COURS OPTIMISATION Cours en Master M1 SITN Ionel Sorin PDF

Définition 1 : La courbe de f(x) est dite convexe si tous les points de la courbe y = f(x) se trouvant au dessous de la tangente1 en un point quelconque de l'

cours de Francis Clarke Analyse III Fonctions de plusieurs variables

Théor`eme Soit f : U ? R une fonction deux fois continûment différentiable sur un ouvert convexe. U ? Rn et soient x et y deux points distincts dans U.

Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Pas faite en cours. 4.4 Théorème général. Soit f : U ? Rp ? Rq une fonction différentiable sur un ouvert CONVEXE U. On.

Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes

2. Représenter sur le même dessin que la question 1 les courbes de niveau C1C?1/2 et C0. 3. Calculer le gradient

MATHÉMATIQUES ECO GESTION

Les fonctions numériques de plusieurs variables réelles. • Convexité concavité Une fonction f est convexe si et seulement si le segment.

Cours 15 : 18/11/2013 Chapitre 21 : Fonctions convexes ou

18 nov. 2013 Chapitre 21 : Fonctions convexes ou concaves de deux variables ... minant 4ac ? b2 =4+2=6 > 0 et a = c = 1 > 0 donc f est convexe.

COURS OPTIMISATION Cours en Master M1 SITN Ionel Sorin

2.2.2 Exemples des fonctions convexes strictement convexes et fortement convexes . Décrire les contraintes que les variables de décision satisfont.

Rappel Mathématique2

Multiplication de deux fonctions Une fonction f(x) est une fonction convexe si pour tous points x1

Parties Convexes & Fonctions Convexes dune ou plusieurs

Préparation Agrégation - Analyse. Parties Convexes & Fonctions Convexes d'une ou plusieurs Variables. Ex. 1 : Fonctions convexes dans RN . Avec la norme.

[PDF] fonctions de plusieurs variables

– Une fonction f est convexe si et seulement si le segment reliant tout couple de points situés sur la surface définie par f est situé au-dessus de cette

[PDF] cours de Francis Clarke Analyse III Fonctions de plusieurs variables

Une combinaison linéaire positive de fonctions convexes est convexe La fonction (x y) ? l2x ? yl ? 3y est convexe Exemple Remarque

[PDF] Chapitre Concavité et convexité des fonctions de plusieurs variables

Définition 1 : La courbe de f(x) est dite convexe si tous les points de la courbe y = f(x) se trouvant au dessous de la tangente1 en un point quelconque de l'

[PDF] Fonctions convexes dans RN Avec la norme ? ? ? ?x

Parties Convexes Fonctions Convexes d'une ou plusieurs Variables 2) Généraliser pour montrer que si ? ? RN est un ouvert convexe et f : ? ? R est

[PDF] Université de Nice

Extrema d'une fonction de deux variables 1 Convexité : Définition : On dit qu'une fonction dérivable x ?? f(x) est convexe sur un intervalle I =]a

[PDF] MATHÉMATIQUES pour lOPTIMISATION

Les fonctions numériques de plusieurs variables réelles f et g sont deux fonctions telles que f(x) ? g(x) pour Fonctions convexes concaves

[PDF] Chp 9 Convexité

Plus généralement toute fonction affine a d'une partie convexe C de IRn dans IR (( catalogue )) des fonctions d'une ou plusieurs variable dont les pro-

[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R

Les principales propriétés des fonctions de plusieurs variables auxquelles utilise l'inégalité de la moyenne : si f est différentiable sur le convexe ?

