[PDF] MP Composition de Mathématiques

5.a.Montrer que?est une relation d"ordre surSn(

5.b.Vérifierque, pourn?2, cette relation n"est pas une

5.c.La relation

5.d.Trouver deux matricesS1etS2deS2(

?)telles que S

1?S2etS1?=S2sans queS1< S2.

6.Soientuetv, deux endomorphismes de

?ndiagona- lisables et tels que u◦v=v◦u.

6.a.Démontrer que tout sous-espace propre deuest

stable parv.

6.b.Soient

1< λ2<···< λp,

les valeurs propres deuet E

λ1, Eλ2,...,Eλp,

les sous-espaces propresdeuqui leur sont respectivement associés. Pour tout1?k?p, on notevk, l"endomor- phisme deEλkinduit par restriction dev.

Démontrer que, pour tout1?k?p, il existe une

baseBkdeEλkformée de vecteurs propres dev. En dé- duire qu"il existe une baseBde ?ntelles que les matrices deuet devdans cette base soient toutes deux diagonales.

MP Composition du 4 février 20152

7.a.SoientAetB, deux matrices diagonalisables de

M n( ?). Démontrer queAetBsont codiagonalisables si, et seulement si,AB=BA.

7.b.On considère les deux matrices suivantes.

A=(( 1 1-1 1 1-1 -1-1 1)) B=(( 2 1-1 -2 5-1 -4 2 2)) Démontrer queAetBsont codiagonalisables. Expliciter une matriceP?GL3( ?)telle queP-1APetP-1BPsoient diagonales.

8.SoientS1etS2, deux matrices symétriques positives

telles queS1S2=S2S1. Démontrer queS1S2est une ma- trice symétrique positive.

9.a.SoientS1etS2, deux matrices symétriques telles

queS1S2=S2S1. On suppose que

0?S1?S2.

Démontrer que

S 2

1?S22.

9.b.On considère les deux matrices symétriques sui-

vantes. S

1=?1 11 1?

etS2=? 3/20 0 3? Vérifier que0?S1?S2. L"inégalitéS22?S21est-elle vraie?

10.SoitS? Sn(?). Démontrer que les quatre proposi-

tions suivantes sont équivalentes.

10.a.La matriceSest définie positive.

10.b.Toutes les valeurs propres deSsont strictement po-

sitives.

10.c.La matriceSest positive et inversible.

10.d.Il existeM?GLn(

?)telle queS=tMM.

11.On considère les matrices symétriquesAnetBndéfi-

nies par B n=((((((((((((0 1 0 0 1 0

0 1 0))))))))))))

et par A n=2In-Bn.

11.a.Démontrer que

t

XAnX=x21+n-1?

k=1(xk-xk+1)2+x2n pour toutX= (xk)1?k?n? ?n.11.b.En déduire queAn? S++n(

11.c.Expliciter une matrice inversible de la forme

M n=(((((((((u 1v10 v2 0 u n-1vn-1 0

0un)))))))))

?Mn( telle queAn=tMnMn.

12.SoientS? S++n(

?)etM?GLn(?)telle que

S=tMM.

On noteU= (U1,...,Un), la famille des colonnes deM et, pour tout entier1?k?n, on notepk, la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel

Vect(U1,U2,...,Uk).

12.a.Démontrer queUest une base de

?n.

12.b.On définit la familleV= (V1,...,Vn)en posant

V

1=U1et

?2?k?n, Vk=Uk-pk-1(Uk).

Démontrer queVest une base orthogonale de

?n.

12.c.La famille

W= (W1,...,Wn)

définie par ?1?k?n, Wk=1 ?Vk?Vk est alors une base orthonormée de ?n. Démontrer que la matricedepassagedelabaseWàlabaseUest triangulaire supérieure.

12.d.SoitP, la matrice de passage de la base canonique

de ?nà la baseW. Démontrer qu"il existe une matrice tri- angulaire supérieure inversibleTtelle que M=PT et queS=tTT.

12.e.Démontrer que la matrice

S=((4-2-2

-2 2 0 -2 0 3)) admet une décomposition de la formeS=tTToùTest une matrice triangulaire supérieure inversible. En déduire que la matrice symétriqueSest définie positive.

Source : CCP 2003 PC 1 (partiel)

MP Composition du 4 février 20153

1.a.Le vecteurn=u?v= (-1,1,1)est normal àP,

donc

P= [-x+y+z=0].

1.b.La projection orthogonale surP?=

?·nest définie par ?x? ?3, q(x) =(n|x) ?n?2·n donc la projection orthogonale surPest définie par ?x? ?3, p(x) =x-q(x) =x-(n|x) ?n?2·n. La base canonique étant orthonormée, ce qui précède se traduit matriciellement par ?X? ?3, PX=X-tNX tNN·N=? I

3-NtNtNN?

X où tN=?-1 1 1?. La matrice cherchée est donc 1 3(( 2 1 1 1 2-1

1-1 2))

1.c.La distance dex0= (-1,1,2)àPest la norme du

vecteur d"originex0et d"extrémitép(x0) =1

3(1,-1,2),

c"est-à-dire 1

3?(1+3)2+ (-1-3)2+ (2-6)2=4⎷3

3.

