[PDF] Calcul intégral Calcul intégral. 2008-2010.

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Calcul intégral

Table des matières

I Primitives2

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2

I.2 Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2

I.2.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3

I.2.2 Opérations sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3

II Intégrale d"une fonction4

IIIInterprétation graphique : calcul d"aire5

III.1 Aire d"un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 5

III.2 Aire d"une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 5

III.3 Aire d"une fonction quelconque : découpage d"aire . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

IVPropriétés de l"intégrale6

IV.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6

IV.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7

IV.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7

IV.4 Inégalité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8

IV.5 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

V Méthodes de calcul d"intégrales9

V.1 Intégration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 9

V.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 9

V.2.1 Changement de variable du typex→x+β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 V.2.2 Changement de variable du typex→αxlorsqueα?= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

V.2.3 Cas général : changement de variable du typex→?(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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I Primitives

I.1 Définitions

Définition 1

Soitfune fonction définie sur un intervalleI.

On appelle primitive

defsurItoute fonctionFdéfinie et dérivable surIvérifiant F ?(x) =f(x)pour toutx?R.

Exemple 1

Considérons la fonctionfdéfinie surRparf(x) = 3x2. ÔLa fonctionFdéfinie surRparF(x) =x3est une primitive defsurRpuisqueF?(x) =f(x). ÔLa fonctionGdéfinie surRparG(x) =x3+ 2est aussi une primitive defsurRpuisqueG?(x) =f(x).

Exemple 2

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x

⎷x2+ 3, alors la fonctionFdéfinie surRparF(x) =⎷x2+ 3 +πest une primitive def. ÔOn calculeF?, la dérivée deFet on vérifie que l"on obtientf:

ÔF?(x) =2x

2⎷x2+ 3+ 0 =x⎷x2+ 3=f(x).

Propriété 1

Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR,kun réel,x

0?Iety0?Rfixés.

©Sifest dérivable surI, alorsfpossède au moins une primitive surI. ©Sifadmet une primitiveFsurI, les primitives defsont les fonctions du typeF(x) +k ©Sifest dérivable surI, il existe une unique primitiveFdefsurItelle queF(x0) =y0.

Exemple 3

ÔLes fonctionsF0(x) =1

4x4,F1(x) =14x4+ 1,F2(x) =14x4+ 2, ... ,Fk(x) =14x4+kaveck?R

sont toutes des primitives de la fonctionsf. ÔCependant, il n"existe qu"une unique primitiveFdefvérifiantF(0) = 1: il s"agit deF1.

I.2 Calculs de primitives

L"objet de ce paragraphe est de présenter quelques techniques simples permettant l"obtention de primitives

de fonctions données sur un intervalle déterminé. http://nathalie.daval.free.fr-2-

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I.2.1 Primitives des fonctions usuelles

La lecture du tableau des primitive se fait en lisant celui des dérivées " à l"envers ».

Les fonctionsfsuivantes sont définies, dérivables sur l"intervalleI,nest un entier relatif différent de-1.

Obtention de primitives par lecture inverse du tableau des dérivées : f(x)une primitiveF(x)conditions 0kI=R aaxI=R xnxn+1 n+ 1I=Rsin >0 I=R ?sin <0 1 x2-1xI=R?

1⎷x2⎷xI=R?+

cosxsinxI=R sinx-cosxI=R exexI=R 1 xlnxI=R?+

Remarque 1

Pour obtenir toutes les primitives d"une fonctionfdonnée, il suffit de rajouter une constante.

Exemple 4

ÔUne primitive de la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x8estF(x) =1 9x9. ÔUne primitive de la fonctionfdéfinie surR?+parf(x) =1 x8estF(x) =-17x7.

I.2.2 Opérations sur les primitives

uetvsont des fonctions de primitivesUetVsur un intervalleI.

Tableau des opérations sur les primitives :

Forme de la fonctionUne primitiveConditions

u+vU+V k×uk×U u?unun+1 n+ 1n?N u? un-1(n-1)un-1n?N? u? ⎷u2⎷uu(x)>0 u?cosusinu u?sinu-cosu u?eueu u? ulnuu(x)>0 http://nathalie.daval.free.fr-3-

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Exemple 5

On cherche à déterminer dans chacun des cas suivant une primitiveFde le fonctionfsur l"intervalleI:

Ôf(x) = 4x2etI=R:F(x) = 4×x3

3=4x33.

Ôf(x) = 2x(x2-1)5etI=R:f(x) = (x2-1)?(x2-1)5doncF(x) =(x-1)6 6.

