[PDF] TD 11 - Calcul vectoriel - Corrigé_2018_V2

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TD 11 - Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI

Florestan MATHURIN Page 1 sur 3

Exercice 1 - Corrigé

On a le vecteur

)3,4,2(V1- et le vecteur )2,2,1(V2-dans la base b )z,y,x(rrr Remarque 1 : les 3 notations suivantes pour un vecteur peuvent être utilisées :

Base de projection du vecteur

b1)3,4,2(V- 342
Vb1-= z3y4x2V1rrr-+=

La notation en ligne :

z3y4x2V1rrr-+=, que l'on nomme notation ingénieur, est la notation à privilégier car elle n'impose pas de base de projection ( ici il n'y en a qu'une seule : b donc c'est facile à gérer sur cet exemple mais en

mécanique on est amené à manipuler de nombreuses bases et par conséquent la notation ingénieur est la plus commode

On utilisera donc par la suite les notations :

z3y4x2V1rrr-+= et z2y2xV2rrr++-= Remarque 2 : Produit scalaire entre les vecteurs unitaires d'une base orthonormée directe b )z,y,x(rrr Dans une base orthonormée directe, tous produit scalaire entre 2 vecteurs unitaires orthogonaux est nul, par conséquent on a : 0y.x =rr, 0z.x=rret 0z.y=rr (Le produit scalaire étant commutatif on a aussi : 0x.y =rr, 0x.z=rret 0y.z=rr)

Seul les produits scalaires

1x.x=rr, 1y.y=rr et 1z.z=rrsont non nuls et égaux à 1.

zr yr xr Remarque 3 : Produit vectoriel entre les vecteurs unitaires d'une base orthonormée directe b )z,y,x(rrr Dans une base orthonormée directe, on a toujours zyx rrr=Ù, xzyrrr=Ù et yxzrrr=Ù Le produit vectoriel étant anticommutatif on a : zxy rrr-=Ù, xyzrrr-=Ù et yzxrrr-=Ù zr yr xr Calcul de

21V.V :

(ces 2 vecteurs sont donc orthogonaux)

Calcul de

x.V1r :

2x).z3y4x2(x.V1=-+=rrrrr

zr xr 1V 2V yr x.V1r

Interprétation

graphique TD 11 - Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI

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Calcul de

21VVÙ :

On exploite ici la propriété de distribution avec l'addition )z2y2x()z3y4x2(VV21rrrrrr++-Ù-+=Ù On effectue ensuite des produits vectoriels uniquement entre les vecteurs unitaires )0(6)x(6)y(3)x(8)0(8)z(4)y(4z4)0(2VV21 rrrrrrrrr---+++---++-=Ù x6y3x8z4y4z4VV21rrrrrr++++-+=Ù z8yx14VV21rrr+-=Ù

Calcul de

xV1rÙ : x)z3y4x2(xV1rrrrrÙ-+=Ù xz3xy4xx2xV1rrrrrrrÙ-Ù+Ù=Ù y3z4xV1rrr--=Ù

Calcul de

1V :

299164)z3y4x2).(z3y4x2(V.VV

111
rrrrrr zr xr 1V 2V yr

21VVÙ

Interprétation graphique

1V yr zr xr xr xV1rÙ

Exercice 2 - Corrigé

Graphiquement on lit :

y2V1r= y4xV2rr+= x2V3r= y2x3V4rr-=

8)y4x.(y2V.V21=+=rrr

0)x2).(y2(V.V31==rr

4)y2x3.(y2V.V41-=-=rrr

z2)y4x(y2VV21rrrr-=+Ù=Ù z4x2y2VV31rrr-=Ù=Ù z6)y2x3(y2VV41rrrr-=-Ù=Ù TD 11 - Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI

Florestan MATHURIN Page 3 sur 3

Exercice 3 - Corrigé

1xr 1yr 0xr 0yr

1zr= 0zr

1xr

21yyrr=

1zr 2zr 2xr

001ysinxcosxrrrqq+=

001ycosxsinyrrrqq+-=

110ysinxcosxrrrqq-=

110ycosxsinyrrrqq+=

001zcosxyrrrq-=Ù

qjjjcossinx).xsinz(cosx.z01102=+=rrrrr

Exercice 4 - Corrigé

1zr 1yr 0zr 0yr

1xr= 0xr

1xr

21yyrr=

1zr 2zr 2xr rrrquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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