[PDF] fonctions de 2 variables: Convexité (1) - ENSTA Paris

2 Ainsi par combinaison linéaire `a coefficients positifs de fonctions convexes sur R2: g(x y) =

[PDF] Fonctions réelles de plusieurs variables

9 jui 2008 · M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Fonctions convexes Pour une fonction de deux variables (on généralisera aisément

Comment montrer qu'une fonction de plusieurs variables est convexe ?
Une combinaison linéaire de fonctions convexes dont tous les coefficients sont positifs se traduit par une fonction convexe (idem pour la concavité). Astuce : si l'on cherche à connaître la convexité de f(x;y)=g(x)+h(y), f ( x ; y ) = g ( x ) + h ( y ) , on vérifie la convexité de g et de h.
Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le plan
Comment calculer une fonction convexe ?
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = 1 3 x3 ?9x2 + 4.
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

COURS OPTIMISATION

Cours en Master M1 SITN

Ionel Sorin CIUPERCA

Table des matières

1 Introduction 4

2 Quelques rappels de calcul différentiel, analyse convexe et extremum 5

2.1 Rappel calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Quelques Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Quelques rappels sur le calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Rappel formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.4 Quelque rappels sur le matrices carrées réelles . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Fonctions convexes, strictement convexes, fortement convexes . . . . 11

2.2.2 Exemples des fonctions convexes, strictement convexes et fortement

convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 Fonctions coercives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Conditions nécéssaires et suffisantes de minimum . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Existence et unicité d"un point de minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Optimisation sans contraintes 23

3.1 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Cas particulier des fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Méthodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Méthodes de gradient à pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2 Autres méthodes du type gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 La méthode des gradients conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Le cas quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Cas d"une fonctionJquelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Optimisation avec contraintes 39

4.1 Rappel sur les multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Optimisation sous contraintes d"inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 Conditions d"optimalité de premier ordre : multiplicateurs de Karush-

Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.2 Théorie générale du point selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.3 Applications de la théorie du point selle à l"optimisation . . . . . . 51

4.2.4 Le cas convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Algorithmes de minimisation avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.2 Méthodes de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.3 Méthodes de pénalisation exterieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.4 Méthode d"Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chapitre 1

Introduction

En généraloptimisersignifie le fait de chercher une configuration optimale d"un sys-

tème, c"est à dire, chercher la meilleure configuration parmi tous les configurations possibles

du système et ceci, par rapport à un critère donné. Pour décrire (et éventuellement résoudre) un problème d"optimisation nous utilisons la modélisation mathématique. La démarche de modélisation comporte 3 étapes : Etape 1.Choisir lesvariables de décision, qui sont les composantes du système sur lesquelles on peut agir. On supposera dans ce cours qu"il y a un nombre finit notén2IN

de variables de décision, chacune de ces variables étant un nombre réel. Alors les variables

de décision seront représentés par un vecteurx= (x1;x2;xn)T2IRn(vecteur colonne). Etape 2.Décrirel"étatdu système, étant donnée une configuration des variables de décision. Ceci revient mathématiquement à se donner une fonctionJ:IRn!IRqui s"appellefonction objectifoufonction coûtet que nous voulons rendre la plus petite possible ou la plus grande possible. Etape 3.Décrire lescontraintesque les variables de décision satisfont. Ceci revient à définir un ensemble de contraintesUIRnet imposer d"avoirx2U. Pour résumer on peut dire que pour décrire un problème d"optimisation on se donne

1. Une fonctionJ:IRn7!IR(fonction coût)

2. Un ensembleUIRn(ensemble des contraintes)

On cherche à minimiserJsurU, c"est à dire, on cherchex2Utel que

J(x) = minx2UJ(x)

ou équivalent

J(x)J(x);8x2U:

Motivation et exemples pratiques :en classe

Chapitre 2

Quelques rappels de calcul différentiel,

analyse convexe et extremum

2.1 Rappel calcul différentiel

2.1.1 Quelques Notations

1. Pour toutn2IN;IRndésigne l"espaceeuclidienIRIRIR( "produitnfois").

En général un vecteurx2IRnsera notéx= (x1;x2;xn)T(vecteur colonne).

