Planche no 16. Calculs de primitives et dintégrales. Corrigé
Calculs de primitives et d'intégrales. et donc les primitives sur ]0 +?[ de la fonction considérée sont les fonctions ... http ://www.maths-france.fr.
Calculs de primitives et dintégrales
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La notion dintégrale dans lenseignement des mathématiques au
25 déc. 2006 III.3. Calcul approché d'intégrale dans EMS en France et au Vietnam .....................172. IV. Liens entre aire primitive et intégrale.
Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale
Le dernier volet du programme d'analyse porte sur les équations différentielles et le calcul intégral. On introduit d'abord la notion de primitive d'une
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sur l'intégration des suites et séries de fonctions et sur les intégrales à paramètre concluent ce chapitre. Le chapitre relatif au calcul différentiel a
Calculs dintégrales et de primitives
Calculs d'intégrales et de primitives. Aimé Lachal. Cours de mathématiques. 1er cycle 1re année. Sommaire. 1. Deux techniques d'intégration.
Planche no 11. Intégration sur un intervalle quelconque. Corrigé
2xest positive et non intégrable au voisinage de +? l'intégrale x2 ) d'après un théorème de croissances comparées. ... http ://www.maths-france.fr ...
Calcul intégral Exercices corrigés
Calcul d'intégrales fonction rationnelle ²Population de rongeurs
Chapitre 3 Intégrale double
= 153. Exercice 3.1. Calculer la surface du domaine D décrit dans l'exemple 3.12. 3.3.2 Intégrales sur un domaine
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Par contre si on se donne une fonction f d'une variable “au hasard”
Calculs d"intégrales
et de primitivesAimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire1Deux techniques d"intégration
Intégration par parties
Changement de variable
2Intégration des fonctions rationnelles réelles
Fonctions rationnelles
Exemples préliminaires
Décomposition en éléments simples
Intégration des éléments simples
Synthèse de la méthode d"intégration
Exemples de synthèse1. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par partiesNotations
On a vu dans le chapitre "Intégrale de Riemann» que toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives et que celles-ci diffèrent toutes 2 à 2d"une constante.On noterax7!Z
f(x)dxune primitive defsurIdéfinie donc à une constante additive près. On dit queZ f(x)dxest une intégraleindéfiniepar opposition àZ b af(x)dxqui est appelée intégraledéfinie.Exemple :
Z xdx=12 x2+CsteoùCstedésigne une constante réelle.On rappelle la notationF(x)b
a=F(b)F(a).Théorème 1.1 (Intégration par parties) Soituetvdeux applications declasseC1C1C1définies sur un intervalleIà valeurs réellesoucomplexes.18(a;b)2I2,Z b a u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)b aZ b a u0(x)v(x)dx.2Z u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)Z u0(x)v(x)dx.
Formulation mnémotechnique :Z
udv=uvZ vdu.11. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par partiesExemple 1.2 (Polynôme-logarithme)
SoitP2R[X]un polynôme de degrén.
En choisissantu(x) = ln(x)etv0(x) =P(x), alorsu0(x) =1x etv(x) =Q(x)oùQ est un polynôme primitive deP(de degrén+1) que l"on choisira sans terme constant (de façon à avoirQ(0) =0), l"IPP donneZP(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)ZQ(x)x
dx:Notons quex!Q(x)x
est une fonction polynôme de degrén(puisqueQ(0) =0), elle admet donc pour primitive une fonction polynômeRde degrén+1, et l"on trouve :ZP(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)R(x) +Cste:
Exemples :
pourP(x) =1, on choisitQ(x) =xqui donneR(x) =xet l"on obtient une primitive deln(x):Z ln(x)dx=xln(x)x+Cste: pourP(x) =xn, on choisitQ(x) =xn+1n+1qui donneR(x) =xn+1(n+1)2et l"on obtient :Z xnln(x)dx=xn+1n+1ln(x)xn+1(n+1)2+Cste:21. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.3 (Polynôme-exponentielle)
Soita2RetP2R[X]un polynôme de degrén.
