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12. Matrices symétriques et matrices définies positives - Sections 6.4

Pour les matrices symétriques les pivots et les valeurs propres ont le même signe Une matrice symétrique A est définie positive (noté A ? 0).



1 Matrices symétriques définies positives et leur inversion

Définition 1.6 (Matrice définie positive) Une matrice symétrique A dont les éléments sont des nombres réels est définie positive si pour tout vecteur x ? Rn 



1.4 Normes et conditionnement dune matrice

Proposition 1.28 (Propriétés des normes induites). Soit Mn(IR) muni d'une de AtA (noter que AtA est une matrice symétrique définie positive). Alors.



Généralités sur les matrices

Matrice définie positive . Propriétés : Soit et deux matrices et un scalaire. 1. A B A B ... est une matrice carrée symétrique et les éléments.



Cours 5 : LDL et Choleski

x = triang(Uy). Fonction x = LU(A



Exercices du chapitre 5 avec corrigé succinct

Les propriétés d'une norme sont donc vérifiées. Montrer que si une matrice est symétrique définie positive ses termes diagonaux sont strictement ...



VECTEURS GAUSSIENS

Avant d'énoncer le résultat suivant rappelons quelques propriétés des matrices symétriques semi-définies positives. Une matrice symétrique réelle M est semi- 



I. Matrices positives

Supposons la propriété vraie jusqu'à un rang k ? 1. On a alors La matrice C est symétrique définie positive elle est donc semblable à D =.



Annexe A

Matrice symétrique une matrice semi-définie positive de rang r. Alors il existe une matrice ... regroupe quelques résultats liés à cette propriété [1]:.



MP Composition de Mathématiques

Feb 4 2015 Démontrer les propriétés suivantes. 2. a. La somme de deux matrices ... d'une matrice symétrique définie positive est une matrice.



[PDF] 12 Matrices symétriques et matrices définies positives - GERAD

A est définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives ? Les valeurs propres de A sont strictement positives :



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Définition 1 6 (Matrice définie positive) Une matrice symétrique A dont les éléments sont des nombres réels est définie positive si pour tout vecteur x ? Rn 



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Si A est définie positive il existe une unique matrice C symétrique définie positive telle que C2 = A Toujours en utilisant le résultat précédent en 



Matrice définie positive - Wikipédia

Matrice symétrique réelle définie positiveModifier Elle est dite définie positive si elle est positive et inversible autrement dit si elle vérifie l'une 



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Montrer que si une matrice est symétrique définie positive ses termes diagonaux sont stricte- ment positifs (calculer xT Ax avec un vecteur x judicieusement 



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Valeurs propres de matrices symétriques réelles de matrices Matrices semidéfinies positives définies fositives: définitions valeurs propres



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29 avr 2020 · + (R) l'ensemble des matrices positives d'ordre n A raison de sa définitions une matrice positive est aussi appelée matrice non- négative De 



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7 oct 2019 · Est-ce qu'il existe une matrice P ? GLn(K) telle que P?1AP soit une matrice diagonale ? Page 4 Amphi 5 : Diagonalisation des matrices 

  • Comment montrer qu'une matrice est symétrique définie positive ?

    Définition 1.6 (Matrice définie positive) Une matrice symétrique A dont les éléments sont des nombres réels, est définie positive si pour tout vecteur x ? Rn non nul on a xT Ax > 0. Proposition 1.7 Toute matrice symétrique et définie positive est non dégé- nérée.

  • Comment savoir si une matrice est définie positive ?

    Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des quatre propriétés équivalentes suivantes :

    1Pour toute matrice colonne non nulle à éléments complexes, le nombre complexe est un réel strictement positif.2est hermitienne et toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

  • Comment prouver qu'une matrice est symétrique ?

    En alg?re linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
  • Si on préconditionne le système Ax=b à gauche par ce P tel que PA soit symétrique, on arrive sur le système PAx=Pb, avec PA symétrique, ce qui permet d'utiliser un gradient conjugué. Du coup, il faudrait un algorithme qui permet de trouver un tel P, qui serait une sorte de pseudo-inverse.

