[PDF] Introduction à la mécanique quantique

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P. Chaquin LCT-UPMC

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Chapitre I

Mécanique quantique : rappel des notions

utiles : modèles pré-quantiques

La mécanique quantique est née, entre autres, des difficultés à faire coïncider des observations

spectroscopiques (absorption ou émission de lumière) avec un modèle physique classique de

1.1. Modèle de Rutherford

Dans ce premier modèle " planétaire » classique, présente un mouvement circulaire uniforme de rayon r et à la vitesse v autour du proton.

Fig. 1. Modèle " planétaire

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2

La force centrale

F coulombienne

respectives +e et e donne la relation : r vmr eF 2 2 2 04 1 SH

E T des deux particules, pratiquement

éré comme immobile au centre de

masse V : r emvE VTE 2 0 2 4 1 2 1 En éliminant v entre ces deux relations il vient : r eE 2 04 1 2 1 Comme aucune condition ne pèse sur ratome peut, selon ce résultat, prendre,

de façon continue, toutes les valeurs allant de 0, pour r infini (ceci correspond à adopter pour

origine des énergies celle de -r tend vers zéro. Ce résultat est manifestement absurde : il doit évidemment exister une valeur minimale E0

correspondant à son état le plus stable (état fondamental). En outre, les expériences de

tre 0 et E0. Lors décharge électrique provoquée par un champ électrique intense dans du

dihydrogène gazeux, des molécules sont ionisées, dissociées, et des atomes ionisés sont

produits. Les protons se recombinent ensuite avec les état fondamental, en passant par un certain nombre ,

Ei énergie lumineuse

H+ + e- ĺ1 ĺ H** + E2 ĺĺétat fondamental) a0 = 2 2 04 me = 0,529 Å

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D, t de la forme :

021EnEn

où n est un nombre entier non nul. de Rutherford rend compte de ces résultats à conditio 2 hnmvr modèle de Bohr (1913). Mais cette condition ad hoc ne trouve aucune justification dans la physique classique. Une description cohérente des atomes et, plus généralement des

phénomènes microphysiques nécessitera une remise en question radicale de la notion de

particule matérielle, inspirée par des difficultés comparables que rencontra la théorie de la

2. La lumière : aspects ondulatoire et corpusculaire

Antiquité, la lumière a été considérée tantôt corpuscules tantôt comme une onde se propageant à partir de la source lumineuse. Le problème restait entier au début du XVIIIème siècle, Huygh réduisaient alors à géométrique » (réflexion et réfraction) et

des interférences et de la diffraction sembla pour un temps avoir définitivement réglé la

question en faveur de la théorie ondulatoire nature de la grandeur physique en vibration : un champ électrique E couplé avec un champ magnétique. On pouvait onde lumineuse en chaque point x, y, z sous la forme

E (x,y,z) = E 0(x,y,z) cos (2t + ).

montrèrent incompatibles avec une nature ondulatoire de

la lumière de fréquence inférieure à un seuil 0, quelle que soit la puissance reçue à la

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4 surface du métal. En revanche, effet photoélectronique se produit si > 0, même si la puissance de la source est très faible. Ces résultats ne pe que l pas toujours uniformément répartie comme celle , mais peut se manifester en un point précis pour être transférée à un électron du métal. La lumière se comporte ici comme un ensemble de corpuscules (Planck et

Einstein, 1905):

E = h

La liaison entre c

diffraction de la lumière émise par une source S par un petit orifice (Fig. 2). S z z V Ecran d'observation Fig. 2 Diffraction de la lumière ; à gauche énergie potentielle en fonction de z éclairées) et des franges sombres (faiblement éclairées)lumineuse reçue par unité de temps et de surface. Dans la théorie ondulatoire, à E02(x,y,z) au point considéré ; dans la théorie corpusculaire, il est proportionnel au nombre de corpuscules (h) reçus par unités de temps et de surface. Supposons que la puissance de la source S soit assez faible pour que les photons soient émis un par un, par exemple toutes les secondes. On ne peut prévoir exactement présence en tout point, cette probabilité dans un volume élémentaire dv étant : dP = E02(x,y,z) dv. de chaque corpuscule.

