[PDF] [PDF] Primitives et intégrales Intégration par parties

View - Download [PDF] Primitives et intégrales Intégration par parties

Previous PDF

Next PDF

Université Claude Bernard Lyon 1

Année 2012-2013

Licence Math-Info 1

reannée

Analyse 2 : intégration et approximation

Primitives et intégrales

Feuille d"exercices no 3

Intégration par parties

Exercice 1.Calculer par parties les intégrales ou primitives suivantes : a) Z 1 0 xexdx;b)Z xsin2xdx;c)Z =2 0 x2cos3xdx d) Z x

2lnxdxete)Z

x nlnxdx(avecn2Z):

Exercice 2.Calculer

a)Z 1 0 arctanxdxpuisb)Z 1 0 xarctan2xdx: Exercice 3.Calculer par parties les intégrales ou primitives suivantes : a) Zxsin

2xdx;b)Zln(1 + 2x)x

2dxc)Z

2

1xlnx(1 +x2)2dx;

d) Z =2 0 cosxln(1 + cosx)dx;e)Z e xcosxdx; f) Z xarctanxdx;g)Z ln(x+p1 +x2)dx;h)Z sin(lnx)dxet i) Z 1

1(x2+ 5x+ 6)cos2xdx:

Exercice 4.Pour tout entiern0, on pose

I n=Z =2 0 sinnxdx: a) CalculerI0etI1. b) Montrer que l"on a, pour tout entiern2: I n=n1n In2: c) En déduire les valeurs deI2netI2n+1pour tout entiern0. 1

Changements de variables

Exercice 5.Calculer les primitives suivantes en effectuant le changement de variable indiqué. a) Zdxx px

22(poserx= 1=t);b)Z

1 0dxe x+ 1(poserx=lnt); c) Z x(5x23)7dx(posert= 5x23)etd)Z 3 2dxx px+ 1(posert=px+ 1): Exercice 6.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant le changement de variable indiqué : a) Z 1

0dx(1 +x2)2(poserx= tanu);b)Z

=2

0dx3 + 2cosx(poseru= tan(x=2));

c) Zdxpe

2x1(poseru=ex);d)Z

=2

0dxcosx+ sinx(poseru= tan(x=2));

e) Z =2

0cosx65sinx+ sin2xdx(poseru= sinx):

Exercice 7.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant un changement de variable :

a) Z 1

01 +x1 +

px dx;b)Zdxx pe x1etc)Z 1 0e 2xpe x+ 1dx:

Exercice 8.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant un changement de variable :

a)

Zxp2xx2dx;b)Zdxchxshx;c)Z

1 0 x2p1 +x3dx; d) Z 1

0arctanx1 +x2;e)Z

a 0pa

2x2dx(aveca2R)etf)Zdxxlnx:

Exercice 9.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant un changement de variable :

a) Z 4

1xdxp4x+ 2;b)Z

5 1px1x dx;c)Z 3 2dxx p1 +x; d) Z =2 0 sinxcos2xdxete)Z (x+ 2)sin(x2+ 4x6)dx: Exercice 10.Calculer les primitives ou intégrales suivantes en utilisant un changement de va- riable : a)Z 1

1dxp(x+ 2)(3x);b)Z1xtan(lnx)dx;

c) Z 1 0e

3x1 +e2xdx;d)Zdxchxete)Z

1 0 arcsin2xdx: 2 Exercice 11.En utilisant le changement de variablex= tanu, calculer l"intégrale : Z 1 0 arcsin2x1 +x2dx

On rappelle la formulesin2u=2tanu1 + tan

2u:

Exercice 12.

a) Montrer, en utilisant un changement de variable, que Z 2

1rx1x+ 1dxx

=Z 1=p3

04u2(1u2)(1 +u2)du:

b) Calculer

Zu2(1u2)(1 +u2)du

et en déduire la valeur de Z2

1rx1x+ 1dxx

Primitives et intégrales des fractions rationnelles Exercice 13.Calculer les primitives et intégrales suivantes : a)

Zx25x+ 9x

25x+ 6dx;b)Z5x+ 2x

35x2+ 4xdx;c)Z

2

0dxx(x+ 1)2;

d)

