[PDF] MATHÉMATIQUES ECO GESTION Les fonctions numériques de





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Chapitre Concavité et convexité des fonctions de plusieurs variables

Définition 1 : La courbe de f(x) est dite convexe si tous les points de la courbe y = f(x) se trouvant au dessous de la tangente1 en un point quelconque de l' 



cours de Francis Clarke Analyse III Fonctions de plusieurs variables

Théor`eme Soit f : U ? R une fonction deux fois continûment différentiable sur un ouvert convexe. U ? Rn et soient x et y deux points distincts dans U.



Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Pas faite en cours. 4.4 Théorème général. Soit f : U ? Rp ? Rq une fonction différentiable sur un ouvert CONVEXE U. On.



Chp. 9. Convexité

9.1 Fonctions affines convexes



Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes

2. Représenter sur le même dessin que la question 1 les courbes de niveau C1C?1/2 et C0. 3. Calculer le gradient 



MATHÉMATIQUES ECO GESTION

Les fonctions numériques de plusieurs variables réelles. • Convexité concavité Une fonction f est convexe si et seulement si le segment.



Cours 15 : 18/11/2013 Chapitre 21 : Fonctions convexes ou

18 nov. 2013 Chapitre 21 : Fonctions convexes ou concaves de deux variables ... minant 4ac ? b2 =4+2=6 > 0 et a = c = 1 > 0 donc f est convexe.



COURS OPTIMISATION Cours en Master M1 SITN Ionel Sorin

2.2.2 Exemples des fonctions convexes strictement convexes et fortement convexes . Décrire les contraintes que les variables de décision satisfont.



Rappel Mathématique2

Multiplication de deux fonctions Une fonction f(x) est une fonction convexe si pour tous points x1



Parties Convexes & Fonctions Convexes dune ou plusieurs

Préparation Agrégation - Analyse. Parties Convexes & Fonctions Convexes d'une ou plusieurs Variables. Ex. 1 : Fonctions convexes dans RN . Avec la norme.



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– Une fonction f est convexe si et seulement si le segment reliant tout couple de points situés sur la surface définie par f est situé au-dessus de cette



[PDF] cours de Francis Clarke Analyse III Fonctions de plusieurs variables

Une combinaison linéaire positive de fonctions convexes est convexe La fonction (x y) ? l2x ? yl ? 3y est convexe Exemple Remarque



[PDF] Chapitre Concavité et convexité des fonctions de plusieurs variables

Définition 1 : La courbe de f(x) est dite convexe si tous les points de la courbe y = f(x) se trouvant au dessous de la tangente1 en un point quelconque de l' 



[PDF] Fonctions convexes dans RN Avec la norme ? ? ? ?x

Parties Convexes Fonctions Convexes d'une ou plusieurs Variables 2) Généraliser pour montrer que si ? ? RN est un ouvert convexe et f : ? ? R est 



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Extrema d'une fonction de deux variables 1 Convexité : Définition : On dit qu'une fonction dérivable x ?? f(x) est convexe sur un intervalle I =]a 



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Les fonctions numériques de plusieurs variables réelles f et g sont deux fonctions telles que f(x) ? g(x) pour Fonctions convexes concaves



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Plus généralement toute fonction affine a d'une partie convexe C de IRn dans IR (( catalogue )) des fonctions d'une ou plusieurs variable dont les pro-



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Les principales propriétés des fonctions de plusieurs variables auxquelles utilise l'inégalité de la moyenne : si f est différentiable sur le convexe ?



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2 Ainsi par combinaison linéaire `a coefficients positifs de fonctions convexes sur R2: g(x y) = 



[PDF] Fonctions réelles de plusieurs variables

9 jui 2008 · M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Fonctions convexes Pour une fonction de deux variables (on généralisera aisément 

  • Comment montrer qu'une fonction de plusieurs variables est convexe ?