2.Sirest la rotation d"angleθ=2π/3autour de la droite

dirigée et orientée parn= (1,0,0), alorsr3est la rotation d"angle3θautour de cette droite, doncr3=IE. Donc le polynôme minimal de la matrice

A=((1 0 00

-1/2-⎷ 3/2

0⎷

3/2-1/2))

?O3( est un diviseur de(X3-1) = (X-1)(X2+X+1). On voit sur la première colonne de cette matrice que

1est valeur propre, donc son polynôme minimal est divi-

sible par(X-1). Si le polynôme minimal deAétait un diviseur strict de(X3-1), alors il serait égal à(X-1)et il faudrait alors queA=I3, ce qui est évidemment faux.

Donc le polynôme minimal deAest bien(X3-1).

Sn(?)

1.a.Le produittXYest une matrice carrée de taille1.

Elle est donc égale à sa transposée, qui est tYX.

1.b.D"après1.a.et l"associativité du produit matriciel,

tXY)2= (tXY)(tYX) =tX(YtY)X et de la même manière tXY)2= (tYX)(tXY) =tY(XtX)Y.

1.c.Par définition du produit scalaire,

t

XSY=tX(SY) =?X|SY?.

Le produit matriciel

tXSYest une matrice carrée de taille

1, elle est donc égale à sa transposée et comme la matrice

Sest symétrique :

t

XSY=tYtSX=tYSX=?Y|SX?

donc tXSY=?SX|Y?par symétrie du produit scalaire.

2.On sait tout d"abord que la somme de deux matrices

symétriques est encore une matrice symétrique.

2.a.SoientS1etS2, deux matrices symétriques posi-

tives. Alors ?X? ?n,tX(S1+S2)X=tXS1X???? ?0+ tXS2X???? ?0?0, donc la matrice symétrique(S1+S2)est positive.

2.b.SiS1? S+n(

?)etS2? S++n(?), alors t

X(S1+S2)X=tXS1X?

>0+ tXS2X???? >0> 0 pour toutX? ?nnon nul, donc la matrice symétrique (S1+S2)est définie positive.

2.c.La matricetAAest carrée, de taillenet symétrique

car : t(tAA) =tAt(tA) =tAA.

D"autre part,

?X? ?n,tX(tAA)X=?AX|AX?=?AX?2?0, donc tAA? S+n(

3.a.SoitX?

?n, un vecteur propre associé à la valeur propreλ? ?deS. Alors

0=tXSX=tX(λX) =λ?X?2

et commeX?=0, alors?X?> 0. Ainsi, toute valeur propre deSest nulle. ❧La matriceS, comme toute matrice symétrique réelle, est diagonalisable. Comme sa seule valeur propre est0, la matriceSest semblable à la matrice nulle et donc égale à la matrice nulle.

3.b.PourX= (x,y,z)et

M=((0 0 10 0 0

-1 0 0)) on vérifie que t

XMX=?x y z?((z

0 -x)) =0. Plus généralement, toute matrice antisymétrique convient (eton peut vérifier que seules les matrices antisymétriques conviennent).

MP Composition du 4 février 20154

4.a.On suppose queSest positive et on s"inspire du3.a.

Soientλ?

?, une valeur propre deSetX??n, un vec- teur propre associé àλ. Alors

0?tXSX=λ?X?2.

CommeX?=0, alors?X?> 0, doncλ?0.

❧Réciproquement, supposons que toutes les valeurs propres deSsont positives. CommeSest une matrice sy- métrique réelle, elle est diagonalisable et par conséquent, tout vecteurX? ?npeut se décomposer en une somme de la forme

X=X1+···+Xp

avecSXk=λkXkpour tout1?k?pet?Xi|Xj?=0 quels que soienti?=j. Alors t

XSX=p?

k=1λ ktXkXk=p? k=1λ k???? ?0?Xk?2 ?0?0, donc la matrice symétriqueSest positive.

Finalement, une matrice symétriqueS? Sn(

?)est positive si, et seulement si, ses valeurs propres sont toutes positives.

4.b.Deux matrices semblables ont même spectre. SiS

est semblable à une matrice positive, alors toutes les va- leurs propres deSsont positives et par conséquent,Sest positive.

5.a.LamatricenulleappartientàS+n(

?),donc?estune relation réflexive.

Si(S2-S1)et(S1-S2)sont deux matrices positives,

alors leurs valeurs propres sont positives, alors qu"elles sont deux à deux opposées. Par conséquent,S2-S1=0et la relation?est antisymétrique. Enfin, d"après2.a., la somme de deux matrices symé- triques positives estunematricesymétrique positive,donc la relation?est transitive.

La relation?est donc une relation d"ordre surSn(

5.b.La matrice symétrique

S=?1 00-1?

n"est pas supérieure à0(car elle n"est pas positive), ni infé- rieure à0(car-Sn"est pas non plus positive). La relation ?n"est donc pas une relation d"ordre total.

Remarque.Sin=1, on peut identifier

?etSn(?)et la relation?n"est autre que la relation d"ordre usuelle sur

5.c.Comme la matrice nulle n"est pas définie positive,

la relation5.d.PrenonsS1=0et

2=?1 00 0?

6.a.Soientλ?

6.b.Commevest diagonalisable et queEλkest stable

Commeuest diagonalisable, alors

7.a.Soientuetv, les endomorphismes de

P= Mat(B0→B)

B(u) =P-1APetMatB(v) =P-1BP

7.b.La matriceAest symétrique réelle, donc diagonali-