MT23-Algèbre linéaire

Chapitre 5 : Espaces euclidiens

ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

UTC janvier 2012 5

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

2

Chapitre 5

Espaces Euclidiens et applications

5.1 Produit scalaire, norme, espace euclidien

3

5.2 Orthogonalité

14

5.3 Matrices orthogonales

21

5.4 Diagonalisation des matrices symétriques réelles

28

5.5 Formes quadratiques

32

5.6 Espace hermitien

42

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

3

5.1 Produit scalaire, norme, espace euclidien

5.1.1 Définition du produit scalaire

4

5.1.2 Produit scalaire usuel dans IR

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

5.1.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz

7

5.1.4 Définition de la norme

1 0

5.1.5 Définition de l"espace euclidien

1 2

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

Exercices:

Exercice A.1.1

Exercice A.1.2Exemples:

Exemple B.1.1

compte d"autres propriétés remarquables que l"on rencontre naturellement. En particulier il est

dites métriques. Définition 5.1.1.On appelleproduit scalairedans un espace vectoriel réel E, une application de

E£E dansIRnotée(~x,~y)7!h~x,~yi

possédant les propriétés suivantes : 1. el leest bil inéaire: -h®1~x1Å®2~x2,~yi AE®1h~x1,~yiÅ®2h~x2,~yi, -h~x,®1~y1Å®2~y2i AE®1h~x,~y1iÅ®2h~x,~y2i, 2. el leest dé finieposi tive: -8~x2E,h~x,~xi ¸0 -h~x,~xiAE0AE)~xAE~0

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

produit scalaire3.el leest sy métrique: 8~x,~y2E on ah~x,~yiAEh~y,~xi.

Il n"était pas nécessaire de donner la linéarité par rapport à la deuxième variable, on aurait pu

grâce à la symétrie la déduire de la linéarité par rapport à la première variable.

Exemple :EAEIRn, le produit scalaire usuel défini par h ~x,~yiAEnX iAE1x iyi, XetYles vecteurs colonnes dont les éléments sont respectivement lesxiet lesyi, le produit scalaire usuel de IR nse calcule à l"aide du produit matriciel suivant : h ~x,~yi AEXTYAEYTX.

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

6

5.1.2 Produit scalaire usuel dansIRnExercices:

Exercice A.1.3

Avant de continuer nous allons introduire une notation que nous allons utiliser dorénavant jus- qu"à la fin de ce cours. Si ~xest un vecteur de IRn, on lui associe de façon bijective un vecteur colonneX. Nous noterons maintenant avec la notation uniquexà la fois le vecteur colonne X2Mn1(IR) et le vecteur~xde IRn. On utilisera plus tard la même notation entreC netMn1(C).

Le produit scalaire usuel dans IR

nest hx,yiAEnX iAE1x iyiAExTyAEyTx. Proposition 5.1.1.Si A2Mmn(IR)alors AT2Mnm(IR)vérifie : hAx,yiAEhx,ATyi,8x2IRn,8y2IRm(5.1.1)

(le produit scalaire du membre de gauche est le produit scalaire usuel deIRmet celui de droite est le

produit scalaire usuel deIRn.)

Montrer cette proposition en exercice.

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

Exercices:

Exercice A.1.4

Proposition 5.1.2.

I négalitéde C auchy-Schwarz

On a h ~x,~yi2· h~x,~xih~y,~yi avec égalité si et seulement si ~x et~y sont colinéaires. Démonstration- Pour~x,~y2Eetµ2IR définissons q(µ)AEh~xŵ~y,~xŵ~yi. En utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire, on obtient q(µ)AE h~x,~xiÅ2µh~x,~yiŵ2h~y,~yi. De plus le produit scalaire est défini-positif, donc quel que soitµ2IR,

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Concepts

Exemples

Exercices

Cauchy-SchwarzSi

~y6AE0,q(µ) est un trinôme du second degré (carh~y,~yi 6AE0) qui est non négatif quelque soitµ,

son discriminant est donc·0 d"où l"inégalité de Cauchy-Schwarz : h ~x,~yi2¡h~x,~xih~y,~yi ·0. Si ~yAE~0, l"inégalité est encore trivialement vérifiée puisque h ~x,~yi2AE0·h~x,~xih~y,~yiAE0.

Dans ce cas l"inégalité est une égalité, dans quel autre cas a-t-on encore une égalité?

Si

~y6AE~0 eth~x,~yi2¡h~x,~xih~y,~yi AE0, le discriminant est nul donc le trinôme du second degréq(µ)

admet une racine (double), donc9¯µtel queq(¯µ)AE h~xůµ~y,~xůµ~yi AE0, or le produit scalaire est

défini positif donc ~xůµ~yAE~0, ce qui veut dire que~xAE¡¯µ~y.

Réciproquement, si

~xAE¡¯µ~y, un calcul direct montre queh~x,~yi2AEh~x,~xih~y,~yi.

En résumé on a toujours

h ~x,~yi2·h~x,~xih~y,~yi.

