[PDF] Planche no 16. Calculs de primitives et dintégrales. Corrigé

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Planche no16. Calculs de primitives et d"intégrales. Corrigé

Exercice n

o1.

1)Pour tout réelxde]0,+∞[,

3x

3-7x3⎷

+2x-3/2-1 x2+14x3+14x4, et donc les primitives sur]0,+∞[de la fonction considérée sont les fonctions de la forme x?→3x4

4-7x7/37/3+3x3/23/2-lnx-4x-3/4-3/4+2x-1/2-1/2+1x-18x2-112x3+C, C?R,

ou encore x?→3x4

4-3x23⎷x+2x⎷x-lnx+163?4⎷x?3-4⎷x+1x-18x2-112x3+C, C?R.

2)Pour tout réelx,(x-1)ex2-2x=1

2(2x-2)ex2-2xet donc les primitives surRde la fonctionx?→(x-1)ex2-2xsont

les fonctions de la formex?→1

2ex2-2x+C,C?R.

3)SoitIun intervalle sur lequelx2-1ne s"annule pas.

Pour tout réelxdeI,x

(x2-1)3=122x(x2-1)3et donc les primitives surIde la fonctionx?→x(x2-1)3sont les fonctions de la formex?→-1

4(x2-1)2+C,C?R.

4)SoitIun intervalle sur lequelx3+9x-5est positif.

Pour tout réelxdeI,?x2+3?⎷

x3+9x-5=13(3x2+9)?x3+9x-5?1/2et donc les primitives surIde la fonction x?→?x2+3?⎷ x3+9x-5sont les fonctions de la formex?→13? x3+9x-5?3/23/2+C=29?x3+9x-5?3/2+C,C?R.

5)Pour tout réelx,2x+1

3⎷

x2+x+1?

2= (2x+1)?x2+x+1?-2/3et donc les primitives surRde la fonction

x?→2x+1

3⎷

x2+x+1?

2sont les fonctions de la formex?→11/3?x2+x+1?1/3+C=33⎷x2+x+1+C,C?R.

6)Pour tout réelxde?

-1 2,12? ,2⎷1-4x2=2?1- (2x)2et donc les primitives sur? -12,12? de la fonctionx?→2⎷1-4x2 sont les fonctions de la formex?→Arcsin(2x) +C,C?R.

7)Pour tout réelx,1

1+4x2=12×21+ (2x)2et donc les primitives surRde la fonctionx?→11+4x2sont les fonctions

de la formex?→1

2Arctan(2x) +C,C?R.

8)Pour tout réelx,1

4+x2=122+x2et donc les primitives surRde la fonctionx?→14+x2sont les fonctions de la forme

x?→1

2Arctan?x2?

+C,C?R.

9)Pour tout réelx,1

x2+x+1=1? x+1 2? 2 3 2?

2et donc les primitives surRde la fonctionx?→1

x2+x+1sont les fonctions de la formex?→1 ⎷3/2Arctan((( x+1

2⎷3/2)))

+C,C?R, ou encore les fonctions de la forme http ://www.maths-france.fr 1© Jean-Louis Rouget, 2021. Tous droits réservés. x?→2⎷3Arctan?2x+1⎷3? +C,C?R.

10)Iest l"un des deux intervalles]0,1[ou]1,+∞[. Pour tout réelxdeI,1

xlnx=1/xlnxet donc les primitives surRde la fonctionx?→1 xlnxsont les fonctions de la formex?→ln|ln(x)|+C,C?R.

11)Pour tout réelxdeR,1

1+e-x=11+1ex=ex

ex+1et donc les primitives surRde la fonctionx?→11+e-xsont les fonctions de la formex?→ln(1+ex) +C,C?R.

12)Idésigne un intervalle sur lequelx-sinxne s"annule pas. Pour tout réel deI,sin2(x/2)

x-sinx=12×1-cosxx-sinxet donc les primitives surIde la fonctionx?→sin2(x/2) x-sinxsont les fonctions de la formex?→12ln|x-sinx|+C,C?R.

13)Idésigne un intervalle sur lequelx-sinxne s"annule pas. Pour tout réel deI,sin2(x/2)

(x-sinx)3=12×1-cosx(x-sinx)3et donc les primitives surIde la fonctionx?→sin2(x/2) (x-sinx)3sont les fonctions de la formex?→-14(x-sinx)2,C?R. 14) ?x e? xlnx dx=? (xlnx-x)?exlnx-xdx=exlnx-x+C=?xe? x,C?R.

Exercice n

o2. 1)? lnx dx=xlnx-? x×1 xdx=xlnx-?

1 dx=xlnx-x+C,C?R.

2) xlnx dx=x2

2lnx-?x22×1xdx=x22lnx-12?

x dx=x22lnx-x24+C,C?R. 3) ln(x+1)dx= (x+1)ln(x+1) -? (x+1)×1 x+1dx= (x+1)ln(x+1) -?

1 dx= (x+1)ln(x+1) -x+C,C?R.

4)

Arcsinx dx=xArcsinx-?x

⎷1-x2dx=xArcsinx+?1-x2+C,C?R. 5)

Arctanx dx=xArctanx-?x

1+x2dx=xArctanx-12ln(1+x2) +C,C?R.

