Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
et applications pour l'ingénieur 1 Introduction à l'étude des fonctions de plusieurs variables ... 8.3.3 Un exemple d'application en Physique .
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Mathématiques pour la Mécanique
Mécanique ou à un élève ingénieur de la maîtriser : on se contentera de pré- 2.8 Principaux théorèmes sur les fonctions de plusieurs variables .
Fonctions de plusieurs variables et applications pour l’ingénieur
Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite dérivabilité et dévelopement limité bien connus dans le cas des fonctions d’une variable Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-
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Mathématiques pour l"ingénieur
Daniel Choï
1 LMNO Groupe Mécanique Modélisation Mathématique et Numérique Université de Caen, Bld Maréchal Juin, 14032 Caen Cedex, FranceVersion 2015
1. daniel.choi@unicaen.fr
Mathématiques pour l"ingénieur
Avertissement
Ce document est inspiré de divers cours enseignés par l"auteur à l"Uni- versité de Caen et de di versmanuels classiques de Mathématiques tels que Rud95 Car85 Sch67 Que64 Dix76 ]. Il était anciennement intituléMathématiques pour la Licence de Mécanique.
Initialement destiné aux étudiants en Mécanique, il est destiné également à tout étudiant en science de niveau L3 et Master ainsi qu"aux élèves des grandes écoles d"ingénieurs. Il peut également être utile aux étudiants en ma- thématiques qui trouveront des versions simplifiés ainsi que des exemples d"applications des éléments de base de leurs études. Il s"agit principalement de définir les bases mathématiques nécessaires à la modélisation, l"analyse avant même l"éventuelle résolution (essentielle- ment numérique) d"un problème en ingénierie. Le document n"est naturelle- ment pas exhaustif. Il manque notamment les probabilités et statistiques ainsi que les méthodes numériques. Ainsi, nous avons identifiés les notions d"algèbre linéaire, decalcul dif- férentiel, decalcul intégral, de larésolution de systèmes différentiels ordi- naires, comme bases indispensables à maîtriser pour tout étudiant en méca- nique ou en sciences de l"ingénieur. Viennent ensuite diverses notions comme lathéorie des fonctions d"une variable complexequi vont essentiellement servir à la recherche de solutions analytiques au niveau L3 ou qui pourront avoir un rôle plus large et théorique au niveau Master. La théorie de l"intégrale de Lebesgue, base de l"analyse fonctionnelle, est fondamentale pour justifier sur un plan mathématique toute la modélisation en Mécanique des milieux continus et notamment la justifica- tion d"un problème bien posé. Elle permet également de bien définir latrans- formation de Fourierqui est un outil très important permettant la résolution analytique ou semi-analytique d"un grand nombre de problèmes différentiels ou aux dérivées partielles. Mais il n"est pas nécessaire pour un étudiant en Mécanique ou à un élève ingénieur de la maîtriser : on se contentera de pré- senter les résultats les plus importants pour les applications. Nous choisissons de présenter également lathéorie des distributions, permettant de représenter notamment les cas de des charges ponctuelles donnant un sens généralisé à la notion de dérivée. Nous terminons par une très courte introduction à l"analyse fonctionnelle en présentant les espaces de Hilbert et en particulier les espaces de Sobolev donnant le cadre théorique des problèmes bien posé et au delà de la théorie, les bases de la méthode des éléments-finis, omniprésent dans la résolution numériques des problèmes issus de la mécanique. cDaniel Choï 2003-1Université de Caen
Mathématiques pour l"ingénieur
de résultats, ne contient pratiquement pas démonstrations et surtout ce docu- ment manque cruellement d"exemples. contributions suggestions ou commentaires sont les bienvenus : envoyez moi un email àdaniel.choi@unicaen.fr Une version au format pdf est disponible ici :http://www.meca. pdf html cDaniel Choï 2003-2Université de Caen
Mathématiques pour l"ingénieur
Table des matières
Conventions et notations
4Notations
4 Convention de sommation suivant les indices répétés 4Notation des dérivées partielles
5Indices et exposant Grecs ou Latins
61 Algèbre linéaire : Espaces vectoriels et applications linéaires
71.1 Espaces vectoriels
71.1.1 Espace vectoriel : une présentation intuitive
71.1.2 Exemples d"espace vectoriel
81.1.3 Espace vectoriel : la définition
81.1.4 Sous-espace vectoriel
101.1.5 Indépendance linéaire : vecteurs libres, vecteurs liés
101.1.6 Produit d"espaces vectoriels
111.1.7 Cas des espaces vectoriels réels de dimension finie
111.2 Cas des espaces?n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.2.1 Produit scalaire Euclidien et norme Euclidienne dans?n. . . . .12
