[PDF] Pour enseigner les nombres le calcul et la résolution de problèmes

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Introduction

vaillées sur ces deux cycles. La Le c étapes de calcul intermédiaires qui seraient trop lourde indépendant des nombres en jeu. ous les élèves. Le calcul en ligne ne se limite alcul posé venir un calcul écrit en ligne.

Quelques exemples

Ces exemples montrent un panel de stratégies mobilisées par les élèves qui pratiquent régulièrement le

523 67 = ?

Un élève écrit :

523 67 = 523 7 60 = 516 60 = 456

Un autre élève écrit :

523 ௅ 67 = 526 ௅ 70 = 556 ௅ 100 = 456

Il ajoute 3, puis 30 à chacun des deux nombres, le résultat ne change pas (conservation des écarts beaucoup plus simple à effectuer.

La justification " complète » :

523 ௅ 67 = (523 + 3) ௅ (67 + 3) = 526 ௅ 70 = (526 + 30) ௅ (70 + 30)

= 556 ௅ 100 = 456 Produire cette écriture en autonomie ne relève pas du cycle 3.

Un troisième élève écrit :

523 67 = 520 64 = 520 + 36 ௅ 100

= 456 er le complément à 100 de 64 :

523 ௅ 67 = (523 ௅ 3) ௅ (67 ௅ 3) = 520 ௅ 64 = (520 + 36) ௅ (64 + 36)

= 556 ௅ 100 = 456 Produire cette écriture en autonomie ne relève pas non plus du cycle 3.

Un quatrième élève écrit :

523 ௅ 20 = 503 ௅ 40 = 463 ௅ 3 = 460 ௅ 4

= 456 mathématique avec une utilisation erronée du symbole " = correcte. I exemple de la façon suivante :

523 ௅ 20 = 503 ; 503 ௅ 40 = 463 ; 463 ௅ 3 = 460 ; 460 ௅ 4 = 456

Un cinquième élève écrit :

523 ௅ 67 = 33 + 423 = 456

certain de la démarche suivi à partir de cette seule trace écrite. -être utilisé les compléments à 100.

33+67=100. Soustraire 67 revient donc à soustraire 100 et ajouter 33.

Il a peut-être utilisé le fait que la différence entre 523 et 67 est le nombre à ajouter à 67 pour obtenir 523 et ce nombre est la somme du nombre à ajouter à 67 pour obtenir 100 et du nombre à ajouter à 100 pour obtenir 523.

13 × 54 = ?

Un élève écrit :

13 × 54 = 540 + 3 × 54 = 540 + 150 + 3 × 4

= 690 + 12 = 702

13 × 54 = (10 + 3) × 54 = 10 × 54 + 3 × 54 = 540 + 3 × (50 + 4)

= 540 + 3 × 50 + 3 × 4 = 540 + 150 + 12 = 690 + 12 = 702

Un autre élève écrit :

13 × 54 = 13 × 50 + 13 × 4 = 650 + 40 + 12

= 702 Cet élève a mémorisé le résultat du produit 13 × 5. Il décompose 54 pour faire apparaître 13 × 50 en utilisant la distributivité.

2 UNITES ET 57 CENTIÈMES + 5 UNITÉS ET 8 DIXIÈMES ?

Un élève écrit :

2 + 57 centièmes +5 + 8 dixièmes

=2 + 5 + 57 centièmes + 8 dixièmes = 7 + 57 centièmes + 80 centièmes = 7 + 137 centièmes = 8 unités et 37 centièmes Ces élèves écrivent les deux nombres décimaux dans les mêmes unités de numération pour pouvoir les additionner.

Un autre élève écrit :

2 + ହ଻

ଵ଴଴ +5 + ଼ ଵ଴ = 2 + 5 + ହ଻ = 7 + ହ଻ ଵ଴଴ = 7 + ଵଷ଻ ଵ଴଴ = 7 + 1+ ଷ଻ ଵ଴଴ = 8 + ଷ଻

Un troisième élève écrit :

2,57 + 5,8 = 7,57 + 0,8 = 8,37

Ces élèves

décomposent 5,8 en la somme de sa partie entière 5 et de sa partie décimale

0,8. Un quatrième élève écrit :

2,57 + 5,8 = 7,57 + 0,8 = 7,37 + 0,2 + 0,8

= 7,37 + 1 = 8,37

Un cinquième élève écrit :

décimales de numération (ici les centièmes). Pour effectuer la somme de 257 et 580, il facile à traiter.