    Une combinaison linéaire de fonctions convexes dont tous les coefficients sont positifs se traduit par une fonction convexe (idem pour la concavité). Astuce : si l'on cherche à connaître la convexité de f(x;y)=g(x)+h(y), f ( x ; y ) = g ( x ) + h ( y ) , on vérifie la convexité de g et de h.

  • Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?

    Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le plan

  • Comment calculer une fonction convexe ?

    La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = 1 3 x3 ?9x2 + 4.
  • On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
MATHÉMATIQUES ECO GESTION

MATHÉMATIQUES

pour l'OPTIMISATION

PLAN DU COURS

•La droite numérique

•Propriétés métriques de R

n •Les fonctions numériques d'une variable réelle •Les fonctions numériques de plusieurs variables réelles

•Convexité, concavité

•Optimisation : sans contraintes, avec contraintes

LA DROITE NUMÉRIQUE

•Notations

R est l'ensemble des nombres réels.

R est l'ensemble des réels non nuls. R est l'ensemble des réels positifs ou nuls. •Intervalles de R

Intervalle ouvert: ]a, b[ = {xR/ a < x < b}

LA DROITE

NUMÉRIQUE

•Valeur absolue d'un réel x |x| = x si x |x| =

Propriétés

Pour tout réel x : |x| = |-x|

Pour tous les réels x et y : |x.y| = |x|. |y|

Pour tous les réels x et y : | |x| -|y| | чͮdžнLJͮчͮdžͮнͮLJͮ

LA DROITE NUMÉRIQUE

•Distance (x , y)

їͮdž-y |

d (x,y) = | x -y |

Propriétés

•d;dž͕LJͿсϬ֞ •(xR)(yR)d(x , y) = d(y,x) •(xR)(yR)(zR)d;dž͕LJͿчd(x,z) + d(z,y)

LA DROITE

NUMÉRIQUE

•Intervalle ouvert de centre a et de rayon r

I(a,r) =

] a -r, a + r [ •Ouvert de R

U ؿ

Exemple

]-2, 7[ est un ouvert.a a+r]a-r

LA DROITE

NUMÉRIQUE

•Fermé de R

F ؿ

un ouvert.

F = [3.6, 7.2] est un fermé de R.

3.6]7.2

PROPRIÉTÉS

MÉTRIQUES DE R

n

Notation

Un point de R

n est un vecteur caractérisé par ses coordonnées (x 1 ,..., x n ). On écrit : x = (x 1 ,..., x n

Norme sur R

n

Une normede R

n est une application N : R n vérifiant : -(xR n

R) N(.x) = ||.N(x)

-(xR n yR n ) N(x + y)

PROPRIÉTÉS

MÉTRIQUES DE R

n

Exemples

Pour x = (x

1 ,..., x n -(norme euclidienne) N (x)=෍ x N (x)=Max(x ,...,x x=x

PROPRIÉTÉS

MÉTRIQUES DE R

n

Remarque

La norme euclidienne dans R

n provient du produit scalaire de deux vecteurs x et y : x = (x 1 ,..., x n ), y = (y 1 ,..., y n x•y=෍ x y x•x=෍ x x=x•x

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES

DE R n •Distances sur R n n une distance d : d : R n x R n d(x,y) = N(x -y)

Exemple

distance euclidienne : െ(x

PROPRIÉTÉS

MÉTRIQUES DE R

n •Boules dans R n R n muni de la norme euclidienne se note (R n Boule ouverte de centre a et de rayon r, notée B(a,r)

B(a,r) = {

xR n / ||x -a|| < r}

Exemple

Dans (R

2 rayon r. a 1 a 2 x 1 x 2 a=(a 1 ,a 2 r

PROPRIÉTÉS

MÉTRIQUES DE R

n Boule fermée de centre a et de rayon r, notée

B(a,r)

B(a,r) = {xR

n / ||x -a|| чr}

Remarque

Toutes les boules ne sont pas rondes !

