nous obtenons :
La condition de symétrie de la matrice de Slutsky I< implique que : En effet, e;k n'est pas symétrique, seule [( est symétrique. Or : e,;Ak = ôP;
On peut remarquer qu'en raison des conditions d'additivité et d'homogénéité :I;A,e,; = O
et5. Les dérivées secondes étant indépendantes de l'ordre des dérivées partielles du
dénominateur, on peut obtenirôe ôE
= a ln P,6. On peut relier par ailleurs l'élasticité X;k aux
X,k = e,k·
X,k est diagonale
ces deux2 Elasticités et théorie du producteur
Les élasticités prix et revenu étant définies de manière identique2.1 L'élasticité de substitution dans un modèle à deux inputs
Soit f une fonction de production à
x 1 et y la quantité d'output associée :Y= f(x)
avec: x = (x1,x2) y définit toutes les combinaisons d'inputs (x 1, x2) 1 ). aSoient (x
1, x 2) yo ( cf. Fig 2), le point M est situé sur l'isoquante correspondant à il s'ensuit que le point M' = (x1 + Âx1,x2 + Âx2) Y0•
On peut donc substituer
l!.x 1 mesure ce MM).Ce taux de substitution t.x
1 ; pour avoir une mesure unique, on définit le M comme étant la limite de ce rapport ( ce qui correspond M àM s'écrit
TlvIS(x
1 ,x 2) = hm --;;:- il.x1-o l...}.x 1 AvecFig 1: ISOOUANTES
X' 2 --i-----voFig 2: TAUX MARGINAL DE SUBSTITUTION
Le produit marginal d'un facteur
f1,dx1 + f2.dx2 = dy Sur la courbe d'isoproduit y, seules les quantités de facteurs dy = 0 ; fi.dx1 + !,.dx2 = 0 dx2 !1 dx1 = !2 On peut alors définir le taux marginal de substitution du facteur 1 dx2 fiTMS2-1 =
dx1 La valeur du taux marginal de substitution dépend de X 2 nécessaire b L'intérêt est de déterminer comment r évolue pour d (x 2) x, . . d l' 'l' d li d d d x 1 et r = h represente a ! 'unité de mesure est défini comme l'élasticité de substitution entre les facteurs considérés.L'élasticité de
substitution entre X 1 et X, est :la ( ='.:.) 0-=: -dr où les différentielles correspondent x 1 et x 2 le long de la courbe de production. La valeur de a-peut être écrite en termes de dérivées partielles de r ou en fonction de la fonction de production elleR.G. Allen 1938,
88ret 88r
en f(x 1, x 2) X1 X2 second ordre (x 1 ,x 2
Cette définition de a met en évidence la symétrie du concept d'élasticité de substitution.
Si la fonction de production est linéaire et homogène (rendements d'échelle constants) a se simplifie :L'application
du théorème 8 2 y = 8x18x2 10 en écrivant T sous la forme :T --f11fi + 2/12/ih fnff
T - (xff{ + 2x1x2f1h + x~fi) X1X2T -JE_ + x2f2)2
X1X2 a s'écrit alors pour une fonction homogène de degré : En utilisant les notations alternatives des dérivées : O'=L'élasticité de substitution peut aussi
C = C(y,p)
C1 = ac
2 C C12 =8p1&p2
toutes les dérivées sont p., p 2 C a_ C'C12 ôp,8p2 ôCCette formule simplifiée permet de
2.2 Généralisation du concept d'élasticité de substitution
Soit une fonction f à
y =f(x) avec; Selon I. Morrissett (1953) le but de l'élasticité de substitution est de mesurer la X 1 peut être substituée en X2•
La facilité du change
ment est mesurée xi/ x 2 X, en t' 11 d(x,/x2) n termes e d(dxifCette expression doit être multipliée
X, et de X
2•
dln(xif d(dxif dln(x,/x 2) d(xif dln(xi/x2) (Xi, x 2 x 3 ,, , Xn constantes p,/ varie, Si l'on remet en question ces hypothèses, on obtient :On remarque que pour n = 2,
implique: . dlny • s01t d ln(pif pz) = 0 p,) -8 ln(pi/p2) la même courbe d'isoproduit Q = lny Dans ce cas on considère que l'élasticité "produit" des1 par rapport aux facteurs de production.
Les fonctions de production
n = 2 n > 2 dln(xi/x2) _ 8ln(xi/x2) dln(pi/P,) oln(pi/p2) dln(xi/x2) oln(xifx,) oln(xi/x2) 8ln(xilxn) = oln(p,/p2) + 8lnx3 + Dlnxn dln(p,/p2) n > 2 ne peutI. Morrissett).
13Pour une fonction de production
2.3 L'élasticité partielle de substitution
L'élasticité de substitution se
n = 2 quelque soit i et j est une généralisation de l'élasticité de substitution entreD + Xjf;)
";; i··x ·(--J"·-J7 + 2J.-J-f--J.-J2) 'I J li J IJ I J 10 ,,P <
L'élasticité de substitution directe peut être interprétée comme une élasticitê de
court terme pour laquelle les offres des facteurs k ( k ,fc i, j) sont fixes, elle fournit des informations sur le comportement des parts rela.ti ves des facteurs i et j. Si ,,g = 0 les facteurs i et j sont complémentaires, une modification dans la struc ture des prix n'entraine aucune modification dans la structure de la demande. Si t1fJ = oo le taux marginal de substitution est constant, l'isoquante est linéaire.La substituabilité des facteurs
j consécutif à un changement de prix du facteur i, les prix des autres facteurs étant x,J F -OO< t1j < 0 fn = fi !11 est le co-facteur de /;; Cette élasticité est évaluée en (y,p).Contrairement
A T/ij
<7;j = T/ + S. J S; : est la part de dépense du facteur i dans le coût total, S; = p;; : est l'élasticité partielle de la demande de facteur i par rapport au prix du facteur j. l "l dy PT/ : est e ast1c1te T/ = dP etant e pnx e output.
Si l'on se situe sur
A = S. J L'élasticité partielle de substitution de Allen-Uzawa peut aussi s'écrire sous la forme:A CC;;
<7,; = c.c, Si <1;'} < 0 les facteurs i et j sont complémentaires. Si > 0 les facteurs i et j sont substituables.3. L'élasticité fictive de substitution (SES)1 décrit la réponse du ratio des prix de
deux inputs C = C(y,p), le niveau de production y étant atteint pour un coût minimum le vecteur prix p = (p,, ,Pn)· C;; C;; -c; + c,c 1. - c,~ p,C; 1Shadow
Û UT; <
Les dérivées sont évaluées en (y,p ).
L'élasticité de substitution SES peut être interprétée comme une élasticité de long terme pour laquelle les facteurs k (k =fi i,j) sont à prix fixes et fournit une information sur le comportement des parts relatives des facteurs considérés. Si uf. = 0 les facteurs i et j sont parfaitement complémentaires.Si af; = i et j sont parfaitement subst,ituables.
Lorsque les fonctions sont auto-duales,
n = Lien avec l'élasticité de substitution de SlutskyOn peut très
A eijO'·· =
,, A- Soient C le coût de production et E le niveau de dépense : Orquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] iléo, mode d emploi Votre guide pratique pour tout savoir sur le nouveau service de distribution d eau de la MEL
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