[PDF] Brevet de technicien supérieur 9 mai 2017 groupement A2

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A. P. M. E. P.

Brevet detechnicien supérieur 9 mai 2017

groupement A2

Exercice111points

Les 4 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans cet exercice on s"inté-

resse à l"évolution, en fonction du temps, de la vitesse de rotation d"un moteur à courant continu.

PartieA : Étude de la vitesse de rotationdu moteur lorsde sondémarrage

La vitesse de rotation de ce moteur, exprimée en tour par seconde (tour/s), est notéeω. Elle dépend

du tempst, exprimé en seconde (s), écoulé depuis le démarrage du moteur. La courbe ci-dessous représente l"évolution de cette vitesse en fonction du temps.

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,00510150 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,00510150 0,5vitesse en tours par seconde

temps en secondes

1.Répondre aux questions suivantes à l"aide de la représentation graphique ci-dessus.

a.Quelle est la vitesse de rotation du moteur à l"instant t = 0? b.Quelle est la vitesse de rotation du moteur une seconde aprèsle démarrage? c.Vers quelle valeurωSsemble se stabiliser la vitesse de rotation du moteur? d.Avec la précision permise par le graphique, déterminer au bout de combien de temps on atteint 95% de la vitesse stabilisée. Expliquer.

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2.On admet que, dans les conditions de fonctionnement étudiées dans la partie A, la vitesse de

rotation du moteur est modélisée par la fonctionωdéfinie pourt?0 par :

ω(t)=15-(30t+15)e-2t

a.On noteω?la fonction dérivée deω. Justifier que pourt?0 :ω?(t)=60te-2t. b.En déduire le sens de variation de la fonctionωsur [0 ;+∞[. c.Calculerω?(0). Donner une interprétation graphique du résultat. Le formulaireci-dessouspeut être utilisé pour lespartiesB et C de l"exercice

Équation différentielle sans second

membreSolutionssurR ay??+by?+cy=0 aveca,betcdes constantes réelles.•SiΔ>0 :t?-→Aer1t+Ber2t, avecA,Bconstantes réelles etr1,r2les solutions de l"équation caractéris- tique.

Équation caractéristique :ar2+br+c=0

de discriminantΔ.•SiΔ=0 :t?-→(At+B)ert, avecA,Bconstantes réelles etrla solution de l"équation caractéristique. •SiΔ<0 :t?-→eαt[Acos(βt)+Bsin(βt), avecA,B constantes réelles etα+iβetα-iβles solutions de l"équation caractéristique. PartieB : Résolutiond"une équationdifférentiellepermettantd"obtenir la vitesse de rotation

Sous certaines conditions de charge, la vitesse de rotationd"un moteur à courant continu soumis à

une tension constante U, exprimée en Volt (V), est solution de l"équation différentielle (E):1

4y??+y?+y=Uk, oùkest une valeur caractéristique du moteur.

1.On note(E0)l"équation homogène associée à (E). On a donc :

E0):1

4y??+y?+y=0.

Déterminer les solutions de l"équation différentielle (E0).

2.Vérifier que la fonction constanteg:t?-→U

kest une solution de l"équation différentielle (E).

3.En déduire les solutions de l"équation différentielle de (E).

4.En prenantk=2

3et U=10 V montrer que la fonctionωdonnée dans la question A. 2. est la

solution de l"équation différentielle (E) vérifiant les conditions initialesy(0)=0 ety?(0)=0.

PartieC : Déterminationde la vitesse de rotationd"un moteur à courantcontinu à partirdes prin-

cipesde la physique

D"une manière plus générale on démontre que la vitesse de rotation du moteur alimenté par une

tension continueUvérifie l"équation différentielle

E1):α2y??+2mαy?+y=U

k,

oùα,metksont des paramètres strictement positifs dépendant des caractéristiques physiques du

moteur étudié (résistance, inductance, moment d"inertie). Dans cette partie on prend : U=10 V;α=0,3;m=0,6 etk=2 3.

L"équation différentielle

(E1)s"écrit donc :

0,09y??+0,36y?+y=15.

Électrotechnique

Systèmes photoniques

29 mai 2017

V. X. Jumel

Brevet de technicien supérieurA. P. M. E. P.

1.Résoudre dansCl"équation : 0,09z2+0,36z+1=0.

2.Parmiles quatrefonctions proposées ci-dessous, une seuleest solution del"équation différen-

tielle (E1)et vérifie les conditions initialesy(0)=0 ety?(0)=0. Quelle est cette fonction? Justifier la réponse.

Fonction1:t?-→15?

1-e-8

3t?cos(2t)+34sin(2t)??

Fonction2:t?-→15?1-e-2t?cos?8

3t?+34sin?83t???

Fonction3:t?-→15e2

3t-15e-143t

Fonction4:t?-→15-e-2t?cos?8

3t?+34sin?83t??