Exemple

Dans (R

2 ,N 2 ), B(O,1) est un carré de centre O.

B(O,1) ={(x

1 ,x 2 )R 2 / |x 1 | + |x 2 |<1}

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES

DE R n

Boule B(O,1) dans (R

2 ,N 2 x 1 x 2 (1,0)(-1,0) (0,-1)(0,1) O N (x)=x +x

PROPRIÉTÉS

MÉTRIQUES DE R

n •Ouverts dans R n Uؿ n est un ouvertsi et seulement si : x

UB(x,r)

PROPRIÉTÉS

MÉTRIQUES DE R

n

Exemple

Une boule ouverte est un ouvert.

r a x d 1 d 2

B(x,) avec

PROPRIÉTÉS

MÉTRIQUES DE R

n •Fermés dans R n Fؿ n est un fermé si et seulement si le complémentaire de F dans R n dans est un ouvert.

Exemple

2 (1,1) (1,0)(0,1)

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

On appelle

fonction numériqued'une variable réelle une application d'une partie E ؿ

On note

Remarque

pourtouslesréels.Ainsi,lafonction

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Domaine de définition d'une fonction s'appelle le domaine de définition de la fonction f. Les règles suivantes sont souvent utilisées pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction. -On ne peut pas calculer la racine (et plus généralement, la puissance non entière) d'un nombre strictement négatif. -On ne peut pas calculer le logarithme d'un nombre négatif.

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Notion de limite

La notion de limite repose sur la notion de

écrit :

réel a.

FONCTIONS D'UNE VARIABLE

Définition1

pour tout

Ϭфͮdž-a| onait|f(x)-l|<.

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

Définition 2

note: par: pour tout

Exemples

lim f(x)=l lim e =0lim 1 x=0

FONCTIONS D'UNE VARIABLE

•Quand la limite d'une fonction n'existe-t-elle pas dans R?

Exemple

pas égales.

Exemple

lim

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

Exemple

lim sin 1 x

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Unicité de la limite cette limite est unique.

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Opérations sur les limites alors lim f(x)=llim g(x)=h lim (f+g)(x)=l+h lim (f×g)(x)=l×h lim f g)(x)=l hsih്0

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Passage à la limite dans les inégalités tout xU, un intervalle ouvert contenant a. Si et existent, alors : -théorème des gendarmes et alors lim f(x)lim g(x)lim f(x)൑lim g(x) lim g(x)=lim h(x)=lא lim f(x)=l

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Notion de continuité continueen a si seulement si : f est continue sur un intervalle ouvert U si elle est continue en tout point de U.

Intuitivement

,unefonctionestcontinuesietseulementsion

àleverlecrayondesafeuille.

FONCTIONS D'UNE VARIABLE

Exemples de fonctions continues

-les fonctions affines -les fonctions polynômes -les fonctions sinus et cosinus

Exemple de fonction discontinue en un point

f x)= x x f(0)=1

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

D'où

lim f(x)=1=f(0) lim f(x)=െ1്f(0) 11

Oxf(x)

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Prolongement par continuité Soit f une fonction continue sur un intervalle U sauf en a.

Soit g définie par :

g(x) = f(x) si x тĂ g est une fonction continue en a. C'est le prolongement par continuitéde f en a.

FONCTIONS

D'UNE VARIABLE

Exemple

La fonction définie par n'est pas définie en x = 1. Elle n'est donc pas continue en x = 1.

Cependant, .

On peut donc définir le prolongement par continuité de f en 1 f(x)= x +2xെ3 xെ1 lim f(x)=4 g(x)=f(x)= x +2xെ3 xെ1six്1 g(1)=4

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Racinede f racines de f. •Point fixe de f points fixes de f.

Remarque

Les racines de f sont les points fixes de g définie par

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Théorème des valeurs intermédiaires définieetcontinuesurU.

Corollaire

FONCTIONS D'UNE

VARIABLE

•Illustration du corollaire xyquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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