1.3 Application linéaire
141.3.1 Opérateurs linéaires
151.3.2 Quelques exemples d"espaces vectoriels et d"applications liné-
aires 161.4 Matrice d"une application linéaire
171.4.1 Bijection entreL(X;?)etX. . . . . . . . . . . . . . . . . .18
1.4.2 Norme d"une application linéaire
191.4.3 Produit de deux matrices et composition de deux applications li-
néaires 191.4.4 Changement de bases et Matrices de passage
20 cDaniel Choï 2003-3Université de Caen
Mathématiques pour l"ingénieur
1.5 Cas des opérateurs linéaires - Matrices carrés
221.5.1 Adjoint d"un opérateur linéaire
221.5.2 Partie symétrique et antisymétrique d"un opérateur linéaire de?n22
1.6 Déterminant
231.6.1 Déterminant denvecteurs de?n. . . . . . . . . . . . . . . . .23
1.6.2 Déterminant d"une matrice carré - Déterminant d"un opérateur
linéaire 241.6.3 Règles de calcul d"un déterminant - Développement suivant une
ligne ou une colonne 251.7 Éléments de théorie spectrale
261.7.1 Spectre d"un opérateur linéaire
261.7.2 Réduction d"un opérateur linéaire
271.8 Cas des opérateurs auto-adjoint ou matrices symétriques
281.9 Annexe : quelques preuves
291.9.1 Preuve du théorème
1.3.4 291.9.2 Preuve du théorème
1.3.8 301.9.3 Preuve de la proposition
1.4.4 312 Calcul différentiel
322.1 Éléments de topologie métrique
322.2 Fonctions continues de plusieurs variables
342.3 Fonction différentiable - Application dérivée
342.3.1 Cas des fonctions réelles définie sur un intervalle réel
342.3.2 Cas général
352.3.3 Matrice Jacobienne et dérivées partielles
382.4 Gradient, divergence, rotationnel
392.4.1 Gradient
392.4.2 Divergence
392.4.3 Rotationnel
402.4.4 Quelques remarques et propriétés des opérateurs différentiels
402.5 Dérivation le long d"une courbe - Dérivation partielle dans une direction
412.6 Fonction dérivée
422.7 Dérivée seconde
422.8 Principaux théorèmes sur les fonctions de plusieurs variables
432.9 Formule de Taylor
432.10 Coordonnées cylindriques et sphériques
442.10.1 Expressions en coordonnées Cylindriques
442.10.2 Expressions en coordonnées sphériques
472.11 Extrema d"une fonctions différentiable
472.11.1 Dérivation d"une fonctionelle d"énergie
48c
Daniel Choï 2003-4Université de Caen
Mathématiques pour l"ingénieur
3 Intégrale de Riemann
493.1 Définition de l"intégrale de Riemann
493.2 Principales propriétés
503.3 Intégration et dérivation
513.4 Formule intégrale de Taylor
513.5 Intégrale sur un contour
513.6 Intégrale sur un pavé de?n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Intégrale multiple - Formule de Jacobi
524 Théorème de Stokes et Formule de la divergence
544.1 Formes différentielles
544.2 Différentielle d"une forme différentielle
564.3 Théorème de Stokes - Formule de la divergence
564.4 Formule de la divergence : définition
574.4.1 Cas où
est un domaine de?. . . . . . . . . . . . . . . . . . .574.4.2 Cas où
est un domaine de?2. . . . . . . . . . . . . . . . . .574.4.3 Cas où
est un domaine de?3. . . . . . . . . . . . . . . . . .584.4.4 Formules de Stokes
594.4.5 Formules de Green
595 Calcul différentiel sur un tenseur d"ordre 2
615.1 Tenseur d"ordre 2
615.2 Gradient d"un tenseur d"ordre 2
625.3 Divergence d"un tenseur d"ordre 2
625.4 Tenseur en coordonnées cylindriques
635.5 Tenseur en coordonnées sphériques
656 Systèmes différentiels ordinaires
667 Fonction d"une variable complexe
677.1 Nombres Complexes
677.2 Fonctions holomorphes
697.2.1 Fonctions holomorphes
697.2.2 Conditions de Cauchy-Riemann
707.3 Suite et Séries de nombres complexes
707.4 Divers
717.4.1 Fonctions exponentielle et trigonométrique
717.5 Intégrales complexes
727.5.1 Formule intégrale de Cauchy
727.5.2 Série de Laurent
747.5.3 Théorèmes des résidus
757.5.4 Classification des Pôles singuliers
75c
Daniel Choï 2003-5Université de Caen
Mathématiques pour l"ingénieur
7.5.5 Représentation conforme
768 Théorie restreinte de la mesure
La mesure de Lebesgue
778.1 Ensemble élémentaire
788.1.1 Pavés et mesure d"un pavé
788.1.2 Ensemble élémentaire et mesure d"un ensemble élémentaire
788.2 Ensemble mesurable
798.2.1 Mesure extérieure
798.2.2 Ensemble mesurable
798.2.3 Mesure d"un ensemble mesurable
808.2.4 Ensemble de mesure nulle
808.3 Fonctions mesurables
808.3.1 Limites de fonctions continues
808.3.2 Propriétés des fonctions mesurables
818.3.3 Classe des fonctions nulles presque partout
818.4 Quelques remarques
818.4.1 Sur les fonctions non-mesurables
818.4.2 Sur la théorie abstraite de la mesure
819 Intégrale de Lebesgue
Théorème de convergence dominée
829.1 Fonctions étagées
829.1.1 Fonctions élémentaires
829.1.2 Fonctions étagées
839.1.3 Intégrale d"une fonction étagée
849.1.4 Intégrale de Lebesgue d"une fonction mesurable
849.2 Théorèmes de Lebesgue
859.2.1 Théorème de convergence monotone
859.2.2 Lemme de Fatou
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