3.La solution de l"équation différentielle(E1)qui vérifie les conditions initialesy(0)=0 et

y étudiées dans la partie C. Elle est représentée ci-dessous.

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,00510150 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,00510150 0,5vitesse en tours par seconde

temps en secondes D"après cette modélisation, quelle est la vitesse maximaledu moteur?

À quel moment, environ, est-elle atteinte?

PartieD : Comportementd"un moteur soumis à différentssauts de tension

Une boucle de régulation de vitesse permet à présent de fairefonctionner le moteur à différentes

vitesses. Latensiond"entrée vautsuccessivement 10V,30Vpuis20V. Lavitesse derotationdumoteur est alors analysée et illustrée par le graphique ci-dessous.

Électrotechnique

Systèmes photoniques

39 mai 2017

V. X. Jumel

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12051015202530354045500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130510152025303540455055

vitesse en tours par seconde temps en secondes

1.Déterminer à l"aide du graphique les trois instants où les tensions ont été modifiées. On ne

demande pas de justification.

2.Représenter sur le document réponse (page 9) la tension d"entréee, exprimée en Volt, appli-

quée aux bornes du moteur en fonction du tempst, exprimé en seconde.

3.On désigne parUla fonction causale unité. On rappelle que :

U(t)=0 sit<0 etU(t)=1 sinon.

Pour exprimer la tension d"entréee(t) appliquée aux bornes du moteur à l"instanttun étu- diant propose l"expressione(t)=10U(t)+30U(t-3)-20U(t-7) et remplit le tableau donné sur le document réponse. a.Compléter, sur le document réponse, le tableau rempli par l"étudiant.

b.Une fois qu"il a terminé de remplir le tableau, l"étudiant serend compte qu"il a donné une

expression inexacte dee(t). Expliquer pourquoi. c.Donner l"expression exacte dee(t). On n"attend pas de justification.

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Systèmes photoniques

49 mai 2017

V. X. Jumel

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Exercice29points

Lesdeux partiessuivantessont indépendantes.Ellespeuventêtre traitéesdansn"importe quel ordre

PARTIEA :

On appellefla fonction définie surR, paire, périodique de périodeπ, vérifiant : f(t)=tsin(t) pourt??

0 ;π

2?

1.Parmi les quatre courbes suivantes quelle est celle qui représente la fonctionf? On n"attend

pas de justification.

Courbe 1

201Courbe 2

201

Courbe 3

201Courbe 4

201

2.On admet que la fonctionfest développable en série de Fourier.

On noteSson développement en série de Fourier.

On rappelle que :

S(t)=a0++∞?

n=1(ancos(nωt)+bnsin(nωt)), avecω=2πT,Tpériode def; a0=1T? a+T a f(t)dt. Pourn?1 : a n=2 T? a+T a f(t)cos(nωt)dtetbn=2T? a+T a f(t)sin(nωt)dt avecaconstante réelle quelconque. a.Justifier quebn=0 pour toutnentier naturel supérieur ou égal à 1. b.Montrer que la fonctiongdéfinie pour tout réeltparg(t)= -tcos(t)+sin(t) est une pri- mitive de la fonction définie surRpart?→tsint. c.La fonction étant paire et de périodeπ,a0vérifiea0=2 2

0f(t)dt.

Vérifier quea0=2

π. Écrireles étapes du calcul effectué.

3.On admet que pour tout entier natureln?1 :an=2

π(-1)n?1(2n+1)2+1(2n-1)2?

Donner les valeurs dea1eta2arrondies au millième.

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Systèmes photoniques

59 mai 2017

V. X. Jumel

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4.On notefele nombre positif vérifiantf2e=1π?

0 f2(t)dt.

Onadmetquel"expressiona20+1

22
n=1? d"obtenir la valeur approchée def2eau millième. a.Calculer la valeur approchée defeau millième. b.Sifmodélise un signal de périodeπ, que représentefe?

PARTIEB :

Une entreprise produit en grande série des axes de rotation pour un modèle de moteur.

Ces axes sont fabriqués par dix machines identiques fonctionnant de manière indépendante et tou-

jours ensemble pendant une période appeléecycle de fabrication. Le service de maintenance annonce que la probabilité qu"unemachine tombe en panne pendant un cycle de fabrication est de 0,02.

1.On admet que la variable aléatoireXqui à chaque cycle de fabrication associe le nombre de

machines tombant en panne pendant ce cycle suit une loi binomiale. a.Quels sont les paramètresnetpde cette loi binomiale?

Enutilisant legraphique ci-contre,qui

représente la loi de probabilité de la variable aléatoireX: b.indiquer quelle est la probabilitép1 qu"aucune machine ne tombe en panne pendant un cycle de fabrica- tion; c.déterminer quelle est laprobabilitép2 qu"au moins deux machines tombent en panne pendant un cycle de fabri- cation.

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0 1 2 3 4 5 6

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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