En choisissantu(x)=P(x)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=P0(x)etv(x)=1a eaxet l"IPP donneZP(x)eaxdx=1a
P(x)eax1a
Z P0(x)eaxdx:
Notons queP0est un polynôme de degrén1. Ainsi, l"IPP permet d""abaisser» le degré du polynôme présent dans l"intégrande initiale. En réitérant ce procédé, on abaisse progressivement le degré dePpour arriver in fine à une primitive d"intégrande e ax:ZP(x)eaxdx=Q(x)eax+Cste
oùQest le polynôme de degréns"exprimant selonQ(x)=1a
P(x)1a
2P0(x)+1a
3P00(x)+(1)n1a
n+1P(n)(x)=nX k=0(1)k1a k+1P(k)(x): Application :supposons le réelanégatif. Alors, pour toutk2N,limx!+1P(k)(x)eax=0.Ainsi, en notantZ
+1 0 = limA!+1Z A 0 , on trouve Z +1 0P(x)eaxdx=nX
k=0(1)k+11a k+1P(k)(0):31. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par partiesExemple 1.4 (Exponentielle complexe)
Soita;bdeux réelsnon simultanément nuls.Supposons e.g.a6=0 (sinonb6=0). En choisissantu(x)=cos(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bsin(bx)etv(x)=1a eax et l"IPP donne Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx)eax+ba Z sin(bx)eaxdx: En choisissantu(x)=sin(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bcos(bx)etv(x)=1a eax, une nouvelle IPP donneZ sin(bx)eaxdx=1a sin(bx)eaxba Z cos(bx)eaxdx que l"on reporte dans la première formule : Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx) +ba2sin(bx)
e axb2a 2Z cos(bx)eaxdx d"où l"on extrait Z cos(bx)eaxdx=acos(bx) +bsin(bx)a2+b2eax+Cste:
La même méthode conduirait à
Z sin(bx)eaxdx=bcos(bx) +asin(bx)a2+b2eax+Cste:
Application :soitc2C. En posantc=a+ibaveca;bréels non simultanément nuls, et en rappelant que e cx=eaxcos(bx) +isin(bx), on obtient une primitive de x7!ecx:Z e cxdx=1cecx+Cste:41. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties Exemple 1.5 (Formule de Taylor avec reste intégral(facultatif))1Un calcul préliminaire Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasseC2C2C2. En choisissantu(x)=(bx)etv0(x)=f00(x), alorsu0(x)=1 etv(x)=f0(x)et l"IPP donneZb a (bx)f00(x)dx=(bx)f0(x)b a+Z b a f0(x)dx=f(b)f(a)f0(a)(ba) soit f(b) =f(a) +f0(a)(ba) +Z b a (bx)f00(x)dx:2Généralisation Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasse C n+1Cn+1Cn+1. Alors : f(b) =nX k=0f (k)(a)k!(ba)k+Z b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx: Remarque :la fonctionf(n+1)étant continue, on peut appliquer la formule de la moyenne :9c2[a;b];Z
b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx=f(n+1)(c)Z b a(bx)nn!dx=(ba)n+1(n+1)!f(n+1)(c): On retrouve la formule de Taylor-Lagrange avec des hypothèses plus fortes. (La formule de Taylor-Lagrange requière quefsoit de classeCnsur[a;b]et (n+1)fois dérivable sur]a;b[.)51. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable Théorème 1.6 (Changement de variable pour le calcul d"intégrales)1Soit'une application declasseC1C1C1sur[a;b]à valeursréellesetfune
applicationcontinuesur l"intervalle'([a;b])à valeursréellesoucomplexes.Alors :
Zb a f'(t)'0(t)dt=Z '(b) '(a)f(x)dx:2Si, de plus,'estbijectivede[a;b]sur[;] ='([a;b]), Z f(x)dx=Z '1()1()f'(t)'0(t)dt:
Formellement, on posex='(t)et l"on écritdx='0(t)dt.Théorème 1.7 (Changement de variable pour le calcul de primitives)