6)

Arccosx dx=xArccosx+?x

⎷1-x2dx=xArccosx-?1-x2+C,C?R. 7) xe -xdx= -xe-x+? e -xdx= -xe-x-e-x+C= -(x+1)e-x+C,C?R. 8) ?x2-3x+1?exdx=?x2-3x+1?ex-? (2x-3)exdx=?x2-3x+1?ex- (2x-3)ex+2? e xdx ?x2-3x+1?ex- (2x-3)ex+2ex+C=?x2-5x+6?ex+C, C?R. 9) (1-x)e-2xdx= (1-x)e-2x -2-12? e 10) ln?1+x2?dx=xln?1+x2?-2?x2+1-1 x2+1dx=xln(1+x2) -2x+2Arctanx+C,C?R. 11) e

Arccosxdx=xeArccosx+?x

⎷1-x2eArccosxdx =xeArccosx-? et donc, e

Arccosxdx=1

2? x-?1-x2? eArccosx+C,C?R. http ://www.maths-france.fr 2© Jean-Louis Rouget, 2021. Tous droits réservés. 12) cosxln(1+cosx)dx=sinxln(1+cosx) -? sinx-sinx

1+cosxdx=sinxln(1+cosx) -?cos2x-1cosx+1dx

=sinxln(1+cosx) -? (cosx-1)dx=sinxln(1+cosx) -sinx+x+C, C?R. 13) x et donc?xex(x+1)2dx=exx+1+C,C?R. 14) x nlnx dx=xn+1 n+1lnx-1n+1? x ndx=xn+1n+1lnx-xn+1(n+1)2+C,C?R.

15) 1ère solution.

e axcos(αx)dx=1 aeaxcos(αx) +αa? e axsin(αx)dx 1 aeaxcos(αx) +αa2eaxsin(αx) -α2a2? e axcos(αx)dx et donc

1+α2

a2? e axcos(αx)dx=1a2(acos(αx) +αsin(αx))eax+C,C?Rpuis e axcos(αx)dx=1 a2+α2(acos(αx) +αsin(αx))eax+C,C?R.

2ème solution.

e axcos(αx)dx=Re? e (a+iα)xdx? =Re?e(a+iα)x a+iα? +C=eaxa2+α2Re((a-iα)(cos(αx) +isin(αx)) +C eax(acos(αx) +αsin(αx)) a2+α2+C, C?R. 16) sin(lnx)dx=xsin(lnx) -? cos(lnx)dx=xsin(lnx) -xcos(lnx) -? sin(lnx)dxet donc sin(lnx)dx=x

2(sin(lnx) -cos(lnx)) +C,C?R.

17) x

2exsinx dx=Im?

x

2e(1+i)xdx?

. Or, x

2e(1+i)xdx=x2e(1+i)x

1+i-21+i?

xe (1+i)xdx=x2e(1+i)x1+i-21+i? xe(1+i)x1+i-11+i? e (1+i)xdx? ?x2

1+i-2x(1+i)2+2(1+i)3?

e (1+ix)+C ?1-i

2x2+ix-1+i2?

e (1+ix)+C 1

2?x2-1+i(-x2+2x-1))?(cosx+isinx)ex+C.

Par suite,

x

2exsinx dx=1

2?(x2-1)sinx- (x2-2x+1)cosx?ex+C, C?R.

http ://www.maths-france.fr 3© Jean-Louis Rouget, 2021. Tous droits réservés.

18)Sur] -1,1[,

1-x2dx=x?1-x2-?

x-2x2⎷1-x2dx=x?1-x2+?x2⎷1-x2dx =x? =x?

1-x2+Arcsinx-??1-x2dx.

Les primitives sur] -1,1[de la fonctionx?→⎷

1-x2sont les fonctions de la formex?→12?

x⎷1-x2+Arcsinx? +C, C?R.

Exercice n

o3.

1)SoitIun intervalle ne contenant ni-1

2ni-2. Déterminons deux réelsaetbtels que pour tout réelxdeI,

1

2x2+5x+2=12(x+2)?

x+12? =a x+2+bx+12.

Pour tout réelxdeI,

a x+2+bx+12= a x+2+2b2x+1=a(2x+1) +2b(x+2)2x2+5x+2=2(a+b)x+ (a+4b)2x2+5x+2. On choisitaetbtels que2(a+b) =0eta+4b=1c"est-à-direa= -1

3etb=13. Pour toutxdeI, on a

1

2x2+5x+2=13(((

-1x+2+1x+12)))

Les primitives surIde la fonctionx?→1

2x2+5x+2sont les fonctions de la formex?→13?

ln???? x+12???? -ln|x+2|? +C, C?R.

2)SoitIun intervalle ne contenant pas1

2. Pour tout réelxdeI,

1

4x2-4x+1=1(2x-1)2.

Les primitives surIde la fonctionx?→1

4x2-4x+1sont les fonctions de la formex?→-12(2x-1)+C,C?R.

3)Pour tout réelx,

1 x2+2x+2=1(x+1)2+1.

Les primitives surRde la fonctionx?→1

x2+2x+2sont les fonctions de la formex?→Arctan(x+1) +C,C?R.

4)Pour tout réelx,

1 x2+x+1=1? x+1 2? 2 3 2? 2.

Les primitives surRde la fonctionx?→1

x2+x+1sont les fonctions de la formex?→1⎷3/2Arctan((((quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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