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Aix-Marseille Université Séries et applications

Anneé Universitaire 2017-2018 L2 SPICorrection des exercices de révision sur l"intégration et les intégrales

généraliséesNotations et définitions -1Aindique que1A(x) = 1six?Aet0sinon avecAun sous-ensemble deR. Soit fune fonction localement intégrable sur un intervalle[a,b[. On noteF(x) =?x af(t)dt. On dit que?b af(x)dxexiste silimx→bF(x)existe et on a?b af(x)dx= lim x→bF(x)-F(a). Intégration : intégration par parties et changement de variables

Exercice 1.Intégrations par partie

Calculer à l"aide d"intégrations par partie les intégrales classiques suivantes, en ayant auparavant justifié que la fonctionfsous l"intégrale est bien intégrable sur l"intervalle concerné. 1.

P ourI1on intégree-xet on dérivex

I 1=? 1

0xe-xdx

?-xe-x?1 0-? 1

0-e-xdx=-e-1+?

1

0e-xdx

=-e-1+?-e-x?1 0 =e-1-e-1+ 1 =-2e-1+ 1 2.

On in tégrex2et on dériveln(x)

I 2=? 2

1x2ln(x)dx

?x33 ln(x)? 2 1 2 1x 33
1x dx=8ln(2)3 2 1x 23
dx

8ln(2)3

-?x39 2 1

8ln(2)3

-89 +19 =8ln(2)3 -79 1

3.P ourI2on intégrecos(3x)et on dérivex

I 3=? 1

0xcos(3x)dx

?sin(3x)x3 1 0 1

0sin(3x)3

dx sin(3)3 -?-cos(3x)9 1 0 sin(3)3 +cos(3)9 -19 4.

P ourI4on intégre1⎷x

et on dériveln(x) I 4=? 2

1ln(x)⎷x

dx ?2⎷xln(x)? 2 1-? 2

12⎷x

x dx = 2ln(2) ⎷2-?4⎷x 2 1 = 2ln(2)⎷2-4⎷2 + 4 5.

P ourI5on intégre1et on dérivearctan(x)

I 5=? 1

0arctan(x)dx

= [xarctan(x)]1 0-? 1

0x1 +x2dx

π4 +?ln(1 +x2)2 1 0 π4 +ln(2)2 6.

P ourI6on intégre1et on dériveln(1 +x2)

I 6=? 1

0ln(1 +x2)dx

?xln(1 +x2)? 1 0-? 1

0x2x1 +x2dx

= ln(2)-? 1

02x2+ 2-21 +x2dx

= ln(2)-? 1

02-21 +x2dx

= ln(2)-2 + 2[arctan(x)]1 0 = ln(2)-2 + 2π4 = ln(2)-2 +π2

Exercice 2.Deux intégrations par parties

A l"aide d"au moins deux intégrations par parties calculer 1

0excos(x)dx2

On écrit, en intégrantexet en dérivantcos(x), puis de nouveau en intégrantexet en dérivantsin 1

0excos(x)dx= [excos(x)]1

0-? 1

0ex(-sin(x))dx

=ecos(1)-1 +? 1

0exsin(x)dx

=ecos(1)-1 + [exsin(x)]1 0-? 1

0excos(x)dx

1

0excos(x)dx=ecos(1)-1 +esin(1)-?

1

0excos(x)dx(1)

On reconnait qu"à droite et à gauche dans l"inégalité (1) on a ?1

0excos(x)dx. On a

donc, en passant à gauche de (1)-?1

0excos(x)dx

1

0excos(x)dx+?

1

0excos(x)dx=ecos(1)-1 +esin(1)

2 1

0excos(x)dx=ecos(1)-1 +esin(1)

1

0excos(x)dx=ecos(1)-1 +esin(1)2

Exercice 3.Changement de variables

A l"aide d"un changement de variables calculer les intégrales suivantes I 1=? 1

0x2⎷1 +x3dx I2=?

0sin(x)1 + cos

2(x)dx

I 3=? 1 0e 2xe x+ 1dx I4=? ln(2)

0⎷e

x-1dx 1.

On p osep ourI1

???t=x3 dt= 3x2dx

Quandx= 0, t= 0

Quandx= 1, t= 1

ce qui donne I 1=? 1

0x2⎷1 +x3dx

1

0⎷1 +t3

dt 13 (1 +t)3/23 2 1 0 =29 (23/2-1)3

2.On p osep ourI2

???t= cos(x) dt=-sin(x)dx

Quandx= 0, t= 1

Quandx=π , t-1

ce qui donne I 2=?

0sin(x)1 + cos

2(x)dx

-1

1-11 +t2dt

1 -111 +t2dt = [arctan(t)]1 -1 =π4 --π4 =π2 3.

On p osedonc t=ex, ce qui donne pourI3

???t=ex dt=exdxdoncdx=e-xdt,c"est à diredx=dtt

Quandx= 0, t= 1

Quandx= 1, t=e

ce qui donne I 3=? 1 0e 2xe x+ 1dx=? 1 0e xexe x+ 1dx e

1t1 +tdt

e

1t+ 1-11 +tdt

e

11-11 +tdt

= [t-ln(1 +t)]e 1 =e-1-ln(1 +e) + ln(2) 4.

On p osedonc p ourI4

?????t=⎷e x-1donct2=ex-1et doncex=t2+ 1 dt=ex2 ⎷e x-1dxdoncdx=2⎷e x-1e xdt,c"est à diredx=2tt 2+1dt

Quandx= 0, t= 0

Quandx= ln(2), t= 1

ce qui donne4 I 4=? ln(2)

0⎷e

x-1dx 1

0t2t1 +t2dt

1

02t21 +t2dt

1

02t2+ 2-21 +t2dt

1

02-21 +t2dt

= [2t-2arctan(t)]1 0 = 2-π2

Exercice 4.

A l"aide du changement de variabley=1x

calculer? a 1a xln(x)(1 +x2)2dx

On pose

?????y=1x doncx=1y dy=-1x

2dxdoncdx=-x2dy,c"est à diredx=-1y

2dy

Quandx=a , y=1a

Quandx=1a

, y=a

Cela donne

I=? a 1a xln(x)(1 +x2)2dx=? 1a a1yquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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