Z5x2+ 6x+ 9(x3)2(x+ 1)2dx;e)Z

1 1dxx

4+ 1;f)Zdxx

4+x2+ 1;

g)

Z2x3(x23x+ 2)3dxeth)Zx314x3xdx:

Exercice 14.Calculer les primitives suivantes :

a)

Zx32xx+ 1dx;b)Zdx49x2;c)Zxdx(x+ 1)3;

d) Zxdxx

2+ 2x+ 10ete)Zdx4x24x3:

Exercice 15.Calculer les intégrales et primitives suivantes : a)

Zdx(x1)3(x+ 1);b)Zxdx(x2+ 1)(x1);c)Z

1

0xdx(x+ 1)2(x2+ 1);

d)

Zx2+ 2(x+ 1)3(x2)dx;

3 Primitives et intégrales des fonctions circulaires

Exercice 16.En utilisant la formule :

cos2x= 2cos2x1 = 12sin2x; calculer : a) Z sin

2xdx;b)Z

=4 0 cos2xdxetc)Z sin 4xdx: Exercice 17.En utilisant la décomposition du produit cosxcos3xsin5x en une somme desin9x,sin7x,sin3xetsinx, calculer l"intégrale Z =2 0 cosxcos3xsin5xdx: Exercice 18.En utilisant le fait quecos0=sinetsin0= cos, calculer les primitives suivantes : a) Z tanxdx;b)Zsin3xcos

2xdxetc)Z

cos 3xdx: Exercice 19.En utilisant la formule pour la dérivée detanx, calculer : a) Z tan

2xdx;b)Z

tan 3xdx:

Exercice 20.Calculer les primitives suivantes :

a) Z cos

3xdx;b)Z

sin

2(x=2)cos3(x=2)dx;

c) Z sin3xcos5xdxetd)Z sin9xsinxdx:

Autres exercices...

Exercice 21.Trouver la formule de récurrence permettant de calculer l"intégrale Z x nexdx oùn2N. 4

Exercice 22.CalculerZ

x

3arcsin1x

dx. Exercice 23.Calculer la dérivée de la fonctionf:R!Rdéfinie par : f(x) =Z x2+1 x et2dt: Exercice 24.On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalleh 4 ;4 i par la formule f(x) =Z x

0pcos2tdt:

a) Montrer quefest impaire. b) Tracer sommairement le graphe def. c) Montrer quef(x)xsi0x=4.

Sommes de Riemann

Exercice 25.Calculer :

a)limn!1

1n+ 1+1n+ 2+12n

b)limn!1Pn k=1n+kn 2.

Longueurs, surfaces, volumes

Exercice 26.Montrer que l"aire du disque unité vaut.

Exercice 27.a) CalculerZp1 +x2dx.

b) Déterminer la longueur de l"arc de la paraboley=x2compris entrex= 0etx=a. Exercice 28.a) Montrer que le volume d"une boule de rayonrest4r3=3. b) Déterminer le volume obtenu par la rotation de l"arc de parabolex=zz2, avec0z1, autour de l"axeOz. 5quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] Seconde - Calcul de probabilités - Parfenoff

[PDF] formules de topographie2016AP

[PDF] TD d 'exercices de Géométrie dans l 'espace - Math93

[PDF] Limitation desdébitsd 'eauxpluvialesen - AgroParisTech

[PDF] referentiel indemnisation - Oniam

[PDF] Petit cours pour comprendre la notion de degré de liberté en

[PDF] CHAPITRE XIII : Les circuits ? courant alternatif : déphasage - IIHE

[PDF] La fonction exponentielle - Lycée d 'Adultes

[PDF] le temps de travail - CIG Versailles

[PDF] Formules de calcul des agrégats de la comptabilité nationale - 9alami

[PDF] CHAPITRE 6 : LES ESCALIERS

[PDF] 1 Gérer la paie (p 5)

[PDF] Outil 1 Indicateurs RH et d 'activité - MDEF

[PDF] puissances exercices

[PDF] Statistiques - Académie en ligne