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Calcul deπpar la méthode d"ARCHIMÈDE

La méthode

Le nombreπest, on pourrait dire par définition, la circonférence d"un cercleCde diamètre 1.

L"idée d"ARCHIMÈDEqui, comme vous et moi, savait comparer et mesurer des longueurs de segments

de droite, fût d"encadrer ce nombreπpar les périmètres de polygones inscrits dansCou circonscrits

à ce cercle.

polygones permet d"approcher d"aussi près que l"on veut (en théorie) le nombreπpar défaut ou par

excès.Nous noteronsSnetTnles périmètres des polygones réguliers àncôtés respectivement inscrits dans

Cet circonscrits àC,nétant un entier supérieur à 3.

Il est alors facile d"établir :

S n=nsinπn

Tn=ntanπn

d"un angle. C"est en remarquant qu"il y a des relations simples entreSn,Tn,S2netT2nque la méthode permet de

s"affranchir du calcul des sinus et tangentes en se limitant à des multiplications, additions, divisions

et extractions de racines carrées, ce qui nous est plus accessible.

On observe :

T

2n=2SnTnS

n+TnS2n=?S nT2n Ainsi, puisqueS4=2?2 etT4=4, nous allons pouvoir calculer de proche en proche (par itération d"une formule) les termes des suites (S2n)n?2et (T2n)n?2.

L"implémentation

Nous allons considérer trois variables :a,betc. Dans la première on stocke le périmètre du polygone

inscrit dans le cercle, dans la seconde le périmètre du polygone circonscrit et enfin dans la troisième,1

la moyenne des deux précédentes. La procédure consiste àitérerles calculs liés au doublement du

nombre des côtés en s"appuyant sur les formules ci-dessus.? definearchimede(n) {autoi ;a = 2 *sqrt(2); b = 4; c = (a + b) / 2;for( i =3; i<=n; i++) {b = b *a / c;a =sqrt(b*a );c = (a + b) / 2;

La valeur deπse trouve entre les deux périmètres calculés. La première approximation deπqui nous

vient à l"esprit est la moyenne arithmétique de ces deux nombres. Si nous regardons lesdéveloppements limitésdeSnetTnnous constatons : S n=π-π36n2+π5120n4+... T n=π+π33n2+2π515n4+...

Ainsi, il vient :

2Sn+Tn3

=π+3π520n4+... La meilleure approximation sous forme de moyenne des deux nombres calculés est donc 13 (2Sn+ T

n). C"est celle qui nous débarasse du premier terme variable du développement; c"est une valeur

approchée par excès.

Les calculs?

definego(n, s) {scale= s ;temp = archimede(n); print"Nombredecôtés[n]:\n",2^n, "\n" ; print"Périmètreintérieur[a]:\n" ,a, "\n" ; print"Périmètreextérieur[b]:\n" ,b, "\n" ; print"Différence:\n" ,b-a, "\n" ;print"Moyenne[(2a+b)/3]:\n" ,(2 *a+b)/3 ,"\n" ;}

Il reste à insérer les deux procédures précédentes dans un même fichierarchimede.bcet à exécu-

terBC. La commande suivante :echo "go(200,200)" | bc -q archimede.bcretourne2

Nombre de côtés [n] :

Périmètre intérieur [a] :

Périmètre extérieur [b] :

Différence :

Moyenne [(2a+b)/3] :

Après vérifications, dans ce cas, les approximations données par le périmètre sont exactes jusqu"à la

118

èmedécimale. La valeur donnée par la moyenne pondérée est exacte à l"exception des trois der-

nières décimales. Ce calcul procure donc 194 décimales deπ.3quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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