SoitIetJdeux intervalles,fune applicationcontinuesurIà valeursréellesou SiGest une primitive de(f')'0surJ, alorsG'1est une primitive defsurI. Autrement dit, en posantx='(t)(ou encoret='1(x)) : Z f(x)dx=Z f'(t)'0(t)dt=G(t) +Cste=G'1(x)+Cste61. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.1Le changement de variablex=shtfournit dx=chtdtetpx
2+1=cht, puisZ
fpx 2+1 dx=Z f(cht)chtdt: Si l"on dispose d"une primitiveFde la fonctiont7!f(cht)cht, alorsZ fpx 2+1 dx=F(argshx) +Cste: 2+1.)Exemple :pourf=idR,Zpx
2+1dx=Z
ch2tdt=Z12
ch(2t) +1dt 14 sh(2t) +12 t+Cste=12 chtsht+t+Cste 12 xpx2+1+argshx
+Cste:Application :Z1
0px2+1dx=12h
xpx2+1+argshxi
1 0=12 p2+ ln1+p2 :71. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.2Le changement de variablex= sint(x2[1;1];t2[2
;2 ]) fournit dx= costdt,p1x2= cost, et sur[1;1]:Z fp1x2 dx=Z f(sint) sintdt=F(arcsinx) +Cste Fétant une primitive de la fonctiont7!f(sint) sint.Application :
L"aire sous l"arc de cercle entrecoset 1 est donnée parZ1 cosp1x2dx=Z 0 sin2tdt=Z 0121cos(2t)dt
2 14 sin(2) =2 12 cos()sin()L"aire du triangle de basecosvaut12
cos()sin().L"aire dutriangle circulairevaut alors2
.xy0y=p1x21cossinaire=2
81. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.3Le changement de variablex=cht(x>1;t>0) fournit dx=shtdt,px
21=sht, et, e.g. sur[1;+1[:Z
fpx 21dx=Z f(sht)shtdt=F(argchx) +Cste Fétant une primitive de la fonctiont7!f(sht)sht.
Application :
L'aire sous la branche d'hyperbole entre 1 et chest donnée parZch 1px21dx=Z
0 sh2tdt=Z 012 ch(2t)1dt 14 sh(2)2 =12 ch()sh()2L'aire du triangle de base chvaut12
ch()sh().L'aire dutriangle hyperboliquevaut alors2.xy
0y=px211chshaire=2
91. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.Généralisation : intégrales abéliennes (facultatif)
Ces trois exemples permettent en fait de calculer des primitives de fonctions de la forme fpax2+bx+clorsquea;b;csont trois réels tels quea>0 ou (a<0 etb24ac>0).
En eet, il sut de décomposer le trinômeax2+bx+csous sa forme canonique et de procéder à un changement de variable intermédiaire ane (x=u+) and'exprimerax2+bx+cen fonction deu2+1,u21 ou 1u2...102.Intégration des fonctions rationnellesa) Fonctions rationnelles
Définition 2.1
Unefonction ou fraction rationnelleFsurRest le quotient de deux fonctions polynômesPetQdeR[X],Qétant non identiquement nulle. On a donc F(x) =P(x)Q(x)pour toutx2Rtel queQ(x)6=0. On poseF=PQ.1On noteR(X)l"ensemble des fonctions rationnelles surR.2On dit que la fractionFestréductiblelorsque les polynômesPetQadmettent
un facteur commun de degré>1, i.e. lorsqu"il existe un polynômeRde degré>1 et des polynômesP1etQ1tels queP=P1RetQ=Q1R. On a alorsF=PQ =P1Q 1: Dans le cas contraire, on dit queFestirréductible.Définition 2.2SoitF=PQ
2R(X)unefraction irréductible.1On appellepartie entièredeFla fonction polynômequotientde la division
euclidienne dePparQ.2On appellepôledeFtoute racine du dénominateurQdansRouC. On appellealorsmultiplicitéd"un pôle deF, sa multiplicité en tant que racine deQ.112.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires
Problématique
SoitF=PQ
2R(X)une fonction rationnelleréelle.
L'objectif de ce paragraphe est de calculer une primitive deFsurR. On commence par présenter quelques exemples avant de décrire une méthode générale. Exemples étudiés :1F(x) =2x5(x1)(x2)2F(x) =2x5x2(x1)3F(x) =3x
314F(x) =x6(x21)25F(x) =x8x
4+1122.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires
Exemple 2.3
SoitF(x) =2x5(x1)(x2).