2. On notee1;e2;enles éléments de labase canoniquedeIRn, oùeiest le vecteur

deIRndonné par : (ei)j=ij=0sij6=i

1sij=i;8i;j= 1;2n(2.1)

(ij=symboles deKronecker).

3. Pour tousx;y2IRnon note par< x;y >2IRleproduit scalairedexety, qui

est donné par < x;y >=nX i=1x iyi: Deux vecteursx;y2IRnsontorthogonaux(on noterax?y) si< x;y >= 0.

4. Pour toutx2IRnon note parkxk 0lanorme euclidiennedex, donnée par

kxk=p< x;x >=v uutn X i=1x 2i: Rappellons lespropriétés d"une norme(donc aussi de la norme euclidienne) : i)kxk=jjkxk 82IR;8x2IRn ii)kx+yk kxk+kyk 8x;y2IRn iii)k0k= 0etkxk>0six2IRn f0g. 5

5. Pour tousx2IRnetr >0on notera parB(x;r)laboule ouvertedu centrexet

rayonr, donnée par

B(x;r) =fy2IRn;kyxk< rg:

6. Si x(k) k2INest une suite dansIRnetxest un élément deIRnon dit quex(k) convergeversx(notéex(k)!x) sikx(k)xk !0. Rappellons que nous avons :x(k)!xsi et seulement six(k) i!xienIRoùx(k) i(respectivementxi) est lai-ème composante dex(k)(respectivementx).

7. SoitUIRn.

- On définitl"intérieurdeUcomme l"ensemble des élémentsx2Upour lesquels il exister >0tel queB(x;r)U. - On dit queUestouvertsi8x2U9r >0tel queB(x;r)U. - On dit queUestfermési pour tout suitefx(k)g Utel quex(k)!x2IRnon ax2U.

8. Sia;b2IRnon note[a;b]le sous-ensemble deIRndonné par

[a;b] =fa+t(ba)(1t)a+tb; t2[0;1]g: L"ensemble[a;b]est aussi appelléle segmentreliantaàb.

Remarques :

[a;b] = [b;a](Exo!) Sia;b2IRaveca < bon retrouve la notation[a;b]pour l"intervalle des nombres x2IRtels queaxb.

9. Rappellons aussi l"inégalité de Cauchy-Schwarz :

j< x; y >j kxk kyk 8x;y2IRn:

2.1.2 Quelques rappels sur le calcul différentiel

On considère dans cette partiemetndeux nombres deN(très souvent dans ce cours on auram= 1).

1. SoitUun sous-ensemble deIRnetf:U7!IRm.

On dit quefestcontinueenx2Usif(x(k))!f(x)pour toute suitex(k)U telle quex(k)!x. On dit quefest continue surUsifest continue en tout pointx2U. Remarque :Sif= (f1;f2;fm)avecf1;f2;fm:U!IRalorsfest continu enx2Usi et seulement sif1;f2;fmsont continues enx.

Pour tous les poins suivants on va supposer que

est un ouvert de IRnetfest une fonctionf: !IRm. 6

2. Pour toutx2

eth2IRnon note (quand9) @f@h (x) = limt7!01t [f(x+th)f(x)] (c"est ladérivée directionnelledefenxdans la directionh).

Remarques :

i)@f@0(x) = 0: ii)Sif= (f1;f2;fn)T2IRnavecf1;f2;fm: !IRalors @f@h (x) =@f1@h (x);@f2@h (x);@fm@h (x) T

3. Pour toutx2

et touti2 f1;2;;ngon note (quand9) @f@x i(x) =@f@e i(x) = limt7!01t [f(x+tei)f(x)] (c"est ladérivée partielledefenxpar rapport à la variablexi.)