On a égalité pour

~yAE~0 ou~xAE¡¯µ~yce qui est équivalent à dire {~x,~y} est une famille liée, ou~xet~y

sont colinéaires (montrez le). L"inégalité de Cauchy-Schwarz peut aussi s"écrire jh ~x,~yij·ph ~x,~xiqh ~y,~yi.

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Concepts

Exemples

Exercices

Cauchy-SchwarzCette inégalité appliquée au produit scalaire usuel de IR n, donne l"inégalité : nX iAE1x iyi! 2

·nX

iAE1x2 in X iAE1y2 i.

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Concepts

Exemples

Exercices

Exercice A.1.5

Définition 5.1.2.On appellenormesur un espace vectoriel réel E, une application de E dansIRÅ

notée x7!k~xk possédant les propriétés suivantes :

1.k~xkAE0()~xAE~0,

2.k®~xkAEj®jk~xk,8®2IR,

3.k~xÅ~yk·k~xkÅk~yk:inégalité triangulaire.

Définition 5.1.3.On appelleespace vectoriel norméun espace vectoriel réel muni d"une norme.

Exemple: Dans IRn,

n X iAE1jxij, oùxAE(x1,...,xn) définit une norme.

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Concepts

Exemples

Exercices

normeEn effet, c"est une application de IR ndans IRÅ, n X iAE1jxijAE0()xiAE0,8i()xAE0. Les deux autres propriétés proviennent de celles de la valeur absolue : On appelle cette norme la norme 1 et on la notek.k1

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Concepts

Exemples

Exercices

Proposition 5.1.3.Soit E un espace vectoriel réel muni d"un produit scalaire, alors l"application x7!ph ~x,~xi(5.1.2) définit une norme sur E.

Démonstration- Il faut montrer queph

~x,~xivérifie les 3 propriétés de la norme. La propriété 1 provient du fait que le produit scalaire est défini positif. La propriété 2 provient de la bilinéarité : ph®~x,®~xiAEp®

2h~x,~xiAEj®jph

~x,~xi. La bilinéarité et la symétrie du produit scalaire permettent d"écrire : h Ensuite, l"inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne : h ~x,~xiÅ2h~x,~yiÅh~y,~yi · h~x,~xiÅ2qh ~x,~xih~y,~yiÅh~y,~yi d"où h ~xÅ~y,~xÅ~yi ·µph ~x,~xiÅqh 2 soit ph ~xÅ~y,~xÅ~yi·ph ~x,~xiÅph ~y,~yi.

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

DocumentsÎprécédentsection NÎÎ13Définition de l"espace

euclidienDéfinition 5.1.4.Unespace euclidienest un espace vectoriel de dimension finie, muni d"un pro-

duit scalaire donc de la norme associée à ce produit scalaire. Exemple:EAEIRnest un espace vectoriel de dimension finienmuni du produit scalaire usuel hx,yiAEPn iAE1xiyiet de la norme associée kxkAEsn X iAE1x2 i. IR nest donc un espace euclidien.

On vient de voir qu"à un produit scalaire on peut associer une norme, la réciproque est fausse,

par exemple il n"existe pas de produit scalaire associé à la norme nX iAE1jxijde IRn, ni d"ailleurs à la norme max

1·i·njxij.

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

14

5.2 Orthogonalité

5.2.1 Vecteurs orthogonaux, sous-espaces orthogonaux

1 5

5.2.2 Procédé d"orthogonalisation de Schmidt

1 7

5.2.3 Décomposition d"un espace euclidien en sous-espaces orthogonaux

1 9

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Concepts

Exemples

Exercices

Exercices:

Exercice A.1.6

Exercice A.1.7Exemples:

Exemple B.1.2

Définition 5.2.1.Soit un espace euclidien E.

1.

D euxv ecteurs

~x et~y sontorthogonauxsih~x,~yi AE0. 2. U nefamil lede v ecteurs{~x1,~x2,...,~xp}estorthogonalesi h ~xi,~xji AE0,8i6AEj.

Elle estorthonorméeouorthonormalesi de plus

kxikAE1,8iAE1,...,p. 3. S iF es tun sou s-espacev ectorielde E ,on appel leorthogonal deF dans E et on le note F?, le sous-espace vectoriel F ?AE{~x2Ej8~y2F,h~x,~yi AE0}. Montrer, en exercice, queF?est un sous-espace vectoriel eE.

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Concepts

Exemples

Exercices

orthogonaux, sous-espaces d"une base possible. Proposition 5.2.1.Une famille orthogonale de vecteurs non nuls d"un espace euclidien, est libre.

Montrer cette propriété en exercice.

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Concepts

Exemples

Exercices

Exercice A.1.8Documents:

Document C.1.1

Proposition 5.2.2.

