Convexité en optimisation convexité forte
On dit que f est strictement convexe si l'inégalité ci-dessus est stricte pour x = y t ?]0
Chp. 9. Convexité
9.1 Fonctions affines convexes
Optimisation Convexité
Propriété de stabilité: combinaison positive de fonctions convexes Par contre on peut avoir une fonction strictement convexe avec cependant.
COURS OPTIMISATION Cours en Master M1 SITN Ionel Sorin
fonctions convexes et ?1?2
Fonctions convexes 1 Dimension 1
Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est
Microéconomie 1 Définitions mathématiques importantes
Figure 1: Fonction convexe. Source: Wikipedia. Fonction strictement convexe. Une fonction f X ? R est dite strictement convexe sur un intervalle C ? X si.
229. Fonctions monotones et fonctions convexes. Exemples et
17 déc. 2009 Toute fonction strictement croissante est injective. Proposition 2. L'ensemble des fonctions croissantes sur I (resp convexes sur C ) un cône ( ...
Analyse 1: convexité et fonction convexe
Joseph Salmon. Fonction strictement convexe. Définition : strictement fonction convexe f : Rd ? R est strictement convexe si elle vérifie ?x0 = x1 ?.
OptiAlgo cours
Une fonction f est (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. Remarque. On peut également restreindre ? à ]01[ pour la définition de la
UTILISATION DE LA NOTION DE CONVEXITÉ EN ANALYSE.
Toute norme Î.Î de E est convexe non strictement convexe dès que E ”= {0}. On déduit de la première équivalence qu'une fonction convexe sur I est ...
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On dit que f est strictement convexe si l'inégalité ci-dessus est stricte pour x = y t ?]01[ Rappelons que toute fonction convexe possède une régularité
[PDF] Fonctions convexes 1 Dimension 1
Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe – Le nombre ?x + (1 ? ?)y ? ? [0 1] est une combinaison convexe de x et y
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19 fév 2020 · Proposition 2 8 Une fonction fortement convexe est strictement convexe elle ad- met donc un minimiseur unique Note : par contre une fonction
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On montre facilement qu'une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe
[PDF] Chp 9 Convexité
Dans tout ce chap?tre C désigne une partie convexe de IRn et f une fonction numérique partout définie sur C 9 1 Fonctions affines convexes strictement
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Si au moins l'une des fonctions f1··· fp est strictement convexe alors f est stric- tement convexe 3 Si au moins l'une des fonctions f1··· fp est
[PDF] Optimisation convexe - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Si f est strictement convexe sur I elle admet au plus un minimiseur • La fonction x ?? ex est strictement convexe sur R et n'admet pas de minimum ni de
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-I est dite strictement convexe sur C si V¥ G]0 1[Vx y G C x ?=y I(¥x + ( 1 - ¥)y) < ¥I(x) + ( 1 - ¥)I(y) -I est dite fortement convexe sur C s¿il existe
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Une fonction f : R ? R est dite convexe sur [a b] si la corde prise Si f et g sont deux fonctions convexes alors f + g est une fonction convexe
[PDF] CONVEXITÉ - Christophe Bertault
Enfin une fonction dérivable f ? (I) est strictement convexe si et seulement si sa dérivée f ? est strictement croissante si et seulement si pour tout a ?
Comment montrer qu'une fonction est strictement convexe ?
Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0, 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. – Le nombre ?x + (1 ? ?)y, ? ? [0, 1] est une combinaison convexe de x et y, c'est-à-dire un barycentre à coefficients positifs (voir Exercice 1).Comment déterminer qu'une fonction est convexe ?
Une fonction convexe poss? une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave poss? une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.Comment montrer qu'une fonction est strictement concave ?
Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I.- Théorème 2.1 Un fonction f est convexe si et seulement si, pour tout (x, y) ? (dom(f))2 et ? ? 0 tels que y + ?(y ? x) ? dom(f), f satisfait : f(y + ?(y ? x)) ? f(y) + ?(f(y) ? f(x)).19 fév. 2020
Optimisation
Convexité
ENSIIE
Alain Faye
1Contenu
Ensemble convexe
Fonction convexe
Propriétés de stabilité
Combinaison positive de fonctions convexes
Composition de fonctions
Caractérisation des fonctions par les dérivéesCaractĠrisation ă l'ordre 1
CaractĠrisation ă l'ordre 2
Minimum d'une fonction conǀedže
2Ensemble convexe
3Combinaison convexe
4Fonction convexe
5Fonction convexe
6Fonction convexe et combinaison convexe
7 Soit f définie sur un convexe C de Թet soit ݔܥאSi f est convexe alors
Stricte convexité
8 Propriété de stabilité: combinaison positive de fonctions convexes 9 Propriété de stabilité: composition de fonctions 10 Démonstration: composition de fonctions -convexitéݔǡݕܥאet -ߣ
fconvexe gcroissante et convexe݂݃convexe
11 Démonstration: composition de fonctions -stricte convexité fstrictement convexe gstrictement croissante et convexe݂݃strictement convexe
12 CaractĠrisation des fonctions conǀedžes ă l'ordre 1Théorème 1
13Démonstration: sens nécessaire
Convexité de f
On fait ߣ
Stricte convexité de f
On applique le résultat précédent au numérateurDémonstration: sens suffisant
On prend maintenant ݔൌͳെߣݕଵߣ Alors ݔൌͳെߣݕଵߣ Alors les inégalités (1) et (2) sont strictesLa combinaison ͳെߣͳߣ
15 CaractĠrisation des fonctions conǀedžes ă l'ordre 2Théorème 2
16 démonstration: sens nécessaire xCouvert et ݀אԹ, t scalaire suffisamment petit pour que ݔݐ݀ܥא ݂convexe et par le théorème 1 on a ݂ݔݐ݂݀ݔߘDéveloppement de Taylor
On en déduit
En divisant par t2
On fait ݐ՜-alors ߳
Et il reste
Comme dest quelconque, cela veut dire que ܪ
17Démonstration: sens suffisant
Développement Taylor (formulation 2) ݔǡݕܥאet il existe ݖאEt donc ݂ݕ݂ݔߘ
Par le théorème 1 ,f est convexe.
18Stricte convexité et hessien
19 On peut démontrer de façon analogue que si la matrice hessiennede f est définie positive alors f est strictement convexe. Par contre, on peut avoir une fonction strictement convexe avec cependant un hessienpas défini positif partout. Par exemple, ݂ݔൌݔସest strictement conǀedže sur l'adže des rĠels etMinimum d'une fonction conǀedže
20Démonstration
On en déduit
Soit après simplification
Donc ݔכ
Et on aboutira à
Donc ݔכ
21Condition nĠcessaire et suffisante d'optimalitĠ sur un ouǀert 22
Démonstration
Sens nécessaire
ݔכminimum local sur un ouvert alors ߘ݂ݔכSens suffisant
On a par le théorème 1, ݕܥא
Si ߘ݂ݔכൌ-il reste ݂ݕ݂ݔכ 23Exemple récapitulatif
24(appliquer le théorème avec les mineurs principaux de la matrice) Et ceci pour tout ݔ. Donc fest convexe et même strictement convexe.
Exemple récapitulatif
25Point critique
Donc ݔכ
est minimum global.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] optimisation convexe pdf
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