En particulier, sin= 1on notef0(x) =@f@x

1(x) = limt!01t

[f(x+t)f(x)] = lim y!x1yx[f(y)f(x)]

4. Pour toutx2

on note (quand9)Jf(x) =lamatrice Jacobiennedefenxqui est un élément deMm;n(IR)définie par (Jf(x))ij=@fi@x j(x)2IR8i= 1;m;8j= 1;n: Legradientdefenxest défini comme la transposée de la matrice Jacoblenne de fenx: rf(x) = (Jf(x))T2 Mn;m(IR): Remarque importante :Dans le cas particulierm= 1(doncf: !IR) alors en considérant tout élément deMn;1comme un vector colonne deIRn, on va dire que rf(x)est le vecteur colonne rf(x) =@f@x 1@f@x

2;@f@x

n T 2IRn:

Rappellons la formule :

@f@h (x) =8x2

8h2IRn:

5. Sif:

!IR(icim= 1) on dit qu"un pointx2 est unpoint critiquepour la fonctionfsirf(x) = 0. 7

6. Pour toutx2

eti;j2 f1;2;ngon note (quand9) 2f@x i@xj(x) =@@x i @f@x j (x)2IRm dérivée partielle à l"ordre 2.

Notation :pouri=jon écrira@2f@

2xi(x)à la place de@2f@x

i@xi(x).

7. Dans le casm= 1on note pour toutx2

(quand9)r2f(x) =la matrice carrée 2 M n(IR)donnée par r2f(x) ij=@2f@x i@xj(x);8i;j= 1;2;n: (r2f(x)s"appelle aussila matrice Hessiennedefenx).

8. On dit quefest de classeCpsur

(on noteraf2Cp( )) pourp= 1oup= 2 si les dérivées partielles desfjusqu"à l"ordrepexistent et sont continues sur . Par extension on dit quefest de classeC0sur sifest continue sur

9. On a le Théorème de Schwarz : sif2C2(

)alors 2f@x i@xj(x) =@2f@x j@xi(x)8x2 ;8i;j= 1;n (c"est à dire, la matricer2f(x)est symmétrique).

10. (Lien entrer;Jfetr2) : Sif:

!IRest de classeC2alors r

2f(x) =Jrf(x) =rJf(x)8x2

(la matrice Hessienne defest le Jacobien du gradient defou le gradient de la

Jacobienne def).

11. (Composition) Soient

IRn; UIRmavec

;Uouvertsf: !IRm; g:U! IR pavecp2INetf( )U. Considérons la fonction composéegf: !IRp. i)Sifetgsont continues alorsgfest continue. ii)Sifetgsont de classeC1alorsgfest de classeC1et on a l"égalité matricielle J gf(x) =Jg(f(x))Jf(x)8x2

Conséquences :

i)Sim=p= 1alors r(gf)(x) =g0(f(x))rf(x): i)Sin=p= 1alors (gf)0(x) = : 8

Proposition 2.1.Nous avons

2f(x)h=r8x2

;8h2IRn:

où le premier gradient dans le membre de droite de l"égalité est considéré par rapport à la

variablex.

Démonstration.On a :

@@x i=@@x i nX j=1@f@x j(x)hj! =nX j=1@ 2f@x ixj(x)hj=r2f(x)h i:Quelques exemples importants :

1. Sif:IRn!IRmest une fonctionconstantealorsrf= 0etJf= 0. On a aussi

évidementr2f= 0dans le casm= 1.

2. Soitf:IRn!IRmdéfinie par

f(x) =Ax8x2IRn oùA2 Mm;n(IR)est une matrice donné (c"est à dire,fest une fonctionlinéaire).