Remarquons que la lumière peut être traitée de façon corpusculaire, à condition que les

contraintes (conditions aux limites) soient de grande dimension par rapport à la longueur ceaux lumineux sont délimités par des diaphragmes relativement grands " effet de

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5 bord »)s orifices, comme dans rience de diffraction de la figure 1. photons ne sont soumis à aucune force opaque est au contraire une région d infinie V selon z dans le est représentée dans la partie gauche de la figure 1. La largeur du " puits de

potentiel carré infiniment haut » ainsi constitué conditionne le caractère ondulatoire ou

corpusculaire prédominant. Avec un puits large devant la long pinceau » de corpuscules avec une trajectoire précise. Dans le cas s

3. Les électrons et autres particules : aspect corpusculaire et

ondulatoire

3.1. Hypothèse de de Broglie : onde associée à un corpuscule

Les considérations précédentes sur la lumière ont inspiré à de Broglie (1924)

E = mc2 E = hdu

photon de vitesse c, conduirait à mc2 = h on peut postuler une relation de même forme pour un corpuscule de masse au repos m et de vitesse v mv2 = hv soit mv hO qui associe une onde de longueur à tout corpuscule matériel. Cette hypothèse se trouvera

vérifiée directement par la mise en évidence de diffractions de particules (électrons, neutrons)

la mécanique ondulatoire ou mécanique quantique

atomique. Remarquons dès à présent que la condition de Bohr se trouve justifiée : dans une

orbite " permise », c'est-à-

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6 OS 2 2 hnmvr mv hnnr

On peut alors

lumineuse : (x,y,z) = (x,y,z, (t)) cos (2t + ) (1)

Si t, on a un système stationnaire. Cependant

cette analogie reste partielle, car en soi. En revanche, comme pour le photon, le carré du module est la

densité volumique de probabilité de présence de la particule (ou plus simplement densité

électronique pour un électron) au point x, y, z. = 2(x,y,z,) La probabilité de présence dans un volume dv au voisinage de ce point est dP = 2(x,y,z) dv. . Comme la probabilité de présence du corpuscule dans tout

1),,(2dvzyx

normalisation

F électron

(x,y,z), (ou densité

électronique) en ce point :

= 2(x,y,z,) La probalilité dP de présence dans un volume dv autour de ce point est donc : dP = 2(x,y,z) dv

Ceci impose pour la condition de normalisation

1),,(2dvzyx

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7 classique si les conditions aux ainsi décrire avec les équations classiques , par exemple. mis au potentiel r eV 2 04 1 " puits hyperbolique infiniment profond » (Fig. 3) " piégé » dans une cavité de rayon a0 , avec une énergie potentielle de -27.2 eV. V r 0,53 -27.2

Fig. 3. Energie potentielle de ; valeur (eV)

On a alors :

0 0 2 2 amv h hmva O S a0 traitement " ondulatoire ». stationnaire associée à une particule obéit de la physique classique décrivant la propagation des ondes à une vitesse v : 2 2 21
tv )w ') En portant la fonction équation, et une fois effectuée la double dérivation par rapport au temps du second membre :

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8 ),,())2cos(4(1),,()2cos(22

2zyxtvzyxt ' ),,(41),,(22

2zyxvzyx ' La relation de de Broglie donne, en appelant T mv2 Th m h vm v mv hv 22
22
2 22
Q QO du fait que E est la somme des énergies cinétique T et potentielle V : ),,()(24),,(2

2zyxVEh

mzyx 'contraintes exercées sur le corpuscule par le système étudié (atome etc.) qui le " contient ».

Les inconnues sont les fonctions (x,y,z) qui décrivent chacune un état possible du corpuscule

dans cet environnement et déterminent ses propriétés physiques, en particulier sa densité en

; à chaque solution correspond une valeur de E (états stationnaires). Cette équation peut être récrite sous la forme symbolique quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39