La fonction rationnelleFadmet deux pôlessimplesréels1 et 2 . L'idée est de séparer les facteurs du dénominateur(x1)et(x2). Pour cela on cherche des réelsaetb(s'ils existent) tels queF(x)=ax1+bx2. ?Méthode "provisoire» : on réduit au même dénominateur :F(x) =(a+b)x(2a+b)(x1)(x2); on identie avec l'expression initiale deF:a+b=2 et 2a+b=5; on résout le système et l'on trouvea=3e tb=1, soitF(x)=3x11x2. ?Méthode "générale» : on isoleaen multipliant par(x1):(x1)F(x) =a+( x1)bx2 et l'on fait tendrexvers1 : a= limx!1(x1)F(x) = limx!12x5x2=3; on isoleben multipliant par(x2):(x2)F(x) =( x2)ax1+b et l'on fait tendrexvers2 : b= limx!2(x2)F(x) = limx!22x5x1=1.Les fractions élémentaires
3x1et1x2s'appellent"éléments simples», ce sont
les"parties polaires»deFrelatives aux pôles1 et 2 .Il devient facile de calculer une primitive deF:Z
F(x)dx=Z3x1dxZ1x2dx=3lnjx1jlnjx2j+Cste:132.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires
Exemple 2.4
SoitF(x) =2x5x
2(x1).
La fonction rationnelleFadmet deux pôles réels : un pôlesimple1et un p ôledouble0. L'idée est de séparer les facteurs du dénominateurx2et(x1). Pour cela on cherche des nombres réelsa,betctels queF(x)=ax+bx2+cx1.
?Méthode "provisoire» : on réduit au même dénominateur :F(x) =(a+c)x2+(ba)xbx2(x1);
on identie avec l'expression initiale deF:a+c=0,ba=2 etb=5; on trouvea=3,b=5et c=3, soitF(x)=3x+5x23x1=5x
2+3x 3x1. ?Méthode "générale» : on isolecen multipliant par(x1):(x1)F(x) =c+( x1)ax+bx 2 et l'on fait tendrexvers1 : c= limx!1(x1)F(x) = limx!12x5x 2=3; on isoleben multipliant parx2:x2F(x) =b+xa+cxx1 et l'on fait tendrexvers0 : b= limx!0x2F(x) = limx!02x5x1=5; on multiplie parx:xF(x)=ax+bx +cxx1et l'on fait tendrexvers1:a+c= limx!1xF(x)= limx!12x5x(x1)=0; d'oùa=c=3.142.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires
Exemple 2.4
SoitF(x) =2x5x
2(x1).
Résultat
On a ainsi obtenu
F(x) =5x
2+3x 3x1:Les fractions élémentaires
3x ,3x1et5x2s'appellent"éléments simples»,
5x 2+3x et3x1sont les"parties polaires»deFrelatives aux pôles0 et 1 .Calcul d"une primitive
Il devient facile de calculer une primitive deF:
ZF(x)dx=5Z1x
2dx+3Z1x
dx3Z1x1dx=3lnjxj3lnjx1j5x +Cste:Calcul d"une intégrale définie
En notant quelimx!+1(3lnjxj3lnjx1j) = limx!+13lnxx1=0, on obtient Z +1 2F(x)dx= limX!+1Z
X 2 F(x)dx=523ln2:152.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminairesExemple 2.5
SoitF(x) =3x
31.Recherche des pôles de la fraction
Le dénominateur se décompose selonx31=( x1)(x2+x+1). La fonction rationnelleFadmet donc trois pôlessimples : un pôleréel1et deux p ôlescomplexes conjugués|=1+ip3 2 et|=1ip3 2L'idée consiste alors à
?travailler d'abord surC:x31=( x1)(x|)(x|); ?puis de séparer les facteurs du dénominateur(x1),(x|)et(x|);quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] Cliquez ici pour voir le diaporama d 'auto-formation au format PDF
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