Il est facile de voir qu"on a

J f(x) =A8x2IRn (la matrice Jacobienne est constante). Dans la cas particulierm= 1une fonction linéaire générale peut être écrite sous la forme f(x) =< a; x >8x2IRn oùa2IRnest un vecteur donné. Il est clair alors que rf=a et r

2f= 0:

3. Soitf:IRn!IRdonnée par

f(x) =< Ax; x >8x2IRn; oùA2 Mn(IR)est un matrice carrée, réelle, de taillen(c"est à dire,fest laforme quadratiqueassociée à la matriceA). Alors pour unp2 f1;2;ngfixé, on peut

écrire

f(x) =nX i;j=1A ijxixj=Appx2p+nX j=1;j6=pA pjxpxj+nX i=1;i6=pA ipxixp+nX i;j=1;i6=p;j6=pA ijxixj 9 ce qui nous donne @f@x p= 2Appxp+nX j=1;j6=pA pjxj+nX i=1;i6=pA ipxi=nX j=1A pjxj+nX i=1A ipxi= (Ax)p+(ATx)p:

Nous avons donc obtenu :

rf(x) = (A+AT)x;8x2IRn:quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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[PDF] COURS OPTIMISATION Cours en Master M1 SITN Ionel Sorin

Comment montrer qu'une fonction de plusieurs variables est convexe ?

Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?

Comment calculer une fonction convexe ?

COURS OPTIMISATION

Cours en Master M1 SITN

Ionel Sorin CIUPERCA

Table des matières

1 Introduction 4

2 Quelques rappels de calcul différentiel, analyse convexe et extremum 5

2.1 Rappel calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Quelques Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Quelques rappels sur le calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Rappel formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.4 Quelque rappels sur le matrices carrées réelles . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Fonctions convexes, strictement convexes, fortement convexes . . . . 11

2.2.2 Exemples des fonctions convexes, strictement convexes et fortement

2.2.3 Fonctions coercives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Conditions nécéssaires et suffisantes de minimum . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Existence et unicité d"un point de minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Optimisation sans contraintes 23

3.1 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Cas particulier des fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Méthodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Méthodes de gradient à pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2 Autres méthodes du type gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 La méthode des gradients conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Le cas quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Cas d"une fonctionJquelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Optimisation avec contraintes 39

4.1 Rappel sur les multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Optimisation sous contraintes d"inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 Conditions d"optimalité de premier ordre : multiplicateurs de Karush-

4.2.2 Théorie générale du point selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.3 Applications de la théorie du point selle à l"optimisation . . . . . . 51

4.2.4 Le cas convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Algorithmes de minimisation avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.2 Méthodes de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.3 Méthodes de pénalisation exterieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.4 Méthode d"Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chapitre 1

Introduction

1. Une fonctionJ:IRn7!IR(fonction coût)

2. Un ensembleUIRn(ensemble des contraintes)

J(x) = minx2UJ(x)

J(x)J(x);8x2U:

Motivation et exemples pratiques :en classe

Chapitre 2

Quelques rappels de calcul différentiel,

2.1 Rappel calcul différentiel

2.1.1 Quelques Notations

1. Pour toutn2IN;IRndésigne l"espaceeuclidienIRIRIR( "produitnfois").

2. On notee1;e2;enles éléments de labase canoniquedeIRn, oùeiest le vecteur

1sij=i;8i;j= 1;2n(2.1)

3. Pour tousx;y2IRnon note par< x;y >2IRleproduit scalairedexety, qui

4. Pour toutx2IRnon note parkxk 0lanorme euclidiennedex, donnée par

5. Pour tousx2IRnetr >0on notera parB(x;r)laboule ouvertedu centrexet

B(x;r) =fy2IRn;kyxk< rg:

7. SoitUIRn.

8. Sia;b2IRnon note[a;b]le sous-ensemble deIRndonné par

Remarques :

9. Rappellons aussi l"inégalité de Cauchy-Schwarz :

2.1.2 Quelques rappels sur le calcul différentiel

1. SoitUun sous-ensemble deIRnetf:U7!IRm.

Pour tous les poins suivants on va supposer que

2. Pour toutx2

Remarques :

3. Pour toutx2

En particulier, sin= 1on notef0(x) =@f@x

1(x) = limt!01t

4. Pour toutx2

2;@f@x

Rappellons la formule :

8h2IRn:

5. Sif:

6. Pour toutx2

Notation :pouri=jon écrira@2f@