Objectifs

comme le calcul - décimal par exemple), en motivant leur utilisation ; s les explicitent avec leurs

élèves) :

(un élève peut dire, par et non celui par lequel on divise (diviseur) ajoute ou soustrait le même nombre des nombres rationnels au cycle 4) : initiative P Le calcul en ligne est présent explicitement dans les programmes de cycles 2 et 3, au cycle 4 pour effectuer des calculs

Au cycle 1

de leur décomposition. Ces premiers travaux de décomposition, nécessaires pour la construction

Au cycle 2,

Au cycle 3, la complexification différenciée des contextes numériques se poursuit en calcul en

complexification. En fin de cycle, on tend progressivement vers un calcul organisé en une seule mise en équation

IRUPXODWLRQVRUDOLVpHVVHURQWSULYLOpJLpHV

JUDQGHXUVVHURQWDXVVLSURSRVpV

6<ൌସ

H59

H6<ൌଵହ

H;ൌହ

7

H;ൌହ

65

102 103 25 2103 425 5 100 5

2105) = 7

Et;:J EtJ Ev. Comment pratiquer le calcul en ligne dans la classe

Comme pour le calcul mental,

apprentissag

quotidiennes de courte durée (environ quinze minutes) qui mêlent calcul mental et calcul en ligne

ropriation, soit de façon filée sur

soient correctes ou erronées, abouties ou non. Lors de ces temps de travail, le fait que les élèves écrivent

du professeur. adaptées au constater leurs progrès, car le sentiment de progresse Les étapes de calcul écrites par les élèves Les étapes de calcul écrites par les élèves qui peuvent ne pas respecter tous les cod

écrits

aux élèves en autonomie des codes par exigible institutionnelle, soient à la fois mathématiquement correctes et compr référentes de la classe).

Statut du signe "

Dès le début du cycle 2, les élèves peuvent écrire 3 , à lire dans les deux sens 54.
centimes et une brioche à 4,40 est le montant de mes achats rrecte emier, il vaudrait mieux, séparés,

Utilisation des parenthèses

ls additifs permettent une multiplication ou une division. problème ligne le calcul correspondant aux vi

Quelques

sens de la distributivité. Par exemple, pour effectuer trouve ici 29௅ parenthèses, qui donnerait ici 29௅ ௅

Textes de savoir

dans le cas où elles sont erronées dédiéIdéalement, les textes de synthèse explicative pour certains élèves.

Quelques ex

523 AE AE

-"P

élève sur son cahier de recherche

13 -P et Ci

293 × 18 = ?

Un élève écrit :

293 × 18 = 293 × 20 ࣣ 293 × 2 = 5860 ࣣ 586 = 5874

600 = 5274

Cet élève utilise la distributivité en écrivan forme 20 ࣣ 2, puis effectue ensuite la soustraction en utilisant la propriété de conservation des écarts. Écrire 420, de plusieurs façons différentes, nombres.

Un élève écrit :

420 = 42 × 10 = 21 × 2 × 2 × 5

420 = 3 × 7 × 20 = 3 × 14 × 10

420 = 84 × 5 = 3 × 140

de " faire parler ». Ce type de situation peut être proposé de façon collective, sous la Quotient et reste de la division euclidienne de 471 par 12 ?

Un élève écrit :

471 = 360 + 111 = 3 × 12 × 10 + 60 + 48 + 3

= 12 × 30 + 12 × 5 + 12 × 4 + 3 = 12 × 39 + 3

Quotient : 39 ; reste : 3

faire parler les nombres », il fait apparaître 360 un multiple de 12 ; il décompose ensuite 111 inférieur à 12. du type : Dividende = diviseur × quotient + reste (avec reste plus petit que euclidienne.