P rocédéd "orthogonalisationde Schmid t

telle que : Démonstration- Raisonnons par récurrence surp:

P ourpAE1, on pose :

y1AE1k ~x1k~x1. et il est clair que vecth~x1iAEvecth~y1i. D ansl eca spAE2, on déterminerait~y1comme précédemment.

Pour obtenir

~y2, on commence par calculer un vecteur~ˆy2défini de la façon suivante : ˆy2AE~x2ů~y1, (combinaison linéaire de~x2et de~y1) puis on divise ce vecteur par sa norme pour obtenir le vecteur ~y2de norme 1 y2AE1k ~ˆy2k~ˆy2.

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Concepts

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Exercices

gonalisation de ¯pour que les vecteurs {~y1,~y2} soient orthogonaux : h ~ˆy2,~y1iAEh~x2ů~y1,~y1iAE0, soit

¯AE¡h~x2,~y1i,

d"où ~ˆy2AE~x2¡h~x2,~y1i~y1,

ˆy2est un vecteur non nul, car sinon on aurait~x2et~y1colinéaires donc~x2et~x1colinéaires, ce

qui est contraire à l"hypothèse. On peut donc définir : y2AE1k ~ˆy2k~ˆy2 D ansl eca spAE3, on déterminerait~y1et~y2comme précédemment.

Pour obtenir

~y3, on commence par calculer un vecteur~ˆy3défini de la façon suivante :

ˆy3AE~x3ů1~y1ů2~y2

puis on divise ce vecteur par sa norme pour obtenir le vecteur ~y3de norme 1 y3AE1k ~ˆy3k~ˆy3. On détermine¯1et¯2pour que~ˆy3soit orthogonal à~y1et à~y2. Faites le calcul, on obtient¯1AE¡Ç~x3,~y1È,¯2AE¡Ç~x3,~y2È. P ourla récur rencegénér ale,li rel edocumen t.

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Exercices

Exercices:

Exercice A.1.9

Théorème 5.2.1.Soit E un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E, alors

EAEF©F?.

Démonstration- SoitXAE{~x1,~x2,...,~xp} une base deF, d"après le théorème de la base incom-

plète, on peut compléterXpar une famillefXAE{~xpÅ1,~xpÅ2,...,~xn} telle queX[fXforme une base deE. D"après l"orthogonalisation de Schmidt, on peut trouver une famille orthonormée ~y1,~y2,...,~yn} telle que :

v ecth~y1,~y2,...,~ypiAEvecth~x1,~x2,...,~xpiet donc {~y1,~y2,...,~yp} est une base orthonormée deF,

v ecth~y1,~y2,...,~yniAEvecth~x1,~x2,...,~xniet donc {~y1,~y2,...,~yn} est une base orthonormée deE,

P ardéfinit iond "uneba seo rthonorméeon a

h

Puisque

~ykest orthogonal à tous les éléments de la base deF,~ykest orthogonal à tous les vecteurs deFdonc~yk2F?, ceci est vrai8kAEpÅ1,...,net doncG½F?.

D oncEAEF©G½FÅF?.

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Concepts

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Exercices

DocumentsÎprécédentsection NÎÎ20Décomposition d"un espace euclidien en sous-espaces orthogonaux-E videmmentFÅF?½E, doncEAEFÅF?. Or FTF?AE{0}, donc la somme est directe :FÅF?AEF©F?

On a doncEAEF©F?

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Exercices

21

5.3 Matrices orthogonales

5.3.1 Définition et caractérisation des matrices orthogonales

2 2

5.3.2 Matrice de passage entre 2 bases orthonormées

2 4

5.3.3 Propriétés des matrices orthogonales

2 6

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Concepts

Exemples

Exercices

Exercice A.1.10

On rappelle la définition du symbole de Kronecker±i jqui vaut 1 siiAEjet 0 sinon. Dans la défi-

nition suivante on note comme d"habitudeQilaiecolonne deQ. Définition 5.3.1.On dit queQ2Mn,n(IR)est une matrice orthogonale si pour tout1·i,j·n,(Qi)TQjAE±i joù±i jest le symbole de Kronecker.

Bien sûr la terminologie "matrice orthogonale" n"a pas été choisie au hasard : si on utilise le pro-

duit scalaire usuel de IR n, on voit que 2 colonnes distinctes deQont un produit scalaire nul, elles sont donc orthogonales. On remarque de plus que les colonnes deQsontorthonormées, ce que ne laisse pas supposer la terminologie. Proposition 5.3.1.Une condition nécessaire et suffisante pour queQ soit orthogonale est que : Q TQAEIquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
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