Ôf(x) =3

⎷3x-6etx >2:f(x) =(3x-6)?⎷3x-6doncF(x) = 2⎷3x-6. Ôf(x) = 2x+ 2cos(2x)-6sin(3x-1)etI=R:f(x) = 2x+ (2x)?cos(2x)-2(3x-1)?sin(3x-1) doncF(x) =x2+ sin(2x) + 2cos(3x-1). Ôf(x) =-9e-3x-1etI=R:f(x) = 3(-3x-1)?e-3x-1donc :F(x) = 3e-3x-1.

Ôf(x) =4x-2

x2-x+ 3etI=R:f(x) =2(x2-x+ 3)?x2-x+ 3donc :F(x) = 2ln(x2-x+ 3).

II Intégrale d"une fonction

Définition 2

On appelle intégrale defsur[a;b]

le nombre réelF(b)-F(a)oùFest une primitive quelconque def surI. Il est noté ?b a f(x)dx=F(b)-F(a).

Exemple 6

Calcul de l"intégrale :?

3 2 x dx:

ÔUne primitive def(x) =xestF(x) =x2

2.

Ôdonc,?

3 2 x dx=F(3)-F(2) =9

2-42=52.

Remarque 2

•L"intégrale d"une fonctionfsur [a;b] est indépendante du choix de la primitiveF.

•On note aussi

?b a f(x)dx= [F(x)]ba=F(b)-F(a).

•Dans l"écriture

?b a f(x)dx, la variablexest " muette », ce qui signifie que ?b a f(x)dx= ?b a f(t)dt=... Ledxoudtdétermine la variable par rapport à laquelle on intègre la fonction :x, out. http://nathalie.daval.free.fr-4-

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III Interprétation graphique : calcul d"aire

III.1 Aire d"un fonction positive

Propriété 2

Sifest une fonction positive sur [a;b], alors?b

a f(x)dxest égal à l"aire du domaine compris entre

la courbe def, l"axe des abcsisses et les droites d"équationsx=aetx=bexprimée en unité d"aire.

Exemple 7

Calcul de l"aire du domaine compris entre la courbe d"équa- tion1 x, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationsx=12 etx= 4dans un repère orthonormé(O;-→i;-→j)d"unité gra- phique1cm : 4 1

21xdx= [ln(x)]412= ln4-ln12= ln4 + ln2

4 1

21xdx= ln8 = 3ln2U.A.≈2,08cm2.

1 2 3 4-1

123
-1

III.2 Aire d"une fonction négative

Si la fonctionfest négative, alors la fonction-fest positive et les courbes sont symétriques par rapport à

l"axe des abscisses.

Dans ce cas,A=

?b a [-f(x)]dx.

Exemple 8

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3

27-x23.

fest négative sur l"intervalle[ 0 ; 9 ]. Pour calculer l"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses,

et les droites d"équationx= 0etx= 9, il suffit de calculer l"aire du domaine compris entre la courbe de-f, l"axe des

abcsisses, et les droites d"équationx= 0etx= 9:

Graphique def:

A1

Graphique de-f:

A2

A1=A2=?

9 0 [-f(x)]dx=? 9 0? -x327+x23? dx=? -x4108+x39? 9

1=814U.A.

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III.3 Aire d"une fonction quelconque : découpage d"aire

Pour calculer l"aire d"un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l"intervalle

en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.

Exemple 9

On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =x2-x-2. On noteAl"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=-1etx= 3:

A=A1+A2

A=? 2 -1[-f(x)]dx+? 3 2 [f(x)]dx A=? 2 -1(-x2+x+ 2)dx+? 3 2 (x2-x-2)dx A=? -x3

3+x22+ 2x?

2 -1+?x33-x22-2x? 3 2 A=?10 3+76? -32+103? A=19

3≈6,33U.A.

1 2 3-1-2

1234
-1 -2A1 A2

IV Propriétés de l"intégrale

IV.1 Relation de Chasles

Propriété 3

Soitfune fonction dérivable surRetc?[a;b], alors ?b a f(x)dx= ?c a f(x)dx+ ?b c f(x)dx.

Interprétation graphique :

A1A2 abc http://nathalie.daval.free.fr-6-

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IV.2 Linéarité

Propriété 4

Soientf,g: [a;b]→Rdeux fonctions dérivables etλun réel, alors : ?b a [f(x) +g(x)]dx= ?b a f(x)dx+ ?b a g(x)dx. ?b a

λf(x)dx=λ

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