Un autre élève écrit :

471 = 480 ࣣ 9 = 40 × 12 ࣣ 9 = 39 × 12 + 12 ࣣ 9

= 39 × 12 + 3

Quotient : 39 ; reste : 3

12 × 4 = 48

Un troisième élève écrit :

471 = 120 + 120 + 120 + 60 + 24 + 24 + 3

= (10 + 10 + 10 + 5 + 2 + 2) × 12 + 3 = 39 × 12 + 3

Quotient : 39 ; reste : 3

ne soit plus possible pour rester inférieur à 471, il commence par des dizaines, puis continue en fonction de ces connaissances (12 × 5 = 60 et 12 × 2 = 24). À la ligne suivante il note le nombre de fois 12 auquel correspond chaque terme de sa somme, il ne lui la somme des facteurs trouvés cm et de largeur 7 cm.

Un élève écrit :

L × l = 7 cm × 15,4 cm = 7 × 15,4 cm2

= 7 × 15 + 7 × 0,4 = 105 + 5 × 0,4 + 2 × 0,4 = 105 + 10 × 0,2 + 0,8 = 105 + 2 + 0,8 = 107,8 cm2 décomposition de 15,4 en la somme de sa partie entière 15 et de sa partie décimale 0,4. Le produit 5 × 0,4 lui pose problème, il utilise le fait que multiplier un nombre par 5 revient à multiplier la moitié de ce nombre par 10

Un autre élève écrit :

On peut faire 7 bandes de 15,4 cm²,

ça fait :

7 × 15,4 cm2 = 7 × 10 + 7 × 5 + 7 × 4 dixièmes

= 70 + 35 + 28 dixièmes = 105 + 2 unités et 8 dixièmes = 107,8 cm2 Il reconnaît que ce rectangle peut être décomposé en 7 bandes 15,4 disponible). Il effectue ensuite 7 × 15,4 en décomposant 15,4 en dizaines, unités et dixièmes. Le fait de poser cette question en calcul en ligne est au service de

Calculer la différence 13,54 8,7, entre treize unités et cinquante-quatre centièmes, et, huit unités et sept

dixièmes

Un élève écrit :

13,54 ࣣ 8,7 = 5,54 ࣣ 0,7 = 5,54 ࣣ (0,54 + 0,16)

= 5 ࣣ 0,16 = 4,84 entière 8 et de sa partie décimale 0,7 pour soustraire successivement chacune de ces parties à 13,54.

Un autre élève écrit :

En centièmes, ça fait :

Résultat : 484 centièmes

même unité de numération. Il effectue ensuite la soustraction en travaillant sur les nombres de centièmes obtenus ; pour soustraire 870, il ajoute successivement (conservation des écarts).

Calculer le produit de 15 par 0,32

Un élève écrit :

15 × 0,32 = 3,2 + 1,6 = 4,8

+ 5, il écrit en premier le produit de 10 et 0,32, il sait que le produit de 5 et 0,32 est la moitié deux nombres trouvés.

Un autre élève écrit :

15 × 32 centièmes = (15 × 32) centièmes

320 + 160 = 480

15 × 0,32 = 480 centièmes = 4,8

à un

produit de deux nombres entiers. Il effectue ensuite le produit des nombres entiers.

Calculer 0,54 ÷ 4

Un élève écrit :

0,54 ÷ 4 = 0,54 ÷ 2 ÷ 2 = 0,27 ÷ 2

= 0,26 ÷ 2 + 0,01 ÷ 2 = 0,13 + 0,005 = 0,135 Pour diviser par 4, il cherche la moitié de la moitié. Pour trouver la moitié de 54, il décompose ce nombre en 50 + 4 ; pour trouver la moitié de 27, il décompose ce nombre en 26 + 1. nombre à virgule. grammes -t-

Un élève écrit :

1 kg AE

250 g AE 9,40 ÷ 4 = 4,70 ÷ 2 =

9,40 + 2, 35 = 11,75

1kg250 AE

Il traite le problème en utilisant les propriétés de linéarité pour

Un autre élève écrit :

moins de 10 ;

Pour 10 + 10 ÷ 4 = 10 + 2 50

= 12 50. Au total, ça coute moins de 15 , en remplaçant 9,40 une procédure de calcul approché par excès qui lui permet de répondre correctement.

Ressources

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